1、 1 高考数学仿真押题试卷高考数学仿真押题试卷 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四分，在每小题给出
2、的四个选项中，只有个选项中，只有一项是符合题目一项是符合题目 要求的要求的 1已知复数z满足是虚数单位） ，则复数z的模| (z ) A 5 2 B 10 2 C 10 4 D 5 4 【解答】解：， ， 故， 【答案】B 2已知集合，则(AB ) A( 1，1 B(1,2) C( 1,1) D(0,2) 【解答】解：集合， ， 2 【答案】C 3在等差数列 n a中，前n项和 n S满足 92 35SS，则 6 a的值是( ) A5 B7 C9 D3 【解答】解：等差数列 n a中，前n项和 n S，满足 92 35SS， ， 5 5a， 【答案】A 4军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共
3、比赛 10 场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和 作为该场比赛的成绩数学老师将甲、乙两名同学的 10 场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列 4 个结论： （1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高； （2）甲的成绩的极差是 29； （3）乙的成绩的众数是 21； （4） 乙的成绩的中位数是 18则这 4 个结论中，正确结论的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：由茎叶图得： 在（1）中，甲的成绩集中于茎叶图的左下方，乙的成绩集合于茎叶图的右上方， 甲的平均成绩比乙的平均成绩高，故（1）正确； 在（2）中，甲的成绩的极差是：37829，故（2）正确； 在（3）中，乙的成绩的众数
4、是 21，故（3）正确； 在（4）中，乙的成绩的中位数是：，故（4）错误 【答案】C 5从 6 名大学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人，组成 4 人知识竞赛代表队，则不同的选法 共有( ) A15 种 B180 种 C360 种 D90 种 【解答】 解：先现从 6 名大学生中选出队长 1 人， 副队长 1 人，再从剩下的 4 人选 2 人，故有 22 64 180A C 种， 【答案】B 3 6实数x，y满足约束条件，则2zxy的最大值是( ) A5 B6 C4 D5 【解答】解：由实数x，y满足约束条件，作出可行域： 联立，解得(2,0)B， 化2zxy为2yxz，由
5、图可知，当直线2yxz过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为： 4 【答案】C 7如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为 圆弧线，则该几何体的表面积为( ) A8 B84 C64 D6 【解答】解：三视图定义的几何体的直观图如图：几何体是上下底面是半径为 1 的 4 段 1 4 的圆弧，柱体的 高为 3，所以几何体的表面积为： 4 【答案】C 8勒洛三角形是由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名作法：以等边 三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛 三角形在勒
6、洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为( ) A 23 3 2(3) B 3 2(3) C 3 2(3) D 23 3 2(3) 【解答】解：如图，设2BC ，以B为圆心的扇形的面积为 2 22 63 ， ABC的面积为， 勒洛三角形的面积为 3 个扇形面积减去 2 个正三角形的面积， 即为， 故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为， 【答案】B 9已知双曲线的左焦点为F，过点F作圆的切线，切点为M，且 交双曲线C右支于点N若2FNFM，则双曲线C的渐近线方程为( ) A30 xy B30 xy C20 xy D20 xy 【解答】解：设双曲线的右焦点为 F ， 若2FNF
7、M，可得M为FN的中点， 又O为 FF 的中点，可得/ /OM FF ， 5 由M为切点，可得90FNF， 且， 由双曲线的定义可得|2FNba， 由勾股定理可得， 化简可得2ba， 则双曲线的渐近线方程为2yx 【答案】C 10三棱锥ABCD中，棱AD是其外接球（多面体各顶点都在球面上）的直径，平 面ABD 平面ACD，则该三棱锥的体积为( ) A 1 2 B1 C2 D3 【解答】解：如图，AD是球O得直径， ，且， 平面ABD 平面ACD， 【答案】C 6 11已知椭圆，直线 1 l， 2 l分别平行于x轴和y轴， 1 l交椭圆于A，B两点， 2 l交椭圆 于C，D两点， 1 l， 2
8、l交于点M，若，则该椭圆的离心率为( ) A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 【解答】解：由， 不妨设| 6MA ，| 2MB ，| 1MC ，| 3MD ， 可得(4,1)A，( 2,2)B 代入椭圆方程可得： 22 161 1 ab ， 22 44 1 ab 联立解得 2 20a ， 2 5b 则该椭圆的离心率 【答案】D 12已知函数，给出三个命题：( )f x的最小值为4，( )f x是轴对称图形， ( ) 4 |f xx其中真命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：若( )f x的最小值为4等价为恒成立，且能取等号， 即恒成立， 设，则， 7 当 3 2
9、x 时，即 0 能取到，故正确， 3 2 x 是3sin()yx和共同的对称轴， 3 2 x是( )f x的对称轴，即( )f x是轴对称图形，故正确， ， ， 只要证明，即可， 设|sin | |tt，(0)t 当1t时不等式恒成立， 当01t 时，即证明sint t， 设，即( )h t在01t 上是减函数， 则， 即sint t成立， 综上，成立，故正确， 故三个命题都是真命题， 【答案】D 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13已知实数x，y满足约束条件 0 1 0 2 0 y xy xy ，则2zxy的最大值是 1 2
10、 【解答】解：作出实数x，y满足约束条件 0 1 0 2 0 y xy xy 对应的平面区域， 由2zxy，得， 8 平移直线，由图象可知当直线经过点A时， 直线的截距最大，此时z最大 由，得 3 ( 2 A ， 1 ) 2 ， 此时z的最大值为， 故答案为： 1 2 14的展开式中 2 x的系数为 9，则a 1 【解答】解：的通项公式， 若第一括号是 1，则第二个括号必须是 2 x，相乘， 若第一括号是x，则第二个括号必须是x相乘， 则 2 x项系数为， 即，得， 得1a 或 3 5 a （舍)， 故答案为：1 15已知点F为抛物线 2 :4C yx的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B
11、两点，点A在第一象限， ( 2,0)M ，若， MBF S分别表示MAF，MBF的面积） ，则直线l的斜率的取值范围为 9 2 2,2 6 【解答】解：(1,0)F， 设直线l的方程为：1tyx 1 (A x， 1) y， 1 (0 x ， 1 0)y ， 2 ) (B x， 2) y 联立 2 1 4 tyx yx ，化为：， 解得： 3 2 2 MAF MBF S S 剟， 1 2 3 2 2 y y 剟， 0t ，取， ， 解得：， 1 k t 故答案为：2 2，2 6 16已知正三棱锥的体积为3，则其表面积的最小值为 6 3 【解答】解：设正三棱锥的底面边长为a，高为h，如图，过顶点S
12、作底面ABC的垂线，垂足为O，过O作 OD垂直AB于D，连接SD， ABa，SOh SO底面ABC，AB底面ABC， ABSO，SOOD， 10 又ABOD， AB平面SOD， 又SD 平面SOD， ABSD，即SD为侧面SAB的斜高， 三棱锥体积，得 2 12a h ， 又O为底面中心， ， 三 棱 锥 的 表 面 积， 将 2 12 a h 代 入 得 ： ，令0S ，得，令 3 1ht ，(0)t ，上式可化为 2 230tt，解得3t ，或1t （舍)， 3 13h ，得2h ，当02h时，0S，当2h 时，0S ，故S在(0,2)上单调递减，在(2,)上 S单调递增，故当2h 时，表
13、面积最小， 此时， 故填：6 3 11 三、三、解答解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17设函数 （）当0 x， 2 时，求函数( )f x的值域； （）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且f（A） 3 2 ，23ab，13c ， 求ABC 的面积 【解答】解： （） ， 0 x， 2 ， 7 6 ， ， 函数( )f x的值域为 1 2 ，2； （）f（A）， 0A，即 3 A ， 12 由正弦定理，23ab， ， 2 sin 2 B， 2 0 3 B ，则 4 B ，2b， 18世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国
14、近视患者人数多达 6 亿，高中生和大学生的近视率均已 超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级 200 名 学生进行不记名问卷调查，得到如下数据： 每周累计户外暴露时间 （单位：小时） 0，7) 7，14) 14，21) 21，28) 不少于 28 小 时 近视人数 21 39 37 2 1 不近视人数 3 37 52 5 3 （）在每周累计户外暴露时间不少于 28 小时的 4 名学生中，随机抽取 2 名，求其中恰有一名学生不近视 的概率； （）若每周累计户外暴露时间少于 14 个小时被认证为“不足够的户外暴露时间” ，根据以上数据完成如 下列联表
15、，并根据（）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露 时间与近视有关系？ 近视 不近视 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 附： 13 2 0 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （）设“随机抽取 2 名，其中恰有一名学生不近视”为事件A，则P（A） 11 31 2 4 1 2 C C C 故随机抽取 2 名，其中恰有一名学生不近视的概率为 1 2 （）根据以上数据得到列联表： 近视 不近视 足够的户外暴露时间 40 60 不足够的户外暴露时间 60 40 所以 2 K的观测值
16、， 故能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系 19如图，在三棱锥DABC中，ABC与BDC都为等边三角形，且侧面BCD与底面ABC互相垂直， O为BC的中点，点F在线段OD上，且 1 3 OFOD，E为棱AB上一点 （）试确定点E的位置使得/ /EF平面ACD； （）在（）的条件下，求二面角DFBE的余弦值 【解答】解： （）在BDC中，延长BF交CD于点M， 1 3 OFOD，BDC是等边三角形，F为BDC的重心， ， / /EF平面ACD，EF 平面ABM，且面ABM面ACDAM， 14 / /EFAM， 1 3 AEAB， 即点E为线段AB上靠近点
17、A的三等分点 （）等边BCD中，ODBC，OD 平面BCD， 面ABC 面BCD，交线为BC， OD平面ABC， 如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz， 点A在平面BEF上，二面角DFBE与二面角DFBA为相同二面角 设2AB ，则，(0F，0， 3) 3 ，( 3A，0，0)，(0B，1，0)， (0BF ，1， 3) 3 ， 设平面AFB的法向量(mx，y，) z， 则，取1x ，得(1, 3,3)m ， 又OA 平面OBD，( 3OA，0，0)， 则， 又二面角DFBE为钝二面角， 所以二面角DFBE的余弦值为 13 13 15 20已知椭圆的左、右两个顶点分别为A、B，点P为椭圆
18、 1 C上异于A、B的一个动点， 设直线PA、PB的斜率分别为 1 k、 2 k， 若动点Q与A、B的连线斜率分别为 3 k、 4 k， 且， 记动点Q的轨迹为曲线 2 C （）当4时，求曲线 2 C的方程； （）已知点 1 (1, ) 2 M，直线AM与BM分别与曲线 2 C交于E、F两点，设AMF的面积为 1 S，BME的 面积为 2 S，若1，3，求 1 2 S S 的取值范围 【解答】解： （）设 0 (P x， 0) y， 0 (2)x ，则 2 20 0 1 4 x y， 因为( 2,0)A ，(2,0)B，则， 设( , )Q x y，则2x ， 所以， 整理得 22 1 4 x
19、y ，(2)x 所以，当4时，曲线 2 C的方程为 22 4xy，(2)x ， （）设 1 (E x， 1) y， 2 (F x， 2) y，由题意知， 直线AM的方程为：62xy，直线BM的方程为22xy 由（）知，曲线 2 C的方程为 22 1 4 xy ，(2)x 联立，消去x，得，得 1 6 91 y ， 联立，消去x，得，得 2 2 1 y ， 所以 16 设，则( )g在1，3上递增 又g（1）5，g（3）7， 所以 1 2 S S 的取值范围为5，7 21已知( )( x f xee 为自然对数的底数） ， （）当1a 时，求函数的极小值； （）当0t时，关于t的方程有且只有一个
20、实数解，求实数a的取值范围 【解答】解： （）当1a 时， ，令( )0h x，解得：0 x ， x，( )h x，( )h x的变化如下： x (,0) 0 (0,) ( )h x 0 ( )h x 递减 极小值 递增 ； （）设， 令1(1)tx x ，1x， ，设， 由1x得， 2 1x ， 2 1 01 x ， x ee， ，( )t x在(1,)单调递增， 即( )F x在(1,)单调递增，F（1）1ea ， 当10ea ，即1a e时，(1,)x时，( )F xF（1）0，( )F x在(1,)单调递增， 又F（1）0，故当1x时，关于x的方程有且只有一个实数解， 当10ea ，即
21、1ae时， 17 F（1）0，又， 故 0 (1,)xlna， 0 ()0F x，当 0 (1,)xx时，( )0F x，( )F x单调递减，又F（1）0， 故当(1x， 0 x时，( )0F x ， 在1， 0) x内，关于x的方程有一个实数解1x ， 又 0 (xx，)时，( )0F x，( )F x单调递增， 且F（a）， 令， ， 故( )k x在(1,)单调递增，又k（1）0， 故( )k x在(1,)单调递增，故k（a）k（1）0，故F（a）0， 又 0 a ax e ，由零点存在定理可知， 10 (xx，)a， 1 ()0F x， 故在 0 (x，)a内，关于x的方程有一个实数
22、解 1 x， 此时方程有两个解 综上，1a e 请考生在第请考生在第 2222、2 23 3 题中任选一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修选修 4 4- -4 4： 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数） ，直线l的方程为ykx，以坐 标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求曲线C的极坐标方程； （）曲线C与直线l交于A，B两点，若，求k的值 【解答】解： （）， 所以曲线C的极坐标方程为 （）设直线l的极坐标方程为 1( R ， 1 0，)，
23、其中 1 为直线l的倾斜角， 代入曲线C得，设A，B所对应的极径分别为 1 ， 2 18 ， 12 10 ， 满足 1 0 6 或 5 6 l 的倾斜角为 6 或 5 6 ， 则或 3 3 选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数，aR （）若不等式 2 ( )f xa对xR 恒成立，求实数a的取值范围； （）设实数m为（）中a的最大值，若实数x，y，z满足，求的最小 值 【解答】解： （）因为， 所以 2 4|aa，解得：44a 剟 故实数a的取值范围为 4，4； （）由（1）知，4m ，即， 根据柯西不等式 等号在即 8 7 x ， 8 21 y ， 4 21 z 时取得 所以的最小值为 16 21
