1、试卷第 1 页，总 6 页 鹏峰中学高二年十月份数学试卷鹏峰中学高二年十月份数学试卷 2020 年年 09 月月 13 日日 姓名姓名_ 考试范围：立体几何；考试时间：120 分钟；总分：150 分 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、单选题一、单选题(共共 40 分分) 1已知点(2,0,1)A， (4,2,3)B ，P是AB中点，则点P的坐标为（ ） A (3,1,2)P B(3,1,4)P C(0, 2, 1)P D(6,4,5)P 2若空间直角坐标系中，x 轴上一点 P 到点 Q（3，1，1）的距离为 3，则点 P 的坐标为（） A （3，0，0） B （2，0，0） C （4
2、，0，0） D （2，0，0）或（4，0，0） 3已知向量3, 1,2a ， 6,2,bt ，且a b，则t （） A10 B- -10 C4 D- -4 4已知(0,0,0)O， (2,1,1)A，(1,1, 1)B，点( ,1,3)P在平面OAB内，则（ ） A2 B3 C4 D5 5已知2,2,5 ,6, 4,4 , , 分别是平面, 的法向量则平面，的位置关系式（ ） A平行 B垂直 C所成的二面角为锐角 D所成的二面角为钝角 6 三棱锥OABC中， ,M N分别是,AB OC的中点， 且OA a ，OB b ，OC c ， 用a，b，c表示MN， 则MN等于（ ） A 1 () 2
3、abc B 1 () 2 abcC 1 () 2 abcD 1 () 2 abc 7 如图， 四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是边长为3的正方形， 侧棱 1 AA长为 4， 且 1 AA与 11 AB， 11 AD 的夹角都是60，则 1 AC的长等于（ ） A10B58C10D 34 8三棱锥ABCD内接于半径为5的球O中， 4ABCD， 则三棱锥ABCD的体积的最大值为（ ） A 4 3 B 8 3 C16 3 D 32 3 试卷第 2 页，总 6 页 二、多选题二、多选题(共共 20 分分) 9关于空间向量，以下说法正确的是（） A空间中的三个向量，若有两个向量共线
4、，则这三个向量一定共面 B若对空间中任意一点O，有 111 632 OPOAOBOC，则P，A，B，C四点共面 C设, ,a b c是空间中的一组基底，则 ,ab bc ca也是空间的一组基底 D若 0a b ，则, a b是钝角 10已知向量(1,1,0)a ，则与a共线的单位向量e （） A 22 (,0) 22 B(0,1,0)C 22 (,0) 22 D(1,1,1) 11如图，一个结晶体的形状为平行六面体 1111 ABCDABC D，其中，以顶点 A为端点的三条棱长都相等，且 它们彼此的夹角都是 60 ，下列说法中正确的是（） A 22 1 2AAABADAC B 1 0ACABA
5、D C向量 1 BC与 1 AA的夹角是 60 D 1 BD与 AC所成角的余弦值为 6 3 12 如图,正方形ABCD中,EF、分别是ABBC、的中点将 ,ADECDFBEF 分别沿DEDFEF、折起, 使、 、A BC重合于点P.则下列结论正确的是（ ） APDEF B平面PDEPDF 平面 C二面角PEFD的余弦值为 1 3 D点P在平面DEF上的投影是DEF 的外心 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 试卷第 3 页，总 6 页 三、填空题三、填空题(共共 15 分分) 13已知三点(1,5, 2)A， (2,4,1)B，( ,3,2)C ab共线，那么a b _ 14设1,
6、2,3a ， ,1,0bx，且 aab，则实数x_. 15 如图所示， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， ABBC2， AA11， 则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为_ 16棱长为36的正四面体ABCD的外接球与内切球的半径之和为_，内切球球面上有一动点M ，则 1 3 MBMC的最小值为_. 五、解答题五、解答题(共共 70 分分) 17(本题 10 分)如图，直棱柱 111 ABCABC的底面 ABC中，1CACB，90ACB，棱 1 2AA ，如 图，以C为原点，分别以CA，CB， 1 CC为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系 （1）求平面 11 A B C的法向
7、量； （2）求直线AC与平面 11 A B C夹角的正弦值. 试卷第 4 页，总 6 页 18(本题 12 分)如图，在正四棱锥PABCD中，PAAB，E，F分别为PB，PD的中点 （1）求证：AC 平面PBD； （2）求异面直线AF与EC所成角的余弦值. 19(本题 12 分)如图，在多面体 111 ABCABC中， 1 AA、 1 BB、 1 CC均垂直于平面ABC， 1 4AA ， 1 3CC ， 1 2BBABAC，120BAC. （1）求 1 AB与平面 111 ABC所成角的正弦值； （2）求二面角 111 AABC的余弦值. 试卷第 5 页，总 6 页 20(本题 12 分)如图
8、所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 1 的菱形，60BCD，E是CD的 中点，PA 底面ABCD，2PA. （1）证明：平面PBE 平面PAB； （2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值. 21(本题 12 分)在正方体 1111 ABCDABC D中，如图E、F分别是 1 BB，CD的中点， （1）求证： 1 D F 平面ADE； （2）点 1 D到平面ADE的距离 试卷第 6 页，总 6 页 22(本题 12 分)如图，三棱柱 111 ABCABC中， 0 11111 60 ,4B A AC A AAAAC ，2AB ，,P Q分 别为棱 1, AA AC的中点.
9、 （1）在平面ABC内过点A作/AM平面 1 PQB交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明. （2）若侧面 11 ACC A 侧面 11 ABB A，求直线 11 AC与平面 1 PQB所成角的正弦值. 答案第 1 页，总 9 页 参考答案参考答案 1A2D3D4B 试题分析：2,1,1 ,1,1, 1OAOB,1,3OP. 因为, , ,O A B P四点共面,则存在, x y使OPxOAyOB, 即,1,32,1,11,1, 1xy, 2 13 3 xy xy xy .故 B 正确.5B6D7C 试题分析： 2 2222 11111111111111111111 2ACAAABBCAC
10、AAABBCAAABBCAA AB 222 1111111 224332 4 3cos1202 4 3cos1202 3 3cos9010BC AAAB BC ， 1 10AC 8C【解析】如图，过CD作平面ECD，使AB平面ECD，交AB于点E，设点E到CD的距离为EF，当 球心在EF上时，EF最大，此时,E F分别为AB，CD的中点，且球心O为EF的中点，所以2EF ，所以 max 1116 4 2 4 323 V ，故选 C 9ABC【详解】对于 A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量 一定共面，所以是正确的； 对于 B中，若对空间中任意一点O，
11、有 111 632 OPOAOBOC，根据空间向量的基本定理，可得, , ,P A B C 四点一定共面，所以是正确的； 对于 C中，由, ,a b c是空间中的一组基底，则向量, ,a b c不共面，可得向量,ab bc，c a 也不共面，所 以,ab bc ca也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于 D中，若 0a b ，又由,0, a b，所以,(, 2 a b ，所以不正确.故选：ABC. 10AC【分析】根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法， a e a ，即可求出 【详解】设与a共线的单位向量为e，所以a e ，因而ae，得到a 故 a e a ，而1 12a ，所以 22 (
12、,0) 22 e 或 22 (,0) 22 e 故选：AC 11AB【详解】以顶点 A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是 60 ， 。 答案第 2 页，总 9 页 可设棱长为 1,则 11 1 1 1 cos60 2 AA ABAA ADAD AB 2 222 1111 =+2+2+2AAABADAAABADAA ABAB ADAA AD 1 1 1 1 3 26 2 而 22 22 2222ACABADABADAB AD 1 2 1 122 36 2 ，所以 A正确. 11 ACABADAAABADABAD 22 11 AA ABAA ADABAB ADAD ABAD =0,所以
13、B正确. 向量 11 BCAD,显然 1 AAD为等边三角形，则 1 60AAD. 所以向量 1 AD与 1 AA的夹角是120 ,向量 1 BC与 1 AA的夹角是120,则 C 不正确 又 11=AD AABDAB，AC ABAD 则 2 11 |= 2ADAAABBD ， 2 |= 3ACABAD 11 1ADAAABBD ACABAD 所以 1 1 1 16 cos= 6|23 BD AC BD AC BD AC ，所以 D 不正确.故选：AB 12ABC【详解】对于 A选项，作出图形，取 EF中点 H，连接 PH，DH，又原图知BEF和DEF为等腰三 角形，故PHEF,DHEF，所以
14、EF 平面PDH，所以PDEF，故 A 正确；根据折起前后，可知 ,PE PF PD三线两两垂直，于是可证平面PDEPDF 平面 ，故 B正确；根据 A选项可知PHD为二面角 PEFD的平面角，设正方形边长为 2，因此1PEPF， 2 2 PH ， 23 2 2 2 22 DH ， 22 2PDDFPF ，由余弦定理得： 222 1 cos 23 PHHDPD PHD PH HD ，故 C正确；由于 PEPFPD，故点P在平面DEF上的投影不是DEF的外心，即 D 错误；故答案为 ABC. 答案第 3 页，总 9 页 131【详解】三点 A、B、C在同一条直线上，向量,AB AC共线，又AB=
15、（1，1，3），AC =（a1，2，b+4）， 124 113 ab 解得 a=3，b=2，a-b=1故答案为 1 1412【详解】1,2,3a ，,1,0bx，故 1,1,3abx，故 1290aabx ，12x . 故答案为：12. 15 10 5 解：以 D点为坐标原点，以 DA、DC、DD1所在的直线为 x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略） ， 则 A（2，0，0） ，B（2，2，0） ，C（0，2，0） ，C1（0，2，1） 1 =（2，0，1） ， =（2，2，0） ， 且为平面 BB1D1D的一个法向量 cos1 ， 4 58 = 10 5 BC1与平面 BB1D1D
16、 所成角的正弦值为10 5 故答案为： 10 5 1612 64 33 【详解】 (1) 将正四面体ABCD放入如图正方体,则正四面体ABCD的外接球与该正方体的外接球为同一球.半径 为 36 3 2 9 6 2 . 设正四面体ABCD的内切球半径为r,根据等体积法有 33 2 36113613 4436 323422 r ,解得 3 6r .故外接球与内切球的半径之和为9 63 612 6. (2)由阿波罗尼斯球得内切球球心O是线段CH上以 ,C E为定点,空间中满足 1 PC PE 的点P的集合,连接 CO并延长交平面ABD于H,交内切球上方的点设为K,过M作MECH,交CH于E,连接,B
17、M CM,设 OEx. 由(1)空得9 6,3 6,COOH KCHC KEHE .所以 6 612 6 3 63 6xx ,解得6x , 6 6 3 2 6 KC KE , 所以3 MC ME ,所以 1 3 MCME.所以 1 3 MBMCMBMEBE, 在BOE中,9 6BOCO,6OE , 1 coscos 3 BOEBOH , 。 答案第 4 页，总 9 页 所以 22 1 9 6629 664 33 3 BE .所以 1 3 MBMC的最小值为4 33 故答案为：(1)12 6；(2)4 33 17 （1）2, 2,1v ； （2） 2 3 . 详解： （1）由题意可知 11 0,
18、0,0 ,1,0,2 ,0,1,2CAB故 11 1,0,2 ,0,1,2CACB 设 000 ,vx y z为平面 11 A B C的法向量，则 100000 ,1,0,220v CAxy zxz， 100000 ,0,1,220v CBxy zyz 00 00 2 2 xz yz 令 0 1z ，则2, 2,1v （2）设直线AC与平面 11 A B C夹角为， 1,0,0CA 222 1,0,02, 2,1 2 sin 3 1221 CA v CA v 18 （1）证明见解析； （2） 2 3 【详解】 （1）设ACBDO，则O为底面正方形ABCD中心，连接PO 因为PABCD为正四棱锥
19、，所以PO平面ABCD所以POAC 又BDAC，且POBDO，所以AC 平面PBD （2）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系Oxyz 答案第 5 页，总 9 页 因为PBAB，所以Rt POBRt AOB，所以OAOP 设2OA 所以(2,0,0), (0,2,0),( 2,0,0),(0, 2,0)ABCD，(0,0,2),(0,1,1),(0, 1,1)PEF 则( 2, 1,1),(2,1,1)AFCE ，设异面直线AF与EC所成角为， 则 42 coscos,| | 3|6 6 AF CE AF CE AFCE ，所以异面直线AF与EC所成角的余弦值 2 3 .
20、19 【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系， AA14，CC13，BB1ABAC2，BAC120 ， A（0，0，0） ，A1（0，0，4） ，B1（ 3，1，2） ，C1（0，2，3） （1） 1 312AB ， ， 11 312AB ， ， 11 0 21AC ， ， 设平面 A1B1C1的一个法向量为 mxyz， ， 由 11 11 320 20 m ABxyz m ACyz ，取 y1，得 5 3 12 3 m ， ， AB1与 A1B1C1所成角的最小值 sin|cos 1 ABm， | 815 540 2 2 3 AB1与 A1B1C1所成角的正弦值为 5 15 ； 。 答案第
21、 6 页，总 9 页 （2）设平面 AA1B1的一个法向量为 111 nxyz， ， 由 11111 11 320 40 n ABxyz n AAz ，取 x11，得 1 30n， ， cos 5 3 3 10 3 540 2 3 m n mn m n ， 二面角 AA1B1C1的大小为 20 （1）证明见解析； （2） 15 5 .【详解】 （1）如图所示， 连接BD，因为ABCD是菱形且60BCD，所以BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以BECD，又/AB CD，所以ABBE. 又因为PA 平面ABCD，BE 平面ABCD，所以PABE.而PAABA，所以BE 平面PAB. 又B
22、E 平面PBE，所以平面PBE 平面PAB. （2）在平面ABCD内，过点A作AB的垂线，如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系. 则0,0,0A，1,0,0B， 33 ,0 22 C ， 13 ,0 22 D ，002P,， 3 1,0 2 E . 答案第 7 页，总 9 页 所以1,0, 2PB ， 3 0,0 2 BE ，0,0, 2PA， 13 ,0 22 AD 设 1111 ,nx y z是平面PBE的一个法向量， 则由 1 1 0 0 nPB nBE ，得 111 111 020, 3 000. 2 xyz xyz 令 1 1z ，得 1 2,0,1n . 设 2222 ,nxy
23、 z是平面PAD的一个法向量， 则由 2 2 0 0 nPA nAD ，得 222 222 0020, 13 00. 22 xyz xyz ，所以 2 0z ， 22 3xy .故可取 2 3, 1,0n . 于是 12 12 12 2 315 cos, 552 n n n n n n . 所以平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值为 15 5 . 21 （1）证明见解析； （2） 2 5 5 . 【详解】 （1）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 1， 则(0,0,0)D，(1,0,0)A， 1(0,0,1) D， 1 1,1, 2 E ， 1 0,0 2 F ，则
24、 1 1 0, 1 2 D F ，(1,0,0)DA， 1 0,1, 2 AE ，则 1 0DF DA， 1 0DF AE， 1 D FDA， 1 D FAE，且AE DAA， 1 D F平面ADE. （2） 1 (0,0,1)DD ， 1 1 0, 1 2 D F ，由（1）知平面ADE的一个法向量为 1 DF， 所以点 1 D到平面ADE的距离 1 1 2 5 5 DD D F d D F . 。 答案第 8 页，总 9 页 22 （1）见解析（2） 39 13 试题解析： （1）如图，在平面 11 ABB A内，过点A作 1 / /ANB P交 1 BB于点N，连结BQ，在 1 BBQ中
25、，作 1 / /NHBQ交 BQ于点H，连结AH并延长交BC于点M，则AM为所求作直线. （2）连结 11 ,PC AC， 0 11111 4,60AAACACC A A， 11 AC A为正三角形. P为 1 AA的中点， 11 PCAA， 又侧面 11 ACC A 侧面 11 ABB A，且面 11 ACC A 面 111 ABB AAA， 1 PC 平面 11 ACC A， 1 PC 平面 11 ABB A， 在平面 11 ABB A内过点P作 1 PRAA交 1 BB于点R， 分别以 11 ,PR PA PC的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系P xyz ，则
26、 1 0,0,0 ,0,2,0 ,0, 2,0 ,0, 4,2 3PAAC， 1 0,0,2 3C. Q为AC的中点，点Q的坐标为0, 3, 3， 11 0, 2,2 3 ,0, 3, 3ACPQ. 0 1111 2,60ABABB A A， 1 3,1,0B， 1 3,1,0PB ， 设平面 1 PQB的法向量为, ,mx y z， 由 1 0 0 PQm PB m 得 330 30 yz xy ， 令1x ，得3,3yz ，所以平面 1 PQB的一个法向量为 1,3, 3m . 答案第 9 页，总 9 页 设直线 11 AC与平面 1 PQB所成角为a， 则 11 11 11 39 sincos, 13 AC m AC m AC m ，即直线 11 AC与平面 1 PQB所成角的正弦值为 39 13 .
