1、高三数学高三数学数列大题考前冲刺数列大题考前冲刺 知知 识识 梳梳 理理 一、一、 已知已知 1n a 与与 n a的递推式的递推式 1 1. . 1 ( ) nn aaf n 累加法；累加法； 2 2. . 1 ( ) n n a f n a 累乘法；累乘法； 3 3. . 1nn aqad 构造等差数列构造等差数列 n at； 4 4. . 1111nnnnnnnn paaaapSSSS 或构造等差数列；构造等差数列； 5 5. .其它情形：考虑因式分解、周期数列、两式作差等等；其它情形：考虑因式分解、周期数列、两式作差等等； 二、二、 已知已知 n S与与 n a的递推式的递推式 1 1
2、. .用用1n代替代替n再得一个递推式；再得一个递推式； 2.2.利用利用 1nnn aSS ，两式作差，化成，两式作差，化成 1n a 与与 n a的基本类型再求解；的基本类型再求解； 3 3. .注意注意n的范围与通项的规范性，必要时分范围写的范围与通项的规范性，必要时分范围写通项公式通项公式。 三、常见的数列求和方法三、常见的数列求和方法 1.1. 公式法公式法已知等差数列或者等比数列的情形；已知等差数列或者等比数列的情形； 2.2. 分组求和法分组求和法等差数列等差数列等比数列、奇偶性不同情况的数列；等比数列、奇偶性不同情况的数列； 3.3. 错位相减法错位相减法等差数列等比数列；等差
3、数列等比数列； 4.4. 裂项相消法裂项相消法常见裂项方法：常见裂项方法： 1 1 nn aa 和和 1 1 nn aa （其中（其中 n a等差）等差） 可裂项为：可裂项为：1 1） 11 1111 () nnnn aad aa ；2 2） 1 1 11 () nn nn aa daa 学员姓名 年 级 高三 上课时间 辅导科目 数学 学科教师 课 题 数列数列考前冲刺考前冲刺 热热 身身 训训 练练 1 已知数列an为等比数列， Sn是它的前 n 项和， 若 a2 a32a1且 a4与 2a7的等差中项为5 4， 则 S5_. 2等差数列an的通项公式为 an2n1，其前 n 项和为 Sn
4、，则数列 Sn n 的前 10 项的和为 _ 3有两个等差数列an，bn，其前 n 项和分别为 Sn，Tn，若Sn Tn 7n2 n3 ，则a5 b5_. 3若数列 n a满足 ) 1 2 1 ( , 12 ) 2 1 0( ,2 1 nn nn n aa aa a，若 7 6 1 a，则 20 a=_。 题题 型型 分分 类类 题型一题型一 （常规）已知递推式求通项与求和类（常规）已知递推式求通项与求和类 例例 1.1. 已知数列的前项和为，设 （）证明数列是等比数列； （）数列满足，求。 巩固练习：巩固练习：已知公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和为 n S， 33 2Sa， 44
5、24Sa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 1 n S 的前n项和 n T. 题型二题型二 数列的存在性问题数列的存在性问题 例例 2 2. .已知正项数列 n a满足 1 1a ， 22 11 10 nnnn naaana ，数列 n b的前n项和为 n S 且1 nn Sb . （1）求 n a和 n b的通项； （2）令 n n n b c a ，求 n c的前n项和 n T； 是否存在正整数m满足3m ， 23 , m c c c成等差数列？若存在， 请求出m； 若不存在， 请说明理由. 巩固练习：巩固练习：设数列 n a满足4n n aAB n, 其中,A B是两个确
6、定的实数, 0B . (1) 若1AB, 求 n a的前n项之和; (2)证明： n a不是等比数列; (3)若 12 aa, 数列 n a中除去开始的两项之外, 是否还有相等的两项? 并证明你的结论. 题型三题型三 数列新定义数列新定义 例例 3.已知数列 n a（ * Nn） ，若 1 nn aa为等比数列，则称 n a具有性质P. （1）若数列 n a具有性质P，且3, 1 321 aaa，求 4 a、 5 a的值； （2）若 n n n b12，求证：数列 n b具有性质P； （3）设 n ccc 21 nn 2 ，数列 n d具有性质P，其中1 1 d， 123 cdd， 232 c
7、dd，若 3 10 m d，求正整数m的取值范围. 巩固练习：巩固练习：给定数列 n a，若满足aa 1 （0a且1a） ，对于任意的 * ,Nmn，都有 mnmn aaa ，则称数列 n a为指数数列 （1）已知数列 n a， n b的通项公式分别为 1 23 n n a， n n b3，试判断 n a， n b是 不是指数数列（需说明理由） ； （2）若数列 n a满足：2 1 a，4 2 a， nnn aaa23 12 ，证明： n a是指数数列； （3）若数列 n a是指数数列， 4 3 1 t t a（ * Nt） ，证明：数列 n a中任意三项都不能构 成等差数列 课课 后后 作作
8、 业业 1.公元五世纪张丘建所著张丘建算经卷中第 22 题为： “今有女善织，日益功疾，初日织 五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何” 题目的意思是：有个女子善于织布，一天比 一天织得快（每天增加的数量相同） ，已知第一天织布 5 尺，一个月（30 天）共织布 9 匹 3 丈，则该女子每天织布的增加量为 尺 （1 匹=4 丈，1 丈=10 尺） 2.已知 n a为等差数列， 123 3aaa ， 456 6aaa，则 8 S 3.已知数列 n a满足 1 20 an aa ， 1 3 2 a ，则 n a的前 10 项和等于 4.已知等差数列 n a和等比数列 n b满足 11 7ab， 22
9、 4ab， 33 5ab， 44 2ab，则 nn ab 5 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，9 1 a， 2 a为整数， 且对任意 * Nn都有 5 SSn （1）求 n a的通项公式； （2）设 3 4 1 b， 为偶数 为奇数 nb na b n n n n ,)2( , 1 （ * Nn） ，求 n b的前n项和 n T； （3）在（2）的条件下，若数列 n c满足)N() 2 1 () 1( *5 122 nbbc n an nnn ， 使得数列 n c是单调递增数列若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由 6已知数列 n a中，已知 1212 1, nnn aaa ak
10、 aa 对任意 * nN都成立，数列 n a的前n项和为 n S. （1）若 n a是等差数列，求k的值； （2）若 1 1, 2 ak ，求 n S; （3）k，使数列 n a是公比不为 1 的等比数列，且任意相邻三项 12 , mmm aaa 按某顺序排 列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由. 7 （函数大题预习）（函数大题预习）对于定义域为D的函数 yf x，如果存在区间,m nD，其中 mn，同时满足： f x在,m n内是单调函数；当定义域是,m n时， f x的值 域也是,m n.则称函数 f x是区间,m n上的“保值函数”，区间 , m n称为“保值区间
11、”. （1）求证：函数 2 2g xxx不是定义域0,1上的“保值函数”； （2）若函数 2 11 2,0f xaR a aa x 是区间,m n上的“保值函数”，求a的取值 范围； （3）对（2）中函数( )f x，若不等式 2 ( )2a f xx对1x恒成立，求实数a的取值范围. 参参 考考 答答 案案 热身训练：热身训练：1.3131 2.答案 7575 解析：解析：因为S n nn2，所以 Sn n 的前 10 项和为 103109 2 75. 3. 65 12 4.答案：答案： 7 5 解析：解析：由递推式计算出前几项，寻找周期。 例例 1 1. . 巩固训练：巩固训练：解： （1
12、）设等差数列 n a的公差为d，其中0d ， 由 33 2Sa，得 11 3 2 322 2 adad ，即 1 ad， 由 44 24Sa，得 11 4 3 4234 2 adad ，即 1 2a ， 所以 1 2ad， 故2122 n ann. （2）由（1）得 1 22 1 22 n n n aann Sn n ， 则 1111 11 n Sn nnn ， 所以 12 111 n n T SSS 11111 1 2231nn 1 1 11 n nn . 例例 2 2. . 解析： （1）由 22 11 10 nnnn naaana 可以得到 11 10 nnnn nanaaa ， 1 0
13、 nn aa ， 1 10 nn nana ， 1 1 nn nana ， 2 2 分分 即 11 11 nn nanaa ， n a的通项为 1 n a n . 4 4 分分 由1 nn Sa 可以得到 11 1bb 也就是 1 1 2 b 且 11 1 nn Sb ， 因此 11nnn bbb ， 即为 1 1 2 nn bb ， n b为等比数列， 1 2 n n b . 6 6 分分 （2） 1 2 n n n n b cn a ， 2 111 12 222 n n Tn 8 8 分分 21 1111 11 2222 nn n Tnn 21 11111 22222 nn n Tn 所以
14、 1 11 2 22 nn n Tn . 1111 分分 由题设有 3 133 22 284 m cc， 所以 1 4 m c ， 1212 分分 当3k时， 1 1 11 1 22 kk kk cckk 1 11 1 22 kk kk 1 2 2 k k ， 1 0 kk cc ，所以当3k时， k c为减数列， 1515 分分 又 4 1 4 c ，所以4m 所以存在正整数4m 此时 234 ,c c c成等差数列 1616 分分 巩固训练：巩固训练：解：解：(1) 4n n an, 故前n项之和 2 (444 )(12) n n Sn. （2 分） 4(41)141 (1)(41)(1)
15、 4 1232 n n n nn n （4 分） (2) 1 4aAB, 2 162aAB, 3 643aAB. 若 n a是等比数列, 则 2 (162 )(4)(643 )ABABAB （6 分） 即 2222 256644256763AABBAABB, 即 2 12BAB. 因0B , 故12BA, 且0A. （8 分） 此时, 2 40aA, 3 100aA, 4 304aA, 不满足 2 324 aa a. 因此 n a不是等比数列. （10 分） (3) 12 aa即4162ABAB, 即12BA , 且0A. 此时, (412 ) n n aAn. （12 分） 设 * 412
16、, n n cn nN. 11 1 (412(1)(412 )3 4123 4120 nnn nn ccnn , 当且仅当1n 时等号成立, 故 1234 cccc. 即除 1 c外, n c的各项依次递增. （14 分） 因此 n a中除去 1 a和 2 a之外, 没有其它的两项相等. （16 分） 例例 3 3. .解： （1）由3, 1 321 aaa得，2 21 aa，4 32 aa1 分 根据题意，数列 n a具有性质P，可得 1 nn aa为等比数列. 2 21 32 aa aa 2 分，所以8 43 aa，16 54 aa，故5 4 a，11 5 a.4 分 （2）1 1 b，5
17、 2 b5 分，故6 21 bb6 分 1 21 nn nn bb bb 1 1 2 2 1 1 1212 1212 n n n n n n n n 2 23 26 n n （常数）9 分 所以数列 1 nn bb是以 6 为首项，2 为公比的等比数列，故数列 n b具有性质P10 分 （3）2 1 c，4 2 c，所以2 23 dd，4 32 dd，得1 2 d，3 3 d，2 21 32 dd dd 数列 n d具有性质P，所以 1 nn dd成等比数列，故 n nn dd2 1 13 分 于是 2 1 22 1 2 1 1 n n n n dd ，即 3 1 22 1 3 1 2 1 1
18、 n n n n dd ，其中 6 1 3 1 2 1 d 14 分 1 2 1 6 1 3 1 2 n n n d ，即 3 12 1 n n n d15 分 3 10 m d300012 1 m m 16 分 若m为偶数，则3001log2m，即12m； 若m为奇数，则2099log2m，即13m； 综上可得，m的取值范围是13m且 * Nm.18 分 巩固训练：巩固训练：解析：解析： （1）对于数列 n a，3 1 a，6 2 a，12 3 a，因为 21213 aaaa ， 所以 n a不是指数数 列 （2 分） 对于数列 n b，对任意 * ,Nmn，因为 mn mnmn mn bb
19、b 333，所以 n b是指数 数列 （4 分） （2） 由题意，)(2 112nnnn aaaa ，所以数列 1nn aa 是首项为2 12 aa，公 比为2的等比数列 （2 分） 所以 n nn aa2 1 所以， 2222)()()( 21 112211 nn nnnnn aaaaaaaa n n 22 21 )21 (2 1 ，即 n a的通项公式为 n n a2（ * Nn） （5 分） 所以 mn mnmn mn aaa 222，故 n a是指数数列 （6 分） （3）因为数列 n a是指数数列，故对于任意的 * ,Nmn，有 mnmn aaa ，令1m， 则 nnn a t t
20、aaa 4 3 11 ，所以 n a是首项为 4 3 t t ，公比为 4 3 t t 的等比数列，所以， n n t t a 4 3 （2 分） 假设数列 n a中存在三项 u a， v a， w a构成等差数列，不妨设wvu， 则由 wuv aaa2，得 wuv t t t t t t 4 3 4 3 4 3 2， 所以 uwuwuvvw tttt )3()4()3()4(2， （3 分） 当t为偶数时， uvvw tt )3()4(2是偶数，而 uw t )4(是偶数， uw t ) 3(是奇数， 故 uwuwuvvw tttt )3()4()3()4(2不能成立； （5 分） 当t为奇
21、数时， uvvw tt )3()4(2是偶数，而 uw t )4(是奇数， uw t ) 3(是偶数， 故 uwuwuvvw tttt )3()4()3()4(2也不能成立 （7 分） 所以，对任意 * Nt， uwuwuvvw tttt )3()4()3()4(2不能成立，即数列 n a 的任意三项都不成构成等差数列 （8 分） （另证： 因为对任意 * Nt， uvvw tt )3()4(2一定是偶数， 而4t与3t为一奇一偶， 故 uw t )4(与 uw t ) 3(也为一奇一偶，故等式右边一定是奇数，等式不能成立 ） 课后作业：课后作业：1 1. . 16 29 2 21212 3
22、3 1023 1024 4.4. 1 71 n n 5 5. . 解： （1）设 n a的公差为d，由题意得 0 0 6 5 a a ，, 4 9 5 9 d 2 分 2 2 dZa 1 分 112 nan 1 分 （2）当n为偶数时， nn nn bb2)2( 1 1 分 当n为奇数时)3( n，)()()( 154321nnn bbbbbbbT 142 1 222 n b 3 2 41 )41 (4 3 4 1 2 1 n n 当1n时也符合上式 3 分 当n为偶数时， 132 3 2 3 2 11 nabTT n n n nnn 2 分 .132 3 2 , 3 2 1 为偶数， 为奇数
23、， nn n T n n n 1 分 （3） 3 ) 4 1 () 1(4 nnn n c 由题意得，0) 4 1 (8043 1 nn nn cc对任意 * Nn都成立， 当n为奇数时， n2 4 80 3 ， 当1n时， 5 3 )4 80 3 ( max 2 n ， 5 3 3 分 当n为偶数时， n2 4 80 3 ， 当n2 时， 5 48 )4 80 3 ( min 2 n ， 5 48 3 分 综上：) 5 48 , 5 3 (1 分 6 6. . 解 ： （ 1 ） 若 n a是 等 差 数 列 ， 则 对 任 意 * Nn， 121 nnnn aaaa， 即 21 2 nnn
24、 aaa，故 2 1 k 4 分 （2） 2 1 k时，)( 2 1 21 nnn aaa，即 21 2 nnn aaa， )( 112nnnn aaaa ，故 nnnnnn aaaaaa 11223 )(5 分 所以，当n是偶数时， naa n aaaaaaS nnn )( 2 2114321 ；7 分 当n是奇数时，2)( 2132 aaaa， )()()( 15432114321nnnnn aaaaaaaaaaaaaS n n 2)2( 2 1 18 分 综上， knn knn Sn 2, ,12,2 ( * Nk)10 分 （3）若 n a是等比数列 ，则公比a a a q 1 2 ，
25、由题意1a， 故 1 m m aa， m m aa 1 ， 1 2 m m aa11 分 若 1m a为等差中项，则 21 2 mmm aaa，即 11 2 mmm aaa， 2 12aa， 解得1a（舍去） ； 13 分 若 m a为等差中项，则 21 2 mmm aaa，即 11 2 mmm aaa， 2 2aa ， 因为1a，解得2a， 5 2 1 211 2 1 a a aa a aa a k mm m mm m ；15 分 若 2m a为等差中项，则 12 2 mmm aaa，即 11 2 mmm aaa，12 2 aa， 因为1a，解得 2 1 a， 5 2 1 2 a a k17
26、 分 综上，存在实数k满足题意， 5 2 k 18 分 7 7. . 解： （1）函数xxxg2)( 2 在 1 , 0 x时的值域为0 , 1，2 分 不满足“保值函数”的定义， 因此函数xxxg2)( 2 不是定义域 1 , 0上的“保值函数” 4 分 （2）因为函数 xaa xf 2 11 2)(在,nm内是单调增函数， 因此nnfmmf)(,)(， 6 分 因此nm,是方程x xaa 2 11 2的两个不相等的实根， 等价于方程01)2( 222 xaaxa有两个不相等的实根 8 分 由04)2( 222 aaa解得 2 3 a或 2 1 a 10 分 （3） x aaxfa 1 2)( 22 ， 2 2 2 1 2 ( ) |( )| 2222 aa a f x x a f xx xx ， 即为 ,2 1 2 , 1 22 2 2 x x aa x xaa 对1x恒成立12 分 令 x xxh 1 2)(，易证)(xh在), 1 单调递增，同理x x xg2 1 )(在), 1 单调递减 因此，1) 1 ()(, 3) 1 ()( maxmin gxghxh14 分 所以 , 12 , 32 2 2 aa aa 解得1 2 3 a 15 分 又 2 3 a或 2 1 a，所以a的取值范围是 1 1 2 a 16 分
