1、 中考数学 8.5 开放探究型 1.(2020四川成都,25,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E,F分别为AB,CD边的中点.动点P从点E出发 沿EA向点A运动,同时,动点Q从点F出发沿FC向点C运动,连接PQ,过点B作BHPQ于点H,连接DH.若点 P的速度是点Q的速度的2倍,在点P从点E运动至点A的过程中,线段PQ长度的最大值为 ,线段DH长 度的最小值为 . 答案答案 3;- 2132 解析解析 如图所示,连接EF,作QGAB于G,则四边形EGQF为矩形,EG=FQ,EF=QG=AD=BC. 图 PQ=, 点P从点E运动至点A,点Q从点F运动至点C, 在点P从点E运动至
2、点A的过程中, 当A、P重合时,PE+FQ最大, 此时PE+FQ=AB+AB=3, PQmax=3. 22 PGQG 22 ()PEFQCB 1 2 1 4 22 33182 如图,连接EF交PQ于M,则EF=BC=3,连接BM. DCAB,FMQEMP, 图 =,ME=EF=2. BE=AB=2,BM=2. FEB=BHM=90,点H和点E均在以BM为直径的圆上. 设圆心为O,连接DO交O于点H1,依据点D在O外可知, ME MF PE FQ 2 1 2 3 1 2 22 MEBE2 当H运动到H1位置时,DH的长最小, 过O作OKBE,OJBC,ONAD,垂足分别为K,J,N,则N,O,J
3、在同一直线上,且四边形AKON,KBJO均为矩 形. 易得OK=EM=1,OJ=BE=1, DN=DA-AN=DA-OK=2,ON=NJ-OJ=AB-OJ=3, DHmin=DH1=-BM=-. 1 2 1 2 22 DNON 1 2 132 方法指导方法指导 在求解动态几何的最值问题时,一般采用数形结合与化动为静的思想,将不规则运动转换为 规则运动,再讨论最值问题. 2.(2020广西北部湾经济区,18,3分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,C=60,点E,F分别是AB,AD上的 动点,且AE=DF,DE与BF交于点P.当点E从点A运动到点B时,则点P的运动路径长为 . 3 答案答案 4
4、3 解析解析 连接BD, 由菱形的性质及C=60, 可知BCD、ABD均为等边三角形, 故BD=AD,且BDF=A=60, 又AE=DF,故在E、F运动过程中,BDFDAE,即DBF=ADE, 因此DBF+BDP始终等于60,即BPD始终等于120, 又C=60,因此B、C、D、P四点共圆, 故点P的运动路径为以等边三角形BCD的中心O为圆心,OB为半径的圆的一部分,即,延长BO交CD于 BD G,易证DG=CD=,ODG=BDC=30, 故OB=OD=2,且BOD=120, l=.即点P的运动路径长为. 1 2 3 1 2 cos30? GD3 3 2 BD 120 2 180 4 3 4
5、3 3.(2020吉林,25,10分)如图,ABC是等边三角形,AB=4 cm.动点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿AB向点B 匀速运动,过点P作PQAB,交折线AC-CB于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧.设点P 的运动时间为x(s)(0x2),PQD与ABC重叠部分图形的面积为y(cm2). (1)AP的长为 cm(用含x的代数式表示); (2)当点D落在边BC上时,求x的值; (3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. 解析解析 (1)2x.(2分) 详解:根据“路程=速度时间”可得AP=2x(cm). (2)如图,根据题意,得4x+2x=4,解
6、得x=. 图 当点D落在边BC上时,x=.(4分) (3)如图,当0x时,y=(2x)2=3x2. y=3x2.(6分) 2 3 2 3 2 3 3 4 33 3 图 图 图 如图,当x1时,y=3x2-(3x-2)2 =- x2+18x-6. y=- x2+18x-6.(8分) 如图,当1x2时,y=(4-2x)2 =(x-2)2. 2 3 3 3 3 2 21 2 333 21 2 333 1 2 3 3 4 3 3 2 y=(x-2)2.(10分) 3 3 2 2 3 3 -6 36 3 2 yxx 或 难点突破难点突破 对于第(3)问,先利用第(2)问所求x的值及点Q与点C重合时x的值
7、,分0x、x1和1x 2三种情况讨论,然后分别利用等边三角形的性质、锐角三角函数正确表达PQD与ABC重叠部分图 形的面积y即可. 2 3 2 3 方法总结方法总结 对于几何动态探究题,通常有以下解题思路:一是弄清在运动过程中,存在哪些不变量及不变 的关系,有哪些几何量是变化的,以及它们之间的关系;二是根据变量和不变量之间的几何关系建立方程 模型,求出动点在特殊位置的未知量的值;或根据变量和变量之间的几何关系建立函数模型,探究特殊情 况下未知量的值,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示. 4.(2020广西北部湾经济区,26,10分)如图1,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+1与直线l
8、2:x=-2相交于点D,点 A是直线l2上的动点,过点A作ABl1于点B,点C的坐标为(0,3),连接AC,BC,设点A的纵坐标为t,ABC的面 积为s. (1)当t=2时,请直接写出点B的坐标; (2)s关于t的函数解析式为s=其图象如图2所示,结合图1、2的信息,求出a与b的值; (3)在l2上是否存在点A,使得ABC是直角三角形?若存在,请求出此时点A的坐标和ABC的面积;若不存 在,请说明理由. 2 15 -,-15, 44 (1)( -5),-15, tbttt a ttt 或 解析解析 (1)当t=2时,A(-2,2), 直线l1:y=x+1,ABl1, 可设直线AB的解析式为y=
9、-x+n, 将A(-2,2)代入y=-x+n, 得n=0, 直线AB的解析式为y=-x, 联立得 B. (2)当t=7时,s=4, 故72+7b-=4, - , 1, yx yx 1 -, 2 1 , 2 x y 1 1 -, 2 2 1 4 5 4 解得b=-1. 当t=2时,s在-1t5内取得最大值, 此时s=SOAC-SOBC=32-3=, 则a(2+1)(2-5)=,解得a=-. (3)(i)若A为ABC的直角顶点,则ACl1, -15 2 1 2 1 2 1 2 9 4 9 4 1 4 此时AC的方程为y=x+3, 令x=-2,得y=1,A(-2,1).易得B(-1,0). AC=2
10、,AB=. 此时s=2=2. (ii)若C为ABC的直角顶点,过B作l2的垂线交l2于E,易知ABD为等腰直角三角形,E为AD的中点,D(- 2,-1),A(-2,t), 则E,B, 在RtABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2, 在等腰直角三角形ABD中,由勾股定理得2AB2=AD2, 22+(t-3)2+=t2-12t+27=0,解得t=3或t=9,则A(-2,3)或A(-2,9), s=22=2或s=2=10. 22 2222 1 2 22 -1 -2, 2 t -3-1 , 22 tt 2 -3 2 t 2 -1-3 2 t 2 (1) 2 t 1 2 1 2 1010 (iii
11、)当B为ABC的直角顶点时,此种情况不存在.(当A在D上方时,ABC为锐角;当A在D下方时,ABC 为钝角) 综上,在l2上存在点A,使得ABC是直角三角形,点A的坐标为(-2,1)或(-2,3)或(-2,9),相应ABC的面积为2 或2或10. 思路分析思路分析 (1)根据A点坐标求出直线AB的解析式,然后和l1:y=x+1联立即可求出B点的坐标; (2)将t=7,s=4代入s=t2+bt-,可求出b的值,易知当t=2时,s在-1t5内取得最大值,通过s=SOAC-SOBC求出s, 然后由s=a(t+1)(t-5)即可求出a的值; (3)分A为ABC的直角顶点,C为ABC的直角顶点,B为AB
12、C的直角顶点3种情况讨论即可. 1 4 5 4 5.(2020贵州贵阳,25,12分)如图,四边形ABCD是正方形,点O为对角线AC的中点. (1)问题解决:如图,连接BO,分别取CB,BO的中点P,Q,连接PQ,则PQ与BO的数量关系是 ,位置 关系是 ; (2)问题探究:如图,AOE是将图中的AOB绕点A按顺时针方向旋转45得到的三角形,连接CE,点 P,Q分别为CE,BO的中点,连接PQ,PB,判断PQB的形状,并证明你的结论; (3)拓展延伸:如图,AOE是将图中的AOB绕点A按逆时针方向旋转45得到的三角形,连接BO,点 P,Q分别为CE,BO的中点,连接PQ,PB.若正方形ABCD
13、的边长为1,求PQB的面积. 图 图 图 解析解析 (1)PQ=BO;PQBO. (2)PQB的形状是等腰直角三角形.理由如下: 连接OP并延长交BC于点F,由正方形的性质及旋转可得 AB=BC,ABC=90,AOE是等腰直角三角形,OEBC,OE=OA. OEP=FCP,POE=PFC. 又点P是CE的中点,CP=EP. OPEFPC(AAS). OE=FC=OA,OP=FP. AB-OA=CB-FC,BO=BF. 1 2 OBF为等腰直角三角形. BPOF,OP=BP. BPO也为等腰直角三角形. 又点Q为OB的中点, PQOB,且PQ=BQ. PQB是等腰直角三角形. (3)延长OE交B
14、C边于点G,连接PG,OP. 四边形ABCD是正方形,AC是对角线, ECG=45. 由旋转得,四边形OABG是矩形, OG=AB=BC,EGC=90. EGC为等腰直角三角形. 点P是CE的中点, PC=PG=PE,CPG=90,EGP=45. OGPBCP(SAS). OPG=BPC,OP=BP. OPG-GPB=BPC-GPB=90. OPB=90. OPB为等腰直角三角形. Q是OB的中点, PQ=OB=BQ,PQOB. 1 2 AB=1,OA=,OB=, BQ=. SPQB=BQ PQ=. 2 2 2 2 2 1 2 6 2 6 4 1 2 1 2 6 4 6 4 3 16 6.(2
15、020江西,23,12分)某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后,针对图1中所示的“由直角三角形三 边向外侧作多边形,它们的面积S1,S2,S3之间的关系问题”进行了以下探究: 类比探究 (1)如图2,在RtABC中,BC为斜边,分别以AB,AC,BC为斜边向外侧作RtABD,RtACE,RtBCF,若1 =2=3,则面积S1,S2,S3之间的关系式为 ; 推广验证 (2)如图3,在RtABC中,BC为斜边,分别以AB,AC,BC为边向外侧作任意ABD,ACE,BCF,满足1= 2=3,D=E=F,则(1)中所得关系式是否仍然成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理 由; 拓展应用 (
16、3)如图4,在五边形ABCDE中,A=E=C=105,ABC=90,AB=2,DE=2,点P在AE上,ABP=30, PE=,求五边形ABCDE的面积. 图4 3 2 解析解析 (1)S1+S2=S3. 详解:ABC是直角三角形,AB2+AC2=BC2. ABD、ACE、BCF均为直角三角形,且1=2=3, RtABDRtACERtBCF,=,=, +=+=1. S1+S2=S3. (2)成立.证明如下: 1=2=3,D=E=F, ABDCAEBCF. =,=. =. 1 3 S S 2 2 AB BC 2 3 S S 2 2 AC BC 1 3 S S 2 3 S S 12 3 SS S 2
17、 2 AB BC 2 2 AC BC 22 2 ABAC BC 2 2 BC BC 1 3 S S 2 2 AB BC 2 3 S S 2 2 AC BC 12 3 SS S 22 2 ABAC BC ABC为直角三角形, AB2+AC2=BC2. =1. S1+S2=S3. (3)过点A作AHBP于点H. ABH=30,AB=2, AH=,BH=3,BAH=60. BAP=105, 12 3 SS S 3 3 HAP=45. PH=AH=. AP=,BP=BH+PH=3+. SABP=. 连接PD. PE=,ED=2, =,=. =. 又E=BAP=105, ABPEDP. EPD=APB=
18、45,=. 3 63 2 BP AH(33)3 2 3 33 2 2 PE AP 2 6 3 3 ED AB 2 2 3 3 3 PE AP ED AB PD BP PE AP 3 3 BPD=90,PD=1+. SPED=SABP=. 连接BD. SPBD=2+3. tanPBD=,PBD=30. ABC=90,ABP=30, DBC=30. C=105, ABPEDPCBD. SBCD=SABP+SEDP=+=2+2. 3 2 3 3 3 33 2 1 3 31 2 2 PB PD( 33)(13) 2 3 PD BP 3 3 3 33 2 31 2 3 S五边形ABCDE=SABP+SE
19、DP+SBCD+SBPD =+(2+2)+(2+3) =6+7. 3 33 2 31 2 33 3 7.(2019天津,24,10分)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,ABO=30.矩形 CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2. (1)如图1,求点E的坐标; (2)将矩形CODE沿x轴向右平移,得到矩形CODE,点C,O,D,E的对应点分别为C,O,D,E.设OO=t,矩形C ODE与ABO重叠部分的面积为S. 如图2,当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时,CE,ED分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式 子表示S,并直接写出t的取值
20、范围; 当S5时,求t的取值范围(直接写出结果即可). 33 解析解析 (1)由点A(6,0),得OA=6, 又OD=2,AD=OA-OD=4, 在矩形CODE中,有EDCO,得AED=ABO=30, 在RtAED中,AE=2AD=8, 由勾股定理,得ED=4, 点E的坐标为(2,4). (2)由平移知,OD=2,ED=4,ME=OO=t, 由EDBO,得EFM=ABO=30, 在RtMFE中,MF=2ME=2t, 由勾股定理,得FE=t, SMFE=ME FE= tt=t2, S矩形CODE=OD ED=8, 22 -AE AD3 3 3 22 -MFME3 1 2 1 2 3 3 2 3
21、S=S矩形CODE-SMFE=8-t2, S=-t2+8,其中t的取值范围是0t2. t6-. 提示:当0t2时,S=-t2+8, t=0时,Smax=8;t=2时,Smin=6,6S8,不在范围内. 当2t4时,如图,OA=6-t,DA=4-t, 根据勾股定理得ON=(6-t),DF=(4-t), 3 3 2 3 2 3 5 2 2 3 2 3 3333 33 S=(6-t)+(4-t)2=-2t+10, 2S6. 当S=5时,t=,t4. 当4t6时,如图,OA=6-t, 根据勾股定理得ON=(6-t), S=(6-t)(6-t)=t2-6t+18, 0S2. 1 2 3333 33 3
22、5 2 5 2 3 1 2 3 3 2 33 3 当S=时,t1=6+(舍去),t2=6-, 4t6-. 综上所述,t6-. 322 2 5 2 2 易错警示易错警示 此题为动态几何问题,需按矩形CODE与ABO重叠部分的形状变化分类讨论,若只画出其 中一种情况,则会因为考虑不全而产生错误. 8.(2019江西,23,12分)特例感知 (1)如图1,对于抛物线y1=-x2-x+1,y2=-x2-2x+1,y3=-x2-3x+1,下列结论正确的序号是 ; 抛物线y1,y2,y3都经过点C(0,1); 抛物线y2,y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到; 抛物线y1,y2,y3与直
23、线y=1的交点中,相邻两点之间的距离相等. 图1 形成概念 (2)把满足yn=-x2-nx+1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”. 1 2 知识应用 在(2)中,如图2. “系列平移抛物线”的顶点依次为P1,P2,P3,Pn,用含n的代数式表示顶点Pn的坐标,并写出该顶点纵 坐标y与横坐标x之间的关系式; “系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”:C1,C2,C3,Cn.其横坐标分别为 -k-1,-k-2,-k-3,-k-n(k为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相等,若相等,直接写出相邻两点之间 的距离;若不相等,说明理由; 在中,直线y=1分别交“系列平
24、移抛物线”于点A1,A2,A3,An,连接CnAn,Cn-1An-1,判断CnAn,Cn-1An-1是否 平行,并说明理由. 图2 解析解析 (1). 详解:当x=0时,y1=y2=y3=1,故正确. 抛物线y1,y2,y3的对称轴分别为直线x1=-,x2=-1,x3=-,故正确. 抛物线y1,y2,y3与直线y=1的交点(除了点C)横坐标分别为-1,-2,-3,相邻两点之间的距离为1,故正确. (2)Pn.y=x2+1. 详解:yn=-x2-nx+1=-+1. 顶点Pn的坐标为. 令顶点Pn的横坐标为x=-,纵坐标为y=+1,则y=+1=+1=x2+1. 相邻两点之间的距离都相等. 1 2
25、3 2 2 -,1 2 4 n n 2 2 n x 2 4 n 2 -,1 2 4 n n 2 n 2 4 n 2 4 n 2 - 2 n 理由:根据题意得Cn(-k-n,-k2-nk+1),Cn-1(-k-n+1,-k2-nk+k+1). Cn,Cn-1两点之间的铅直高度=-k2-nk+k+1-(-k2-nk+1)=k, Cn,Cn-1两点之间的水平距离=-k-n+1-(-k-n)=1. 由勾股定理得Cn=k2+1.CnCn-1=. CnAn与Cn-1An-1不平行. 理由:根据题意得Cn(-k-n,-k2-nk+1),Cn-1(-k-n+1,-k2-nk+k+1), 2 -1n C 2 1
26、k An(-n,1),An-1(-n+1,1). 过Cn,Cn-1分别作直线y=1的垂线,垂足为D,E, D(-k-n,1),E(-k-n+1,1). 在RtDAnCn中, tanDAnCn=k+n. 在RtEAn-1Cn-1中,tanEAn-1Cn-1= =k+n-1. k+n-1k+n, tanDAnCntanEAn-1Cn-1. DAnCnEAn-1Cn-1. CnAn与Cn-1An-1不平行. n n C D A D 2 1-(-1) - -(- - ) knk nk n 2 knk k -1 -1 n n CE A E 2 1-(-1) -1-(- -1) knkk nk n 2 -
27、knk k k 9.(2019河南,22,10分)在ABC中,CA=CB,ACB=.点P是平面内不与点A、C重合的任意一点,连接AP, 将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP. (1)观察猜想 如图1,当=60时,的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 . (2)类比探究 如图2,当=90时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理 由. (3)解决问题 当=90时,若点E、F分别是CA、CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时 的值. BD CP BD CP AD CP 解析解析 (1)1;60.
28、(注:若填60,不扣分)(2分) 如图,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O. 由题意得PAD=CAB=60,CAP=BAD, CA=BA,PA=DA, CAPBAD(SAS), PC=BD,ACP=ABD, AOC=BOE, BEO=CAO=60, =1,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60. (2),直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45. (注:若没写出,但后续证明正确,不扣分)(4分) 理由如下: ACB=90,CA=CB,CAB=45,=. 同理可得:PAD=45,=. =,CAB=PAD. CAB+DAC=PAD+DAC,即DAB=PAC. DABPAC
29、.(6分) =,DBA=PCA. 设BD交CP于点G,BD交CA于点H. BD PC 2 AB AC 2 AD AP 2 AB AC AD AP BD CP AB AC 2 BHA=CHG, CGH=BAH=45.(8分) (3)的值为2+或2-.注:若把2-写为,不扣分(10分) 提示:分两种情况.如图,可设CP=a,则BD=a.设CD与AB交于点Q,则PQ=CP=a.可证DQB=DBQ= 67.5,则DQ=BD=a,易得AD=PD=2a+a,所以=2+. 如图,可设AP=DP=b,则AD=b.由EFAB,得PEA=CAB=45,可证ECD=EAD=22.5,CD= AD=b,CP=b+b,
30、所以=2-. AD CP 222 2 21 2 222 AD CP 2 2 22 AD CP 2 图 图 1.(2020海南,21,13分)四边形ABCD是边长为2的正方形,E是AB的中点,连接DE,点F是射线BC上一动点 (不与点B重合),连接AF,交DE于点G. (1)如图1,当点F是BC边的中点时,求证:ABFDAE; (2)如图2,当点F与点C重合时,求AG的长; (3)在点F运动的过程中,当线段BF为何值时,AG=AE?请说明理由. 教师专用题组 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形, B=DAE=90,AB=AD=BC,(2分) 点E、F分别是AB、BC的中点, AE=AB
31、,BF=BC, AE=BF,(3分) ABFDAE.(4分) (2)在正方形ABCD中,ADC=90,AD=CD=2, AC=2,(5分) ABCD, AGECGD,(6分) =,即=,(7分) AG=.(8分) 1 2 1 2 22 ADCD 22 222 AG CG AE CD2 2- AG AG 1 2 2 2 3 (3)当BF=时,AG=AE.理由如下: 由(2)知,当点F与点C重合(即BF=2)时, AG=2),如图所示,设AF交CD于点M, 8 3 2 2 3 DM=, CM=CD-DM=2-=,(10分) ABCD, ABFMCF,(11分) =,即=,(12分) BF=, 故当
32、BF=时,AG=AE.(13分) 3 2 3 2 1 2 BF CF AB MC-2 BF BF 2 1 2 8 3 8 3 若使AG=AE=1,则有1=2, ABCD,1=4, 又2=3,3=4,DM=MG.(9分) 在RtADM中,AM2-DM2=AD2, 即(DM+1)2-DM2=22, 一题多解一题多解 (3)取线段BC的中点H,连接AH交ED于N,由(1)得DAEABH,BAH=ADE, BAD=BAH+DAH=90,ADE+DAH=90, AND=90,即ANDE, AE=AG,ANDE,BAH=GAH, ADE=GAH, ADBC,DAG=AFB,DAGAFH, =,=, 化简得
33、3CF2+4CF-4=0,解得CF=或CF=-2(舍去), 所以BF=2+=. AG FH AD AF 1 1CF 22 2 2(2)CF 2 3 2 3 8 3 2.(2020云南昆明,23,12分)如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F分别为AB,CD的中点. (1)求证:四边形AEFD是矩形; (2)如图2,点P是边AD上一点,BP交EF于点O,点A关于BP的对称点为点M,当点M落在线段EF上时,则有 OB=OM.请说明理由; (3)如图3,若点P是射线AD上一个动点,点A关于BP的对称点为点M,连接AM,DM,当AMD是等腰三角形 时,求AP的长. 图1 图2 图3 解
34、析解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形, ABCD,AB=CD,A=90,(1分) 点E,F分别是AB,CD的中点, AE=AB,DF=CD, AE=DF,(2分) AEDF, 四边形AEFD是平行四边形,(3分) A=90, 四边形AEFD是矩形.(4分) 1 2 1 2 (2)证法一:连接OA,AM. 点A关于BP的对称点为M, BP垂直平分AM,(5分) OA=OM,(6分) 四边形AEFD是矩形, EFAB, 点E是AB的中点, EF垂直平分AB, OA=OB,OB=OM.(8分) 证法二:连接OA,AM, 点A关于BP的对称点为M, BP垂直平分AM,(5分) OA=OM,(6分)
35、 四边形AEFD是矩形, EOAP, =1, BO=OP, 在RtABP中,AO=BO=BP,(7分) BO OP BE EA 1 2 OB=OM.(8分) (其他证法参照此标准给分) (3)分四种情况: 当MA=MD,且点P在边AD上时, 过点M作直线MHAD于点H,交BC于点G,连接PM,BM, AD=BC=8, AH=AD=4, BAH=ABG=AHG=90, 四边形ABGH是矩形, BG=AH=4,HG=AB=5, BP垂直平分AM, BM=BA=5,AP=PM, 在RtBGM中,BGM=90,由勾股定理得 MG=3, HM=2, 设AP=PM=a,则PH=4-a, 在RtPHM中,P
36、HM=90,由勾股定理得 PH2+HM2=PM2,即(4-a)2+22=a2,解得a=, 1 2 22 -BMBG 22 5 -4 5 2 AP=.(9分) 当MA=MD,且点P在射线AD上,P在D右侧时, 过点M作MHAD于点H,交BC于点G,连接PM,BM, AD=BC=8, AH=AD=4, 5 2 1 2 BAH=ABG=AHG=90, 四边形ABGH是矩形, BG=AH=4,HG=AB=5, BP垂直平分AM, BM=BA=5, 在RtBGM中,BGM=90,BM=5, 由勾股定理可得MG=3, HM=8, 设AP=PM=a,则PH=a-4, 在RtPHM中,PHM=90,由勾股定理
37、可得 PH2+HM2=PM2,即(a-4)2+82=a2,解得a=10, AP=10.(10分) 当DA=DM时,连接BM, 22 -BMBG 22 5 -4 BA=BM, BD为AM的垂直平分线, 即点D为AM的垂直平分线与射线AD的交点, 点A关于BP的对称点为点M, 点P为AM的垂直平分线与射线AD的交点, 点D与点P重合, AP=AD=8.(11分) 当AM=AD=8时,设BP交AM于点Q,连接PM,BM. BP垂直平分AM, BA=BM=5,AQ=AM=AD=4, 在RtABQ中,AQB=90,由勾股定理得 1 2 1 2 BQ=3, ABQ=PBA,BQA=BAP=90, ABQP
38、BA, =,即=, AP=. 综上所述,AP的长为或10或8或.(12分) (其他解法参照此标准给分) 22 -AB AQ 22 5 -4 BQ BA QA AP 3 5 4 AP 20 3 5 2 20 3 思路分析思路分析 (3)分四种情况:当MA=MD,且点P在边AD上时,过点M作直线MHAD于点H,交BC于点G, 连接PM,BM,在RtBGM中,由勾股定理可得MG=3,所以HM=2,因为AP=PM,所以在RtPHM中,由勾股 定理得AP的长;当MA=MD,且点P在射线AD上,P在D右侧时,同可得AP的长;当DA=DM时,因为BA =BM,所以BD为AM的垂直平分线,因为BP为AM的垂直
39、平分线,所以点P和点D重合,即可得AP的长;当 AM=AD=8时,设BP交AM于点Q,连接PM,BM,由点A和点M关于BP对称,可得AQ,BQ,证得ABQPBA, 即可求得AP的长. 3.(2020内蒙古包头,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x经过坐标原点,与x轴正半轴交于 点A,该抛物线的顶点为M,直线y=-x+b经过点A,与y轴交于点B,连接OM. (1)求b的值及点M的坐标; (2)将直线AB向下平移,得到过点M的直线y=mx+n,且与x轴负半轴交于点C,取点D(2,0),连接DM,求证: ADM-ACM=45; (3)点E是线段AB上一动点,点F是线段OA上一
40、动点,连接EF,线段EF的延长线与线段OM交于点G.当 BEF=2BAO时,是否存在点E,使得3GF=4EF?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 1 3 1 2 备用图 解析解析 (1)当y=0时,x2-2x=0,解得x1=0,x2=6, A(6,0). 直线y=-x+b经过点A,b=3. y=x2-2x=(x-3)2-3,M(3,-3).(3分) (2)证明:根据题意得m=-. 直线y=-x+n过点M(3,-3), n=-,y=-x-. 当y=0时,-x-=0,解得x=-3,C(-3,0). 过点M作MNx轴于点N,N(3,0), 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2
41、3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 ON=MN=3,MON=45.D(2,0), OD=2,DN=1. 在RtMND中,MD=. C(-3,0),CD=5. =,=,=. MDC=ODM,DCMDMO, DMC=DOM=45. 22 MNDN10 DM DO 10 2 DC DM 10 2 DM DO DC DM ADM=ACM+DMC,ADM-ACM=45.(7分) (3)假设存在点E,使得3GF=4EF,即=. BEF=2BAO,BAO=EFA,AE=EF. 过点E作EHx轴于点H,AH=HF. 过点G作GKx轴于点K.设E, EH=-a+3,OH=a,AH=HF=6-a. GF EF
42、 4 3 1 ,-3 2 aa 1 2 在RtGKF和RtEHF中,sinKFG=sinHFE, =,=,KG=-a+4. MOA=45,OK=KG,OK=-a+4, KF=OH-OK-HF=a-10.GKx轴,EHx轴, GKEH,=,a=,-a+3=, E,存在点E,使得3GF=4EF.(12分) KG GF HE EF KG HE GF EF 4 3 4 3 1 -3 2 a 2 3 2 3 8 3 KF HF GF EF 4 3 9 2 1 2 3 4 9 3 , 2 4 9 3 , 2 4 思路分析思路分析 (1)根据抛物线与x轴正半轴交于点A,求出A(6,0),代入一次函数解析式即
43、可求出b;将抛物线 解析式转化成顶点式,即可得到M点坐标. (2)易知平移后的直线的解析式为y=-x+n,把点M的坐标代入求出n,过点M作MNx轴于N,则DCM DMO,推出DMC=45,利用ADM=ACM+DMC可得结论. (3)过点G作GKx轴于K,过点E作EHx轴于H.证明EFA=BAO,得AE=EF.设E,用a表示出 EH、OH、HF的长,利用sinKFG=sinHFE求得KG的长.由MOA=45得OK=KG,从而求得KF的长. 由GKEH推出=,求得a的值即可解决问题. 1 2 1 ,-3 2 aa KF HF GF EF 4 3 4.(2020辽宁营口,25,14分)如图,在矩形A
44、BCD中,AD=kAB(k0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接 AE,过点A作AFAE交射线DC于点F. (1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是 ; (2)如图2,若k1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示) (3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长. 图1 图2 备用图 解析解析 (1)AF=AE.(2分) 详解:k=1,AD=AB, 四边形ABCD是正方形,BAD=90, AFAE,EAF=90,EAB=FAD, ABE=D=90, EABFAD(ASA),AF=AE. (2)AF=kAE.(4
45、分) 证明:四边形ABCD是矩形, BAD=ABC=ADF=90, FAD+FAB=90, AFAE,EAF=90, EAB+FAB=90, EAB=FAD, ABE+ABC=180, ABE=180-ABC=180-90=90, ABE=ADF, ABEADF.(7分) =. AD=kAB,=, =,AF=kAE.(8分) (3)如图1,当点F在DC上时, 四边形ABCD是矩形,AB=CD,ABCD, AB AD AE AF AB AD 1 k AE AF 1 k 图1 AD=2AB=4,AB=2,CD=2, CF=1,DF=CD-CF=2-1=1. 在RtADF中,ADF=90, AF=,
46、 DFAB, 22 ADDF 22 4117 GDF=GBA,GFD=GAB, GDFGBA, =, AF=GF+AG, AG=AF=,(9分) 由(2)得AE=AF=.(10分) 在RtEAG中,EAG=90, EG=.(11分) 如图2,当点F在DC的延长线上时,DF=CD+CF=2+1=3. GF GA DF BA 1 2 2 3 2 17 3 1 2 1 2 17 17 2 22 AEAG 22 172 17 23 1768 49 5 17 6 图2 在RtADF中,ADF=90, AF=5, DFAB, GAB=GFD,GBA=GDF, 22 ADDF 22 43 AGBFGD, =
47、, GF+AG=AF=5, AG=2,(12分) 由(2)得AE=AF=5=.(13分) 在RtEAG中,EAG=90, EG=. 综上所述,EG的长为或.(14分) AG FG AB FD 2 3 1 2 1 2 5 2 22 AEAG 2 2 5 2 2 25 4 4 41 2 5 17 6 41 2 解题关键解题关键 解决第(3)问的关键是要发现并灵活运用AGBFGD,进而求得线段AE和AG的长.同时 要注意由于点F的位置不确定需要分类讨论. 5.(2019浙江温州,24,14分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点B,C,正方形 AOCD的顶点D在第二象限内,E是BC中点,OFDE于点F,连接OE.动点P在A
