1、第 1页（共 10 页） 高二数学期中模拟试卷高二数学期中模拟试卷 2 2 一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题；共小题；共 6060 分）分） 1. 如图，设 两点在河的两岸，一测量者在 的同侧，在所在的河岸边选定一点 ，测出 的 距离为 ， ， 后，就可以计算出 两点的距离为 ( ) A. B. C. D. 2. 若 . / ，则 . / ( ) A. B. C. D. 3. 已知 . /， ，则 ( ) A. B. C. D. 4. 抛物线 的焦点坐标是 ( ) A. . / B. . / C. . / D. . / 5. 已知点 为圆 的圆心，则点 到直线 的距离是 ( ) A
2、. B. C. D. 6. 若动圆的圆心在抛物线 上， 且与直线 相切，则此动圆恒过定点 ( ) A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) 7. 已知集合 ( ) 为实数 且 ， ( ) 为实数 且 ，则 的元素个数为 ( ) A. B. C. D. 8. 直线 与 的夹角为 ( ) A. B. C. D. 9. 已知双曲线 ( ) 的实轴长为 ，离心率为 ，则它的一个焦点到它的一条 渐近线的距离为 ( ) A. B. C. D. 10. 已知空间四边形 的各边以及对角线的长都是 ，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点， 下列运算的结果为正数的是 ( ) A. B. C. D. 第
3、 2页（共 10 页） 11. 点 ( ) 在椭圆 ( ) 的左准线上过点 且方向为 ( ) 的光线， 经直线 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 12. 已知点 在圆 ：( ) ( ) 上，点 在圆 ：( ) ( ) 上，则 下列说法错误的是 ( ) A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 若 ，则实数 的取值范围为 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题；共小题；共 2020 分）分） 13. 如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 ( ) 的右焦点，直线 与椭 圆交于 ， 两点，且 ，则该椭圆的离心率是 14. 在平面
4、直角坐标系 中，圆 ，圆 ( ) ( ) （ 为实 数）若圆 和圆 上分别存在点 ， ，使得 ，则 的取值范围为 15. 已知 . / ，则 . / 的值是 16. 已知在 中，边 上的高与边 的长相等，则 的最大值为 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题；共小题；共 7070 分）分） 17. 从某企业生产的某种产品中抽取 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所 示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 , )，, )，, - 内的频率之比为 第 3页（共 10 页） （1）求这些产品质量指标值落在区间 , - 内的频率； （2）用分层抽样的方法在区间 , ) 内抽取一个容量
5、为 的样本，将该样本看成一个总体， 从中任意抽取 件产品，求这 件产品都在区间 , ) 内的概率 18. 已知三点 ( ) 、 ( ) 、 ( ) （1）求以 、 为焦点且过点 的椭圆的标准方程； （2）设点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点 且过点 的双曲线的标准方程 19. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ( )，直线 设圆 的半径为 ，圆心在 上 （1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程； （2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围 20. 在 中， ， ， （1）求 的长； （2）求 . / 的值 21. 如图，在四棱锥
6、中， 平面 ， ， ， ， 为 的中点，点 在 上，且 第 4页（共 10 页） （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值； （3）设点 在 上，且 判断直线 是否在平面 内，说明理由 22. 在一个特定时段内，以点 为中心的 海里以内海域被设为警戒水域点 正北 海里处有 一个雷达观测站 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于 点北偏东 且与点 相距 海里的位置 ，经过 分钟又测得该船已行驶到点 北偏东 （其中 ， ）且与点 相距 海里的位置 （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； （2）若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由 第 5页（共 10 页） 答
7、案答案 第一部分第一部分 1. A 2. A 【解析】 ( ) 0 . /1 0 . /1 . / 3. D 4. D 5. D 6. C 7. B 【解析】集合 表示由圆 上所有的点组成的集合， 集合 表示由直线 上所有的点组成的集合， 由于直线 经过圆心 ( )， 故直线与圆有两个交点 8. A 9. B 【解析】因为双曲线 ( ) 的实轴长为 ，离心率为 ，所以 ， ， ，所以双曲线的一个焦点为 ( )，一条渐近线的方程为 ，所以双曲线的一个 焦点到它的一条渐近线的距离为 10. B 11. A 【解析】记椭圆的左焦点为 ，光线与直线 的交点为 ，过点 ( ) 的方向向量 ( )，所以
8、，由光线反射的对称性知 ，又因为直线 过点 关于直线 的对称点 ( )，所以 ( ) ，解得 ，又因为 ，得 所以椭圆的离 心率 第 6页（共 10 页） 12. B 第二部分第二部分 13. 【解析】由题意，得 ( )直线 的方程与椭圆方程联立，解得 . /， . /，则 . /， . /由 ，得 ，即 ， 再结合 可得 ，则 14. 15. 16. 【解析】设 ， ， ， 则 ， 即 故由题意知 . / 第三部分第三部分 17. （1） 设区间 , - 内的频率为 ， 则区间 , )，, ) 内的频率分别为 和 依题意得 ( ) 解得 所以区间 , - 内的频率为 （2） 由（ ）得，区间
9、 , )，, )，, ) 内的频率依次为 ， ， 用分层抽样的方法在区间 , ) 内抽取一个容量为 的样本， 则在区间 , ) 内应抽取 件，记为 ， ， 在区间 , ) 内应抽取 件，记为 ， 在区间 , ) 内应抽取 件，记为 设“从样本中任意抽取 件产品，这 件产品都在区间 , ) 内”为事件 ， 则所有的基本事件有：* +，* +，* +，* +，* +，* +，* +，* +， * +，* +，* +，* +，* +，* +，* +，共 种 第 7页（共 10 页） 事件 包含的基本事件有：* +，* +，* +，* +，* +，* +，* +， * +，* +，* +，共 种 所以
10、这 件产品都在区间 , ) 内的概率为 18. （1） 由题意，可设所求椭圆的标准方程为 ( )，其半焦距 所以 故所求椭圆的标准方程为 （2） 点 ( ) 、 ( ) 、 ( ) 关于直线 的对称点分别为： ( ) 、 ( ) 、 ( ) 设所求双曲线的标准方程为 ( )，由题意知半焦距 ， 所以 故所求双曲线的标准方程为 19. （1） 由题设，圆心 是直线 和 的交点， 解得点 ( )，于是切线的斜率必存在 设过 ( ) 的圆 的切线方程为 由题意，得 解得： 或 故所求切线方程为 或 （2） 因为圆心在直线 上，所以圆 的方程为 ( ) , ( )- 设点 ( )，因为 ，所以 ( )
11、 化简得 即 ( ) 第 8页（共 10 页） 所以点 在以 ( ) 为圆心， 为半径的圆上 由题意，点 ( ) 在圆 上，所以圆 与圆 有公共点，则 即 ( ) 整理，得 由 ，得 由 ，得 所以点 的横坐标 的取值范围为 0 1 20. （1） 由 ，得 由 ，得 （2） ( ) 由 为三角形的内角，得 . / 21. （1） 因为 平面 ， 所以 又因为 ， 所以 平面 （2） 过 作 的垂线交 于点 因为 平面 ， 所以 ， 如图建立空间直角坐标系 ， 第 9页（共 10 页） 则 ( )， ( )， ( )， ( )， ( ) 因为 为 的中点， 所以 ( ) 所以 ( )， ( )
12、， ( ) 所以 . /， . / 设平面 的法向量为 ( )，则 即 令 ，则 ， 于是 ( ) 又因为平面 的法向量为 ( )， 所以 由题知，二面角 为锐角， 所以其余弦值为 （3） 直线 在平面 内 因为点 在 上，且 ， ( )， 所以 . /， . / 由（）知，平面 的法向量 ( ) 所以 所以直线 在平面 内 22. （1） 如图， ， ， 第 10 页（共 10页） 由于 ，所以 . / 由余弦定理得 所以船的行驶速度为 （海里/小时） （2） 如图所示，设直线 与 的延长线相交于点 在 中，由余弦定理得， 从而 在 中，由正弦定理得， ( ) 由于 ，所以点 位于点 和点 之间，且 过点 作 于点 ，则 为点 到直线 的距离 在 中， ( ) 所以船会进入警戒水域
