1、第 1页（共 10 页） ( ) 高二数学上学期期中模拟卷高二数学上学期期中模拟卷1 一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题；共小题；共 6060 分）分） 1. 若 可以取任意实数，则方程 所表示的曲线不可能是 ( ) A. 直线 B. 圆 C. 椭圆或双曲线 D. 抛物线 2. 已知双曲线 ( ) 的离心率为 ，若抛物线 ( ) 的焦点到 双曲线 的渐近线的距离为 ，则抛物线 的方程为 ( ) A. B. C. D. 3. 抛物线 的准线与双曲线 的右准线重合，则 的值是 ( ) A. B. C. D. 4. 若圆 ( ) ( ) 上有且仅有两个点到直线 的距离为 ，则半径 的取值范
2、围是 ( ) A. ( ) B. ) C. ( D. 5. 设 ( ) ，则 ( ) A. B. C. D. 6. 某单位有职工 人，其中青年职工 人，中年职工 人，老年职工 人，为了解该单 位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本若样本中的青年职工为 人，则样本容量 为 ( ) A. B. C. D. 7. 直线 被圆 所截得的线段的中点坐标是 ( ) A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) 8. 在 中， ， ， ，则 的面积等于 ( ) A. B. C. 或 D. 或 9. 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( ) A. 若 ， ，
3、 ，则 B. 若 ， ， ， 则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则 10. 一个正方体的棱长为 ，其顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 11. 抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形面积等于 ( ) A. B. C. D. 第 2页（共 10 页） 12. 已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与 的离 心率之积为 ，则 的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题；共小题；共 2020 分）分） 13. 若 ( )， ( )， ( ) 是平面 内的三点，设平面 的法向量 ( )
4、，则 14. 已知点 ， ， 的坐标分别为 ( )，( )，( )，点 的坐标是 ( )，若 平面 ，则点 的坐标是 15. 设 为坐标原点，向量 ( )， ( )， ( )，点 在直线 上运动， 则当 取得最小值时，点 的坐标为 16. 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在 轴上，左右焦点分别为 、 ，且它们 在第一象限的交点为 ， 是以 为底边的等腰三角形若 ，双曲线的离心 率的取值范围为 ( )则该椭圆的离心率的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题；共小题；共 7070 分）分） 17. 如表是某位文科生连续 次月考的历史、政治的成绩，结果如下： 月份 历史(
5、 分) 政治( 分) 参考公式： ( )( ) ( ) ， ， ， 表示样本均值 （1）求该生 次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差； （2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求 两个变量 ， 的线性回归方程 第 3页（共 10 页） 18. 如图， 平面 ， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点 （1）证明： 平面 ； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值； （3）求平面 与平面 所成锐二面角的大小 19. 已知曲线 ： ， 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别为 ， （1）证明：直线 过定点； （2）若以 ( ) 为圆心的圆与直线 相切，
6、且切点为线段 的中点，求该圆的方程 20. 已知点 ( ) 和 ( )，动点 到 ， 两点的距离之差的绝对值为 ，记点 的轨迹为 （1）求轨迹 的方程； （2）设 与直线 交于两点 ， ，求线段 的长度 第 4页（共 10 页） 21. 在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边.已知 ( ) ( ) ， 的外接圆半径为 . （1）求角 ； （2）求 的面积的最大值. 22. 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 ： ( ) 的焦点为 ( )， ( )过 作 轴的垂线 ，在 轴的上方， 与圆 ：( ) 交于点 ，与 椭圆 交于点 连接 并延长交圆 于点 ，连接 交椭圆 于点 ，连接 已知 （1）
7、求椭圆 的标准方程； （2）求点 的坐标 第 5页（共 10 页） 答案答案 第一部分第一部分 1. D 2. D 3. B 4. A 5. A 【解析】将 ( ) 展开可得 ，再平方即可求得 6. B 【解析】青年职工、中年职工和老年职工三层比为 ，设样本容量为 ，则由 可得 7. A 【解析】设所截线段中点的坐标为 ( )，此中点与圆心的连线垂直于直线 ， 所以 ，解得 ，故中点坐标为 ( ) 8. D 【解析】由余弦定理的推论知 ，代入各数值整理，得 ， 解得 或 ， 由三角形的面积公式得 ， 从而得 或 9. C 10. A 11. A 12. A 【解析】依题意得 ，解得 第二部分第
8、二部分 13. ( ) 【解析】由题意知 ( ) ( )，由 ，得 化简得 故 ( ) ( ) 14. ( ) 【解析】 ( )， ( )， ( )， 因为 平面 ，所以 ， ， 第 6页（共 10 页） 即 ， ， 所以 ， ，故 点的坐标是 ( ) 15. ( ) 【解析】设 ( )，则有 ( ) ( ) 从而 ( )( ) ( )( ) ( ) 所以当 ，即 的坐标为 ( ) 时， 最小 16. ( ) 【解析】设椭圆的半长轴长，半焦距分别为 、 ，双曲线的半实轴长，半焦距分别为 、 ， ， ，则 解得 由题意，得 解得 双曲线的离心率为 由 ，即得 第三部分第三部分 17. （1） 根
9、据题意，计算 ( ) ， ( ) ， 所以政治成绩的方差为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 第 7页（共 10 页） （2） 计算 ( )( ) ， ( ) ， 所以回归系数为 ( )( ) ( ) ， ， 故所求的线性回归方程为 18. （1） 因为 ， 分别是 ， 的中点， 所以 ， 又因为 ，所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 （2） 因为 平面 ， ， 以点 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图 则得 ( )， ( )， ( )， ( )， ( )， 所以 ( )， ( )， 所以 ( ) ( ) 所以异面直线 与 所成角的
10、余弦值为 ； （3） 由（ ）可知 ( )， ( )，该平面 的法向量为 ( )，则 所以令 ， ( )， 由已知可得平面 的一个法向量为 ( )， 所以 ， 所以平面 与平面 所成锐二面角的大小为 19. （1） 设 ( )， ( )，则 第 8页（共 10 页） 由于 ，所以切线 的斜率为 ，故 整理得 设 ( )，同理可得 故直线 的方程为 所以直线 过定点 ( ) （2） 由（ ）得直线 的方程为 由 可得 于是 ， ( ) 设 为线段 的中点，则 ( ) 由于 ，而 ( )， 与向量 ( ) 平行， 所以 ( ) ，解得 或 当 时， ，所求圆的方程为 ( ) ； 当 时， ，所求圆
11、的方程为 ( ) 20. （1） 设 ( )，则 ， 所以点 的轨迹 为双曲线 ( )， 且 ， ， 则 ， ， 所以轨迹 的方程为 （2） 由 得 因为 ， 所以直线与双曲线有两个交点， 设 ( )， ( )， 则 ， ， ， ， 故 ( ) ( ) 21. （1） 因为 ( ) ( ) ，且外接圆半径为 ，所以 ， ， .代入上式消去 ， 和 ，得 ( ) ，即 . 由余弦定理，得 . 因为 ，所以 . （2） 的面积为 .因为 ， 所以 ， ，所以 第 9页（共 10 页） ( ) ( ) ( ) . 因此，当 ， 即 时， 取到最大值 . 22. （1） 设椭圆 的焦距为 因为 ( )
12、， ( )，所以 ， 又因为 ， 轴， 所以 ( ) ， 因此 ，从而 由 ，得 因此，椭圆 的标准方程为 （2） 解法一： 由（ ）知，椭圆 ： ， ， 因为 轴，所以点 的横坐标为 将 代入圆 的方程 ( ) ，解得 因为点 在 轴上方，所以 ( ) 又 ( )，所以直线 ： 由 ( ) 得 ，解得 或 将 代入 ，得 ，因此 ( ) 又 ( )，所以直线 ： ( ) 由 ( ) 得 ，解得 或 又因为 是线段 与椭圆的交点，所以 将 代入 ( )，得 .因此 ( ) . 解法二： 由（ ）知，椭圆 ： 如图，连接 第 10 页（共 10页） 因为 ， ，所以 ，从而 因为 ，所以 ，所以 ，从而 因为 轴，所以 轴 因为 ( )，由 得 又因为 是线段 与椭圆的交点，所以 因此 ( )
