1、 1 三次函数性质的探索三次函数性质的探索 我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在 最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值那么，是什么决定函数的单调性呢？ 利用已学过的知识得出：当 k0 时函数单调递增；当 k0 a0 0 0 0 图 象 x y O x x1 x2 x0 x x1 x2 x x0 x 3 2极值点的个数：极值点的个数：若函数 f(x)在点 x0的附近恒有 f(x0)f(x) (或 f(x0)f(x)，则称函数 f(x) 在点 x0处取得极大值（或极小值） ，称点 x0为极大值点（或极小值点） 。 （1）若0，此时函数无极值；三次函数
2、yfx 在 , 上不存在极值点。 （2）若0，三次函数 yfx 在 , 上的极值点要么有两个。 且 2 ( )320fxaxbxc两根为 12 ,x x且 12 xx， 此时函数( )f x在 1 xx处取极大值)( 1 xf，简言之：波峰是为极大值波峰是为极大值 在 2 xx处取极小值)( 2 xf，简言之：波谷是为极小值波谷是为极小值 论证如下： 令 f（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f/（x）=0 的实根。 当=4b2-12ac0 时，方程 f/（x）=0 有两个不等的实根，记为 x1、x2， 则 x1、x2是 f（x）在(-,+)上的两个极值点； 当=4b2
3、-12ac =0 时，该方程有两个等根：x1=x2=x0，由下表可知 y=f（x）在(-,+)上单调增， 此时 y=f（x）没有极值点； x (-,x0) x0 （x0，+) f/（x） + 0 + f(x) 当=4b2-12ac0 时，f/（x）=0 无实根，f(x)没有极值点，结论得证。 3.奇偶性：奇偶性：函数当且仅当0 db时是奇函数。 4对称性：对称性：函数图象关于点) 3 (, 3 ( a b f a b 中心对称（了解） 4 证明：证明： 三次函数dcxbxaxxf 23 )(关于点 （m， n） 对称的充要条件是nxmfxmf2)()(， 即 )()()( 23 dxmcxmb
4、xma+ndxmcxmbxma2)()()( 23 ， 整理得，ndmcbmamxbma2)2222()26( 232 据多项式恒等对应系数相等,可得 a b m 3 且dmcbmamn 23 =) 3 ()( a b fmf， 从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是) 3 (, 3 ( a b f a b ； 证明：证明：设函数的对称中心为（m，n）。 按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以 化简得： 上式对恒成立，故，得，。 所以，函数的对称中心是（）。 实际上：其导函数为2 ( )320fxaxbxc 对称轴为 a b x 3 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对 称轴，可
5、见，可见，y yf(x)f(x)图象的对称中心在导函数图象的对称中心在导函数 y y的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二 阶导为零的点。阶导为零的点。 由上又可得以下结论： )(xfy 是可导函数，若是可导函数，若)(xfy 的图象关于点的图象关于点),(nm对称，则对称，则)( xfy 图象关于直线图象关于直线mx 对称对称. 证明 )(xfy 的图象关于),(nm对称，则,2)2()(nxmfxf x xfxxf xf x )()( lim)( 0 x xfnxxfn x xmfxxmf xmf xx )(2)(2 lim )2()2
6、( lim)2( 00 )( )()( lim 0 xf x xxfxf x )( xfy 图象关于直线mx 对称. 5 若若)(xfy 图象关于直线图象关于直线mx 对称，则对称，则)( xfy 图象关于点图象关于点)0 ,(m对称对称. 证明 )(xfy 图象关于直线mx 对称，则)2()(xmfxf， x xmfxxmf xmf x xfxxf xf x x )2()2( lim)2( )()( lim)( 0 0 )( )()( lim 0 xf x xfxxf x ， 0)( )2( xfxmf ， )( xfy 图象关于点)0 ,(m对称. 这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的
7、导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 系列探究系列探究 3：三次函数三次函数 f f（x x）图象的切线条数）图象的切线条数 由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条； 而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。 例.已知曲线 y x3/34/3，求曲线在点（，）处的切线方程 解：f（x）x2，f（）， 曲线在点
8、（，）处的切线斜率为 kf（） 代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y（x） ， 即 yx 变式：已知曲线 yx3/34/3，则曲线过点（，）的切线方程。 错解：依上题，直接填上答案xy 错因剖析：如下图所示，在曲线上的点 A 处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。 点（，）在曲线 yx3/34/3 上，它可以是切点也可以不是。 6 正确解法：设过点（，）的切线对应的切点为（x0，x03/34/3） ， 斜率为 k=x02，切线方程为 y -（x03/34/3 ）=x02（x-x0） 即 y=x02x- 2x03/3+4/3 点（2，4）的坐标代入，得 4=2x02- 2x03
9、/3+ 4/3， 2 x03-6 x02+8=0 ， x03-3x02+4=0， 又x03+1-（3x02-3）=0 （x0+1） （x02-x0+1）-3（x0-1） （x0+1）=0 （x0+1） （x02-4x0+4）=0 x0=-1 或 x0=2 切线的方程为 4x-4-y=0 或 x-y+2=0 点评：一个是“在点（2，4） ” 、一个是“过点（2，4） ” ，一字之差所得结果截然不同。 7 O x y O 1 xx 2 xx x y 系列探究系列探究 4：一般三次函数一般三次函数)0()( 23 adcxbxaxxf的图像：的图像： a0 a0 0 0 0 图 象 从数形结合的视角
10、看三次方程的实数根：三次方程的实数根： 三次函数三次函数 y=fy=f（x x）的图象与）的图象与 x x 轴交点个数轴交点个数 交点个数的本质是多项式 ax3+bx2+cx+d 在实数集上怎样进行因式分解， 记 ax3+bx2+cx+d=a（x-x1） （x-x2） （x-x3） ， （）若 x1x2x3，则交点为 3 个； （）若 x1、x2、x3 中有两个相等，不妨 x1=x2x3，则交点为 2 个。 （）若 x1=x2=x3，则交点为 1 个； （）若 f（x）=a（x-x0） （x2+dx+e） ，且 有 d2-4e0，y=f（x）的图象与 x 轴只有一个交点。 （1）若 2 212
11、0bac ()，方程有且只有一个实数解； （2）若 2 2120bac ()，令 2 ( )320fxaxbxc两根为 12 ,x x且 12 xx， 若0)()( 21 xfxf，即函数)(xfy 极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点， 所以原方程有且只有一个实根。则方程有且只有一个实数解，且 21 xx或， 若0)()( 21 xfxf，则方程有三个不同的实数解)(,，且有 21 xx， 若0)(0)( 21 xfxf或，则方程有两个不同的实数解 x x1 x2 x0 x x1 x2 x x0 x 1 xx 2 xx O x y 1 xx 2 xx O x y x1 x2
12、 x 8 由图像能够探究出在区间由图像能够探究出在区间,nm的最大值与最小值吗？的最大值与最小值吗？ 函数若，且，则： max0 ,fxf mf xf n； 。 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件： （i）f在闭区间 , a b上连续； （ii）f在开区间( , )a b内可导； 则在, a b内至少存在一点，使得 f bf a f ba . 请你请你掌握掌握：三次函数解析式的形式 （1）一般形式： 32 ( )(0)f xaxbxcxd a （2）已知函数的对称中心为),(nm，则)0()()()( 3 anmxBmxAxf （3）已知函数图象与x轴的三个交点的横坐标)(
13、,，则 )0)()()()(axxxaxf （4）已知函数图象与x轴的一个交点的横坐标 0 x，则)0)()()( 2 0 anmxaxxxxf 9 （2012 全国大纲版全国大纲版 10）已知函数 3 3yxxc的图像与x轴恰有两个公共点，则c A2或 2 B9或 3 C1或 1 D3或 1 【解析】因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而 2 ( )333()(1)fxxxx ，当1x 时取得极值 由(1)0f或( 1)0f 可得20c或20c，即2c 。答案 A （2012 福建文）福建文）12.已知 f（x）=x-6x+9x-a
14、bc，abc，且 f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：f（0）f（1）0；f （0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0.其中正确结论的序号是 A. B. C. D. 【解析】【解析】 2 ( )31293(1)(3)fxxxxx，(,1)单调递增，(1,3)单调递减，(3,)单调递增，又因为 ( )( )( )0f af bf c，所以(,1)a (1, 3)b，(3,)c， 【法一】(1)40fabc，(3)0fabc ，(0)0fabc 【法二】又因为 3222 ( )69(69)(3)0f bbbbabcb bbabcb bac，所以ac为正数，所以a为 正
15、数，又因为(0)0fabc ，(1)0f，(3)0f 【点评】【点评】本题考查运用导数分析函数的能力，数形结合及代入转化的能力 【答案】【答案】A 10 （20122012重庆重庆理理卷卷） （8）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如题（8）图所示，则下 列结论中一定成立的是 （A）函数有极大值和极小值 （B）函数有极大值和极小值 （C）函数有极大值和极小值 （D）函数有极大值和极小值 （2012重庆文） 设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f（x） ，且函数 f（x）在 x=-2处取得极小值，则函数 y=xf（x）的图象可能是（ ） A. B c D 11 高考含参三次函数题型
16、分析高考含参三次函数题型分析 我们知道导数是研究函数的重要工具，三次函数的导数是二次函数，正因如此，三次函数问题的解决往往关 键转化为二次函数问题，如二次函数方程根的问题，二次不等式解集问题等常见题型。 首先，回顾一下三次函数 32 ( )(0)f xaxbxcxd a图象 a0 a0 0 0 0 图 象 【题型【题型 1 1】含参三次函数单调性问题】含参三次函数单调性问题 例一 (08 全国 文 21 ) 已知函数 f(x)=x3+a x2+x+1,aR. （）讨论函数 f(x)的单调区间； （）设函数 f(x)在区间（- 21 , 33 ）内是减函数，求a的取值范围. 解法分析：解法分析：
17、对于问题（）我们往往采用的解题思路是：求函数dcxbxaxxf 23 )(的导数为 cbxaxxf23)( 2 然后往往按以下步骤进行讨论分析。 （1） 讨论导数二次项系数是否为零 （2） 讨论导数判别式 （3） 0 则原函数为单调增（减）函数 （4） 0 求导函数等于 0 时的根，并比较根的大小 （5） 结合到导函数图象，得出三次函数单调性 下面我们按照这个思路解决一下 1)( 23 xaxxxf则123)( 2 axxxf （1）讨论导数二次项系数是否为零 （2）讨论判别式 =124 2 a （3）0，则原函数为单调增（减）函数 即0时，33a，0)( x f恒成立，则)(xf为单调增函数
18、，单调增区间为),( （4）0 求导函数等于 0 时的根，并比较根的大小0时，3a或3a时，0)( x f存在零解， 此时 3 3 2 1 aa x 3 3 2 2 aa x 显然 12 xx ， x x1 x2 x0 x x1 x2 x x0 x 12 （5）结合到导函数图象，得出三次函数单调性 所以此时函数)(xf的单调递增区间为 ) 3 3 ,( 2 aa 和), 3 3 ( 2 aa 单调递减区间为) 3 3 , 3 3 ( 22 aaaa 对于问题（）设函数 f(x)在区间（- 21 , 33 ）内是减函数，求 a 的取值范围. 往往转化为二次函数不等式问题，采用根的分布数形结合、主
19、参分离求最值、求根公式三种方法解决。往往转化为二次函数不等式问题，采用根的分布数形结合、主参分离求最值、求根公式三种方法解决。 f(x)在区间（- 21 , 33 ）内是减函数，则0123)( 2 axxxf对) 3 1 , 3 2 (x恒成立。 方法一：根的分布，数形结合方法一：根的分布，数形结合 由0123)( 2 axxxf的两根在区间外则有 0) 3 1 ( 0) 3 2 ( f f 成立，可以解得2a 方法二：主参分离，求最值方法二：主参分离，求最值 0123)( 2 axxxf对) 3 1 , 3 2 (x恒成立。则有 x x a 2 13 2 则 max 2 ) 2 13 ( x
20、 x a ，由“对勾函数” ) 3 1 , 3 2 (x2) 2 13 ( max 2 x x ，则2a 方法三：求根公式方法三：求根公式 由0123)( 2 axxxf的两根在区间外则有 0 3 1 3 3 3 2 3 3 2 2 aa aa 可以解得2a 13 【题型【题型 2 2】不等式与恒成立问题】不等式与恒成立问题 例二（08 安徽文） 设函数 32 3 ( )(1)1, 32 a f xxxaxa其中为实数。 （）已知函数( )f x在1x 处取得极值，求a的值； （）已知不等式 2 ( )1fxxxa对任意(0,)a都成立，求实数x的取值范围。 解法分析：解法分析： （） 2 (
21、 )3(1)fxaxxa，由于函数( )f x在1x 时取得极值， 所以 (1) 0f 即 310,1aaa 对于问题对于问题（）有两种方法：）有两种方法： 方法一方法一 转化为转化为关于关于a的函数的函数)(ag 由题设知： 22 3(1)1axxaxxa对任意(0,)a都成立 即 22 (2)20a xxx对任意(0,)a都成立 设 22 ( )(2)2 ()g aa xxx aR, 则对任意xR，( )g a为单调递增函数()aR 所以对任意(0,)a，( )0g a 恒成立的充分必要条件是(0)0g 即 2 20 xx，20 x 于是x的取值范围是| 20 xx 方法二方法二 恒成立问
22、题，转化为不等式的最值问题恒成立问题，转化为不等式的最值问题 由题设知： 22 3(1)1axxaxxa对任意(0,)a都成立 即 22 (2)20a xxx对任意(0,)a都成立 于是 2 2 2 2 xx a x 对任意(0,)a都成立，即 2 2 2 0 2 xx x 20 x 于是x的取值范围是| 20 xx 14 【题型【题型 3 3】三次方程根问题】三次方程根问题 例三（05 全国）设 a 为实数，函数axxxxf 23 )(。 （）求)(xf的极值； （）当 a 在什么范围内取值时，曲线xxfy与)(轴仅有一个交点。 解法分析：解法分析： 对于问题（）易得 f(x)的极大值是fa
23、() 1 3 5 27 ，极小值是fa( ) 11 对于问题（）主要方法结合三次函数图象解决 方法一：由三次函数单调性方法一：由三次函数单调性 函数f xxxxaxxa( )() () 322 111 由此可知 x 取足够大的正数时，有f x( ) 0，x 取足够小的负数时有f x( ) 0， 所以曲线yf x ( )与 x 轴至少有一个交点。 结合 f(x)的单调性可知： 当 f(x)的极大值 5 27 0a，即a ()， 5 27 时，它的极小值也小于 0， 因此曲线yf x ( )与 x 轴仅有一个交点，它在()1，上； 当 f(x)的极小值a 10，即a ()1，时，它的极大值也大于
24、0， 因此曲线yf x ( )与 x 轴仅有一个交点，它在()， 1 3 上 所以当a ()()， 5 27 1时，曲线yf x ( )与 x 轴仅有一个交点。 方法二：将方法二：将)(xf与与 x 轴交点问题转化为函数轴交点问题转化为函数xxxxg 23 )(与函数与函数ay 的交点个数问题的交点个数问题 易求函数xxxxg 23 )(的极大值 27 5 极小值-1， 当 27 5 a或1 a时函数xxxxg 23 )(与函 数ay 只有一个交点所以当a ()()， 5 27 1时，曲线yf x ( )与 x 轴仅有一个交点。 同学们也可以思考一下，函数axxxxf 23 )(当 a 在什么
25、范围内取值时，曲线xxfy与)(轴仅有三个 y x -1 27 5 y=-a 15 交点。 【题型【题型 4 4】三次函数极值点与二次函数零点分布问题】三次函数极值点与二次函数零点分布问题 例五(07 全国 22 ) 已知函数 32 1 ( )(2)1 3 f xaxbxb x 在 1 xx处取得极大值，在 2 xx处取得极小值，且 12 012xx （1）证明0a ； （2）若 z=a+2b,求 z 的取值范围。 解法分析：解法分析： 对于问题一，较容易解决，由函数对于问题一，较容易解决，由函数( )f x在在 1 xx处取得极大值，处取得极大值， 在 2 xx处取得极小值，知 12 xx，
26、是( )0fx的两个根 所以 12 ( )()()fxa xxxx 当 1 xx时，( )f x为增函数，( )0fx，由 1 0 xx， 2 0 xx得0a 对于问题二，转化为二次函数零点分布问题对于问题二，转化为二次函数零点分布问题 在题设下， 12 012xx 等价于 (0)0 (1)0 (2)0 f f f 即 20 220 4420 b abb abb 化简得 20 320 4520 b ab ab 此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：20320 4520babab， 所围成的ABC的内部，其三个顶点分别为： 4 6 (2 2)(4 2) 7 7 ABC ， ， z在这三点的值依次为1668 7 ， ， 所以z的取值范围为 16 8 7 ， 总之，三次函数总之，三次函数是我们高中学习中的一个重要函数，同学们有必要在不断探索、研究中，结合二次函数常是我们高中学习中的一个重要函数，同学们有必要在不断探索、研究中，结合二次函数常 见题型，总结出解决三次函数问题的基本方法、基本技巧。见题型，总结出解决三次函数问题的基本方法、基本技巧。 b a 2 1 2 4 O 4 6 7 7 A ， (4 2)C， (2 2)B， 16
