1、 - 1 - 基本不等式：基本不等式： aba b 2 考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题. 知 识 梳 理 1.基本不等式： abab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号. (3)其中ab 2 称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号. (2)ab ab 2 2 (a，bR)，当且仅当 ab 时取等号. (3)a 2b2 2 ab 2 2 (a，bR)，当且仅当 ab 时取
2、等号. (4)b a a b2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定 和最小). (2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是s 2 4(简记：和定积最 大). 常用结论与易错提醒 1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式 的逆用等，例如：ab ab 2 2 a 2b2 2 ， abab 2 a2b2 2 (a0，b0)等，同 - 2 - 时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 2
3、.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 4.基本不等式的一般形式： 1 n(a1a2a3an) n a1a2an(其中 a1， a2， a3， ， an(0，)，当且仅当 a1a2a3an时等号成立). 诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误. (1)当 a0，b0 时，ab 2 ab.( ) (2)两个不等式 a2b22ab 与ab 2 ab成立的条件是相同的.( ) (3)函数 yx1 x的最小值是 2.( ) (4)函数 f(x)sin x 4 sin x的最小值为 4.( ) (5)x0 且 y0
4、是x y y x2 的充要条件.( ) 解析 (2)不等式 a2b22ab 成立的条件是 a，bR； 不等式ab 2 ab成立的条件是 a0，b0. (3)函数 yx1 x值域是(，22，)，没有最小值. (4)函数 f(x)sin x 4 sin x无最小值. (5)x0 且 y0 是x y y x2 的充分不必要条件. 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为( ) A.80 B.77 C.81 D.82 解析 xy xy 2 2 81，当且仅当 xy9 时取等号. 答案 C 3.若直线x a y b1(a0，b0)过点(1，1)
5、，则 ab 的最小值等于( ) - 3 - A.2 B.3 C.4 D.5 解析 因为直线x a y b1(a0，b0)过点(1，1)，所以 1 a 1 b1.所以 ab(a b) 1 a 1 b 2a b b a22 a b b a4，当且仅当 ab2 时取“”，故选 C. 答案 C 4.若函数 f(x)x 1 x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a( ) A.1 2 B.1 3 C.3 D.4 解析 当 x2 时，x20，f(x)(x2) 1 x222 （x2） 1 x224， 当且仅当 x2 1 x2(x2)，即 x3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a3， 选 C. 答案
6、C 5.(必修 5P100A2 改编)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m 时菜园面积最大. 解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x2y30，所以 Sxy1 2x (2y) 1 2 x2y 2 2 225 2 ，当且仅当 x2y，即 x15，y15 2 时取等号. 答案 15 15 2 6.已知正数 x，y 满足 xy1，则 xy 的取值范围为_，1 x x y的最小值为 _. 解析 正数 x，y 满足 xy1， y1x，0x1，y1x， xy2x1，又 0x1， 02x2，12x10 且 x0，解得 0x1)的最小值为
7、_. (2)当 x0 时，x a x1(a0)的最小值为 3，则实数 a 的值为_. 解析 (1)yx 22 x1 （x 22x1）（2x2）3 x1 （x1） 22（x1）3 x1 (x1) 3 x122 32. 当且仅当 x1 3 x1，即 x 31 时，等号成立. (2)因为当 x0，a0 时，x a x1x1 a x112 a1，当且仅当 x1 a x1 时，等号成立，又 x a x1(a0)的最小值为 3，所以 2 a13，解得 a4. 答案 (1)2 32 (2)4 考点二 常数代换或消元法求最值 易错警示 【例 2】 (1)(2020 浙江“超级全能生”联考)已知正数 x， y
8、满足 xy1， 则 1 1x 1 12y的最小值是( ) A.33 28 B.7 6 C.32 2 5 D.6 5 (2)(一题多解)已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为_. 解析 (1)xy1，2x22y15， 1 1x 1 12y 1 5(2x22y 1) 2 22x 1 12y 1 5 324y 22x 22x 12y 32 2 5 ， 当且仅当 2x24y24x4y1 0 时等号成立，故选 C. (2)由已知得 x93y 1y . 法一 (消元法) - 6 - 因为 x0，y0，所以 0y3，所以 x3y93y 1y 3y 12 1y3(y1)62 12 1y 3（y
9、1）66， 当且仅当 12 1y3(y1)，即 y1，x3 时，(x3y)min6. 法二 x0，y0，9(x3y)xy1 3x (3y) 1 3 x3y 2 2 ， 当且仅当 x3y 时等号成立. 设 x3yt0，则 t212t1080， (t6)(t18)0， 又t0，t6.故当 x3，y1 时，(x3y)min6. 答案 (1)C (2)6 规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个 量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变 形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最 值；三是对条件使用基本不等式，建立
10、所求目标函数的不等式求解. 易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使 用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致. 【训练 2】 (1)(一题多解)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值为 _. (2)已知正数 x， y 满足 2xy2， 则当 x_时， 1 xy 取得最小值为_. 解析 (1)法一 由 x3y5xy 可得 1 5y 3 5x1， 3x4y(3x4y) 1 5y 3 5x 9 5 4 5 3x 5y 12y 5x 13 5 12 5 5(当且仅当3x 5y 12y 5x ，即 x1，y1 2时，等号成立)
11、， 3x4y 的最小值是 5. 法二 由 x3y5xy，得 x 3y 5y1， x0，y0，y1 5， - 7 - 3x4y 9y 5y14y 13 y1 5 9 5 4 54y 5 y1 5 4y13 5 9 5 1 5 y1 5 4 y1 5 13 5 2 36 255， 当且仅当 x1，y1 2时等号成立，(3x4y)min5. (2)x，y 为正数，则 2xy2y22x00x1，所以1 x(22x) 1 x2x 22 22，当且仅当1 x2x，即 x 2 2 时等号成立. 答案 (1)5 (2) 2 2 2 22 考点三 一般形式的基本不等式的应用(选用) 【例 3】 (一题多解)(2
12、018 全国卷)已知函数 f(x)2sin xsin 2x， 则 f(x)的最小值 是_. 解析 法一 因为 f(x)2sin xsin 2x， 所以 f(x)2cos x2cos 2x4cos2x2cos x2 4 cos x1 2 (cos x1)， 由 f(x)0 得1 2cos x1，即 2k 3x2k 3，kZ， 由 f(x)0 得1cos x1 2， 即 2k 3x2k 或 2kx2k 3，kZ， 所以当 x2k 3(kZ)时，f(x)取得最小值， 且 f(x)minf 2k 3 2sin 2k 3 sin 2 2k 3 3 3 2 . 法二 因为 f(x)2sin xsin 2x
13、2sin x(1cos x)4sinx 2cos x 2 2cos 2x 28sin x 2cos 3x 2 8 3 3sin2x 2cos 6x 2， 所以f(x)264 3 3sin2x 2cos 6x 2 64 3 3sin2x 2cos 2x 2cos 2x 2cos 2x 2 4 4 27 4 ， - 8 - 当且仅当 3sin2x 2cos 2x 2，即 sin 2x 2 1 4时取等号， 所以 0f(x)227 4 ，所以3 3 2 f(x)3 3 2 ， 所以 f(x)的最小值为3 3 2 . 法三 因为 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)， 所以f(
14、x)24sin2x(1cos x)2 4(1cos x)(1cos x)3， 设 cos xt，则 y4(1t)(1t)3(1t1)， 所以 y4(1t)33(1t)(1t)2 4(1t)2(24t)， 所以当1t0；当 1 2t1 时，y0， 而(sin2 cos )24 1 2sin 2 1 2sin 2 cos2 4 1 2sin 21 2sin 2cos2 3 3 4 27， 当且仅当1 2sin 2cos2， 即 cos 3 3 ， 0， 2 时等号成立. sin2 cos 的最大值为2 3 9 . (2)证明 因为 a，b，c 为正数且 abc1， 故有(ab)3(bc)3(ca)
15、3 33（ab）3（bc）3（ca）33(ab)(bc)(ca) 3(2 ab)(2 bc)(2 ca)24. 当且仅当 abc1 时，等号成立， 所以(ab)3(bc)3(ca)324. 基础巩固题组 一、选择题 1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg x21 4 lg x(x0) B.sin x 1 sin x2(xk，kZ) C.x212|x|(xR) - 10 - D. 1 x211(xR) 解析 当 x0 时， x21 42 x 1 2x， 所以 lg x21 4 lg x(x0)， 故选项 A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当 xk，kZ 时，si
16、n x 的正负不定，故选项 B 不正确；显然选项 C 正确；当 x0 时，有 1 x211，选项 D 不正确. 答案 C 2.(2019 诸暨期末)已知 a2b1(a0，b0)，则2b a 1 b的最小值等于( ) A.4 B.2 22 C.5 2 D.2 21 解析 由题意得2b a 1 b 2b a a2b b 2b a a b22 2b a a b22 22，当且仅当 a 2b 21 时，等号成立，所以2b a 1 b的最小值为 2 22，故选 B. 答案 B 3.若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值是( ) A.4 3 B.5 3 C.2 D.5 4 解析
17、由 x0， y0，得 4x29y23xy2 (2x) (3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号 成立)，12xy3xy30，即 xy2，当且仅当 x 3，y2 3 3 时取等号，xy 的 最大值为 2. 答案 C 4.已知 a0，b0，ab1 a 1 b，则 1 a 2 b的最小值为( ) A.4 B.2 2 C.8 D.16 解析 由 a0，b0，ab1 a 1 b ab ab ，得 ab1， 则1 a 2 b2 1 a 2 b2 2.当且仅当 1 a 2 b， - 11 - 即 a 2 2 ，b 2时等号成立.故选 B. 答案 B 5.若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是(
18、 ) A. 1 ab 1 4 B.1 a 1 b1 C. ab2 D.a2b28 解析 4ab2 ab(当且仅当 ab 时，等号成立)，即 ab2，ab4， 1 ab 1 4， 选项 A，C 不成立；1 a 1 b ab ab 4 ab1，选项 B 不成立；a 2b2(ab)22ab 162ab8，选项 D 成立. 答案 D 6.若实数 a，b 满足1 a 2 b ab，则 ab 的最小值为( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4 解析 依题意知 a0，b0，则1 a 2 b2 2 ab 2 2 ab，当且仅当 1 a 2 b，即 b2a 时，“”成立.因为1 a 2 b ab，所以 ab
19、 2 2 ab，即 ab2 2(当且仅当 a2 1 4，b 2 5 4时等号成立)，所以 ab 的最小值为 2 2，故选 C. 答案 C 7.已知 a，b，c，d0，abcd2，则(a2c2)(b2d2)的最大值是( ) A.4 B.8 C.16 D.32 解析 （a2c2）（b2d2）a 2c2b2d2 2 （ab） 2（cd）2 2 4， (a2c2)(b2d2)16，当 ad2，bc0 或 bc2，ad0 时取到等号， 故选 C. 答案 C 8.(2019 台州期末评估)已知实数 a，b 满足 a2b24，则 ab 的取值范围是( ) - 12 - A.0，2 B.2，0 C.(，22，
20、) D.2，2 解析 a2b24，根据基本不等式得 4a2b22|ab|，|ab|2， 2ab2，ab 的取值范围是2，2，故选 D. 答案 D 9.已知 xy1 x 4 y8(x，y0)，则 xy 的最小值为( ) A.5 3 B.9 C.4 26 D.10 解析 由 xy1 x 4 y8 得 xy8 1 x 4 y，则(xy8)(xy) 1 x 4 y (xy)5 y x 4x y 52 y x 4x y 9，当且仅当y x 4x y ，即 y2x 时，等号成立，令 txy， 所以(t8) t9，解得 t1 或 t9，因为 xy0，所以 xy9，所以 xy 的 最小值为 9，故选 B. 答
21、案 B 二、填空题 10.(2019 天津卷)设x0， y0， x2y5， 则（x1）（2y1） xy 的最小值为_. 解析 x0，y0， xy0. x2y5，（x1）（2y1） xy 2xyx2y1 xy 2xy6 xy 2 xy 6 xy2 124 3， 当且仅当 2 xy 6 xy，即 x3，y1 或 x2，y 3 2时取等号. （x1）（2y1） xy 的最小值为 4 3. 答案 4 3 - 13 - 11.(2020 镇海中学模拟)已知 a，b(0，)且 a2b3，则1 a 2 b的最小值是 _. 解析 因为 a，b0，且 a2b3，所以1 a 2 b 1 a 2 b a 3 2b
22、3 1 3 4 3 2 3 a b b a 5 3 2 32 a b b a 5 3 4 33，当且仅当 a b b a，即 ab1 时取等号. 答案 3 12.(2018 江苏卷)在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， ABC120 ， ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为_. 解析 因为ABC120 ，ABC 的平分线交 AC 于点 D，所以ABDCBD 60 ，由三角形的面积公式可得1 2acsin 120 1 2a1sin 60 1 2c1sin 60 ，化简 得 acac， 又 a0， c0， 所以1 a 1 c1， 则
23、 4ac(4ac) 1 a 1 c 5c a 4a c 5 2 c a 4a c 9，当且仅当 c2a 时取等号，故 4ac 的最小值为 9. 答案 9 13.若正数 a，b 满足：1 a 1 b1，则 1 a1 9 b1的最小值为_. 解析 正数 a，b 满足1 a 1 b1， abab，1 a1 1 b0， 1 b1 1 a0， b1，a1， 则 1 a1 9 b12 9 （a1）（b1）2 9 ab（ab）16(当且仅当 a 4 3，b4 时等号成立)， 1 a1 9 b1的最小值为 6. 答案 6 14.(一题多解)若实数 x，y，z 满足 x2y3z1，x24y29z21，则 z 的
24、最小值 是_. 解析 法一 因为 19z2(x2y)22 x 2y(x2y)22 x2y 2 2 ，又 x2y1 - 14 - 3z，则 19z21 2(13z) 2，解得1 9z 1 3，即 z 的最小值为 1 9. 法二 由 x2(2y)219z2，设 x 19z2cos ，2y 19z2sin ，则 13z 19z2(cos sin )2（19z2）sin 4 ，由三角函数的有界性，得|1 3z| 2（19z2），解得1 9z 1 3，即 z 的最小值为 1 9. 答案 1 9 能力提升题组 15.设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当xy z 取得最大值时，2 x 1
25、y 2 z的 最大值为( ) A.0 B.1 C.9 4 D.3 解析 由已知得 zx23xy4y2，(*) 则xy z xy x23xy4y2 1 x y 4y x 3 1，当且仅当 x2y 时取等号，把 x2y 代入(*) 式，得 z2y2，所以2 x 1 y 2 z 1 y 1 y 1 y2 1 y1 2 11. 答案 B 16.(2020 金华一中月考)已知正实数 a，b 满足：ab1，则 2a a2b b ab2的最大值 是( ) A.2 B.1 2 C.12 3 3 D.13 2 2 解析 因为正实数 a，b 满足 ab1， 所以 2a a2b b ab2 2a a21a 1a a
26、（1a）2 a1 a2a1. 令 ta1(1，2)，则原式 t t23t3 1 t3 t3 1 2 33 32 3 3 12 3 3 . 当且仅当 t3 t，即 t 3a1，a 31，b2 3时取等号，故选 C. - 15 - 答案 C 17.(一题多解)(2017 北京卷改编)已知 x0，y0，且 xy1，则 x2y2的最小值 为_，最大值为_. 解析 法一 x0，y0 且 xy1， 2 xyxy1，当且仅当 xy1 2时取等号，从而 0 xy 1 4， 因此 x2y2(xy)22xy12xy， 所以1 2x 2y21. 法二 xy1，x0，y0， y1x，x0，1， x2y2x2(1x)2
27、2x22x12 x1 2 2 1 2，对称轴为 x 1 2，故 x 1 2时，有 最小值为1 2，x0 或 x1 时有最大值为 1. 法三 可转化为线段 AB 上的点到原点距离平方的范围.AB 上的点到原点距离的范 围为 2 2 ，1 ，则 x2y2的取值范围为 1 2，1 . 答案 1 2 1 18.(2020 杭州四中仿真)已知实数 x，y，z 满足 xy2z1， x2y2z25，则 xyz 的最小值为 _；此时 z_. 解析 由 xy2z1 得 z1xy 2 ，则 5x2y2z2x2y2 1xy 2 2 2|xy| 1xy 2 2 ，即 x2y26xy190 或 x2y210 xy190
28、，解得 52 11xy3 2 7，则 xyzxy1xy 2 1 2 xy1 2 2 1 8，则当 xy52 11时，xyz 取得最小值 - 16 - 9 1132，此时 z1xy 2 112. 答案 9 1132 112 19.设 ab2，b0，则当 a_时， 1 2|a| |a| b 取得最小值为_. 解析 由于 ab2， 所以 1 2|a| |a| b ab 4|a| |a| b a 4|a| b 4|a| |a| b ， 由于 b0，|a|0， 所以 b 4|a| |a| b 2 b 4|a| |a| b 1， 因此当 a0 时， 1 2|a| |a| b 的最小值是1 41 5 4.
29、当 a0 时， 1 2|a| |a| b 的最小值是1 41 3 4. 故 1 2|a| |a| b 的最小值为3 4，此时 b 4|a| |a| b ， a0，且 a2b2c210，则 abacbc 的最大值是_，ab ac2bc 的最大值是_. 解析 因为 abacbc2a 22b22c2 2 10，当且仅当 abc 时取等号，又因 为 1 2 a2xb22xab(0 x1)， 1 2 a2yc22yac(0y1)，(1x)b2(1 y)c22 （1x）（1y）bc，令 2x 2y （1x）（1y），即 xy2 3，故此时有 a2b2c2( 31)(abac2bc)，即 abac2bc5 35，当 且仅当 2 2 a(2 3)b(2 3)c 时取等号. 答案 10 5 35
