1、 中考数学 （山东丏用） 第二章 方程(组)与不等式(组) 2.2 分式方程 A组 20162020年山东中考题组 考点一 分式方程及其解法 1.(2019淄博,5,4分)解分式方程=-2时,去分母变形正确的是( ) A.-1+x=-1-2(x-2) B.1-x=1-2(x-2) C.-1+x=1+2(2-x) D.1-x=-1-2(x-2) 1 2 x x 1 2x 答案答案 D 去分母得1-x=-1-2(x-2).故选D. 2.(2017聊城,7,3分)如果关于x的分式方程-=1出现增根,那么m的值为( ) A.-2 B.2 C.4 D.-4 2 m x 2 2 x x 答案答案 D 去分
2、母,得m+2x=x-2,解得x=-2-m,当分母x-2=0,即x=2时方程出现增根,-2-m=2,m=-4. 易错警示易错警示 解分式方程一定要注意检验,检验是把所求的结果代入最简公分母,看其是不是0,如果公分 母不是0,则这个解是分式方程的解;若公分母等于0,则分式方程无解. 3.(2020潍坊,16,3分)若关于x的分式方程=+1有增根,则m= . 3 2 x x 3 2 m x 答案答案 3 解析解析 去分母得3x=m+3+x-2, 解得x=. 因为分式方程有增根,所以=2,所以m=3. 1 2 m 1 2 m 思路分析思路分析 先解分式方程,用m表示x,增根就是使最简公分母为0的根,即
3、可得解. 知识拓展知识拓展 如果将本题改为分式方程的根为正数,则可得0,求出m后还要注意2,这是很容 易忽略的地方. 1 2 m1 2 m 4.(2020菏泽,10,3分)方程=的解是 . 1x x 1 1 x x 答案答案 x= 1 3 解析解析 去分母得(x-1)2=x(x+1), 整理得x2-2x+1=x2+x, 解得x=. 经检验,x=是分式方程的解. 1 3 1 3 5.(2019滨州,14,5分)方程+1=的解是 . 3 2 x x 3 2x 答案答案 x=1 解析解析 去分母,得x-3+x-2=-3, 移项、合并同类项,得2x=2, 解得x=1, 检验:当x=1时,x-20, 所
4、以原方程的解为x=1. 6.(2019临沂,20,7分)解方程:=. 5 2x 3 x 解析解析 去分母得5x=3x-6, 解得x=-3, 经检验,x=-3是分式方程的解. 解后反思解后反思 解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定 要注意验根. 考点二 分式方程的应用 1.(2018临沂,10,3分)新能源汽车环保节能,越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场,一汽贸公 司经销某品牌新能源汽车,去年销售总额为5 000万元.今年15月份,每辆车的销售价格比去年降低1万 元,销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%.今年15月份每辆
5、车的销售价格是 多少万元?设今年15月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意,列方程正确的是( ) A.= B.= C.= D.= 5 000 1x 5 000(120%) x 5 000 1x 5 000(120%) x 5 000 1x 5 000(120%) x 5 000 1x 5 000(120%) x 答案答案 A 去年一整年的销售数量为,今年15月份的销售数量为,根据相等关系 “今年15月份的销售数量=去年一整年的销售数量”可列方程=. 5 000 1x 5 000(120%) x 5 000 1x 5 000(120%) x 2.(2020威海,20,8分)在“旅游示范公路”建设
6、的过程中,工程队计划在海边某路段修建一条长1 200 m的 步行道.由于采用新的施工方式,平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍,结果提前5天完成任务.求计 划平均每天修建步行道的长度. 解析解析 设计划平均每天修建步行道的长度为x m,则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为 1.5x m,依题意,得-=5, 解得x=80. 经检验,x=80是原方程的解,且符合题意. 答:计划平均每天修建步行道的长度为80 m. 1 200 x 1 200 1.5x 3.(2020德州,23,12分)小刚去超市购买画笔,第一次花60元买了若干支A型画笔,第二次超市推荐了B型画 笔,但B型画笔比A型画
7、笔的单价贵2元,他又花100元买了相同支数的B型画笔. (1)超市B型画笔的单价是多少元? (2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用B型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后,超市给出以下优惠方 案:一次购买不超过20支,则每支B型画笔打九折;若一次购买超过20支,则前20支打九折,超过的部分打八 折.设小刚购买B型画笔x支,购买费用为y元,请写出y关于x的函数关系式; (3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用270元购买B型画笔,则能购买多少支B型画笔? 解析解析 (1)设超市B型画笔的单价为a元,则A型画笔的单价为(a-2)元. 根据题意得=, 解得a=5. 经检验,a=5是原方程的解,且符合
8、题意. 答:超市B型画笔的单价为5元. (2)由题意知,当小刚购买的B型画笔支数x20时,费用为y=0.95x=4.5x; 当小刚购买的B型画笔支数x20时,费用为y=0.9520+0.85(x-20)=4x+10. y关于x的函数关系式为y=(其中x是正整数). (3)当4.5x=270时,解得x=60, 6020,x=60不合题意,舍去; 60 2a 100 a 4.5 (20), 410(20) x x xx 当4x+10=270时,解得x=65,符合题意. 答:若小刚计划用270元购买B型画笔,则能购买65支B型画笔. 思路分析思路分析 (1)设超市B型画笔的单价为a元,则A型画笔的单
9、价为(a-2)元.根据等量关系“第一次花60元 买A型画笔的支数与第二次花100元买B型画笔的支数相等”列出方程,求解即可; (2)根据超市给出的优惠方案,分x20与x20两种情况进行讨论,利用售价=单价数量分别列出y关于x 的函数关系式; (3)将y=270分别代入(2)中所求的函数解析式中,根据x的取值范围确定答案. 4.(2019威海,19,7分)列方程解应用题: 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.他们到体育公园的距离分别是1 200米,3 000米.小刚骑自 行车的速度是小明步行速度的3倍,若二人同时到达,则小明需提前4分钟出发,求小明和小刚两人的速度. 解析解析 设小明的速度为
10、x米/分钟,则小刚的速度为3x米/分钟, 根据题意得-4=, 解得x=50, 经检验,x=50是分式方程的解,且符合题意. 所以3x=150. 答:小明的速度为50米/分钟,小刚的速度为150米/分钟. 1 200 x 3 000 3x 5.(2019菏泽,18,6分)列方程(组)解应用题: 德上高速公路巨野至单县段正在加速建设,预计2019年8月竣工.届时,如果汽车行驶在高速公路上的平 均速度比在普通公路上的平均速度提高80%,那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路 所用时间将会缩短36分钟,求该汽车在高速公路上的平均速度. 解析解析 设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分
11、钟,则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x 千米/分钟, 由题意得+36=. 解得x=1. 经检验,x=1是所列方程的根,且符合题意. 所以1.8x=1.8. 答:汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8千米/分钟. 81 1.8x 81 x 6.(2019青岛,20,8分)甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍,两人各 加工600个这种零件,甲比乙少用5天. (1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件; (2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元,现有3 000个这种零件的加工任务, 甲单独加工一段时间后另有安排,剩余任务由乙单独完成
12、,如果总加工费不超过7 800元,那么甲至少加工 了多少天? 解析解析 (1)设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件, 由题意得=+5, 化简得6001.5=600+51.5x, 解得x=40, 经检验,x=40是分式方程的解且符合实际意义. 则1.5x=60. 答:甲每天加工60个零件,乙每天加工40个零件. (2)设甲加工了m天,乙加工了n天,则由题意得, 由得n=75-1.5m, 600 x 600 1.5x 60403 000, 1501207 800, mn mn 将代入得150m+120(75-1.5m)7 800, 解得m40. 答:甲至少加工了40天. 思路分析思路分
13、析 (1)设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件,根据等量关系“两人各加工600个这种 零件,甲比乙少用5天”列分式方程求解. (2)设甲加工了m天,乙加工了n天,根据等量关系“甲、乙两人共加工3 000个零件”列方程;根据不等关 系“总加工费不超过7 800元”列不等式,将方程和不等式综合考虑求解即可. B组 20162020年全国中考题组 考点一 分式方程及其解法 1.(2020四川成都,8,3分)已知x=2是分式方程+=1的解,那么实数k的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 k x 3 1 x x 答案答案 B x=2是+=1的解, +(-1)=1,解得k=4.故选B.
14、 k x 3 1 x x 2 k 2.(2019湖南株洲,5,3分)关于x的分式方程-=0的解为( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 2 x 5 3x 答案答案 B 去分母得2(x-3)-5x=0, 解得x=-2, 经检验,x=-2是分式方程的解. 故选B. 3.(2017四川凉山,9,4分)若关于x的方程x2+2x-3=0与=有一个解相同,则a的值为( ) A.1 B.1或-3 C.-1 D.-1或3 2 3x 1 xa 答案答案 C 解方程x2+2x-3=0得x1=1,x2=-3,x=-3是方程=的增根,x=1,将x=1代入方程= ,得=,解得a=-1.经检验,a=-1是分式方程=的
15、解.故选C. 2 3x 1 xa 2 3x 1 xa 2 13 1 1a 2 13 1 1a 4.(2020内蒙古呼和浩特,13,3分)分式与的最简公分母是 ,方程-=1的解 是 . 2 2 x x 2 8 2xx 2 2 x x 2 8 2xx 答案答案 x(x-2);x=-4 解析解析 x2-2x=x(x-2), 两个分式的最简公分母是x(x-2). -=1,去分母得2x2-8=x2-2x, 整理得x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2, 经检验,x=-4是原方程的解,x=2是原方程的增根. 原方程的解为x=-4. 2 2 x x 2 8 2xx 5.(2019江苏宿迁,16,3分)关于
16、x的分式方程+=1的解为正数,则a的取值范围是 . 1 2x 2 2 a x 答案答案 a0,解得a5. 当x=5-a=2时,a=3,不符合题意, 故a5且a3. 6.(2019广西玉林,20,6分)解方程:-=1. 1 x x 3 (1)(2)xx 解析解析 -=1, 方程两边同时乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-3=(x-1)(x+2), 解得x=1, 检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0, x=1不是原分式方程的解.原方程无解. 1 x x 3 (1)(2)xx 考点二 分式方程的应用 1.(2020广西北部湾经济区,10,3分)甲、乙两地相距600 km,提速前动车的速度
17、为v km/h,提速后动车的速 度是提速前的1.2倍,提速后行车时间比提速前减少20 min,则可列方程为( ) A.-= B.=- C.-20= D.=-20 600 v 1 3 600 1.2v 600 v 600 1.2v 1 3 600 v 600 1.2v 600 v 600 1.2v 答案答案 A 提速前后行车时间分别是 h, h,因为提速后行车时间比提速前减少20 min,所以- =,即-=,故选A. 600 v 600 1.2v 600 v 600 1.2v 1 3 600 v 1 3 600 1.2v 2.(2018湖南益阳,9,4分)体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试
18、,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小 俊少用了40秒,设小俊的速度是x 米/秒,则所列方程正确的是( ) A.401.25x-40 x=800 B.-=40 C.-=40 D.-=40 800 x 800 2.25x 800 x 800 1.25x 800 1.25x 800 x 答案答案 C 小俊的速度是x 米/秒,则小进的速度为1.25x米/秒,小俊所用时间为 秒,小进所用时间为 秒,所列方程为-=40,故选C. 800 x 800 1.25x 800 x 800 1.25x 思路分析思路分析 小俊的速度是x 米/秒,则小进的速度为1.25x米/秒,分别求出两人所用的时间,根据“小进比
19、 小俊少用了40秒”列方程即可. 3.(2020新疆,21,11分)某超市销售A、B两款保温杯,已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元,用 480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同. (1)A、B两款保温杯的销售单价各是多少元? (2)由于需求量大,A、B两款保温杯很快售完,该超市计划再次购进这两款保温杯共120个,且A款保温杯 的数量不少于B款保温杯数量的两倍.若A款保温杯的销售单价不变,B款保温杯的销售单价降低10%,两 款保温杯的进价每个均为20元,应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大,最大利润是多少元? 解析解析 (1)设A款保温杯的销售单价为x元,则
20、B款保温杯的销售单价为(x+10)元. 由题意得=, 解得x=30. 经检验,x=30是原分式方程的解且符合题意. x+10=30+10=40. 答:A款保温杯的销售单价为30元,B款保温杯的销售单价为40元. (2)设购进A款保温杯a个,则购进B款保温杯(120-a)个. 由题意得a2(120-a),即a80, 设销售利润为W元, 则W=(30-20)a+(4090%-20)(120-a) 480 10 x 360 x =-6a+1 920(80a120). -620时,w=800+0.8(40a-800)=32a+160. 故w=(8分) 国旗图案贴纸需1 2002=2 400(张), 小
21、红旗需1 2001=1 200(面), 则a=48,b=a=60,(9分) w=3248+160=1 696. 答:需要购买国旗图案贴纸48袋,小红旗60袋,所需总费用为1 696元.(10分) 40 ,020, 32160,20. aa aa 2 400 50 5 4 A组 20182020年模拟基础题组 时间:25分钟 分值:35分 一、选择题(每小题3分,共6分) 1.(2020济宁邹城期末,6)在解分式方程+=1时,我们第一步通常是去分母,即方程两边同乘最简 公分母(x-1),把分式方程变形为整式方程求解.这一步用到的数学思想是( ) A.数形结合 B.转化思想 C.模型思想 D.特殊
22、到一般 2 1x 1 x x 答案答案 B 在解分式方程+=1时,第一步通常是去分母,即方程两边同乘最简公分母(x-1),把分 式方程变形为整式方程求解,这种数学思想就是转化思想,即把我们不熟悉的问题转化为熟悉的问题解 决. 2 1x 1 x x 2.(2019济宁梁山一模,7)如图所示,小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程,那么 A和B分别代表的是( ) A.分式的基本性质,最简公分母=0 B.分式的基本性质,最简公分母0 C.等式的基本性质2,最简公分母=0 D.等式的基本性质2,最简公分母0 答案答案 C 去分母的依据是等式的基本性质2,检验时,最简公分母等于零,原分式
23、方程无解. 二、填空题(每小题3分,共9分) 3.(2019德州德城一模,16)若关于x的分式方程+3=有增根,则m的值为 . 7 1x 1 m x 答案答案 7 解析解析 去分母得,7+3(x-1)=m, 把增根x=1代入得m=7. 思路分析思路分析 先去分母,再把增根x=1代入即可求出m的值. 4.(2020山东大学附属中学一模,16)代数式的值为2,则x= . 31 2 x x 答案答案 -3 解析解析 由题意可知=2, 解得x=-3, 经检验,x=-3是方程的解. 31 2 x x 5.(2020济南育英教育集团一模,15)方程-=0的解是 . 2 4x 1 4 x x 答案答案 x=
24、3 解析解析 方程的两边同乘(x-4),得2-(x-1)=0, 解得x=3. 经检验,x=3是原方程的解. 原方程的解为x=3. 思路分析思路分析 最简公分母是(x-4),方程两边同乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解,注意求 解后要进行检验. 三、解答题(共20分) 6.(2019淄博博山二模,18)解方程:-=1. 3 x x 1 x 解析解析 两边都乘x(x+3),得x2-(x+3)=x(x+3), 解得x=-, 经检验x=-是分式方程的解. 3 4 3 4 7.(2019济南平阴一模,23)某内陆城市为了落实国家“一带一路”倡议,促进经济发展,增强对外贸易的 竞争力,把距离港
25、口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路,结果汽车行驶的平均速度比原来 提高了50%,行驶时间缩短了2 h.求汽车原来的平均速度. 解析解析 设汽车原来的平均速度为x km/h,根据题意,得-=2,解得x=70, 经检验,x=70是方程的解,且符合题意. 答:汽车原来的平均速度为70 km/h. 420 x 420 (150%)x 思路分析思路分析 分析问题中路程、速度、时间三者之间的关系,然后寻找建立方程的等量关系“原来的时 间-现在的时间=2”. 8.(2020菏泽东明一模,18)目前,步行已成为人们最喜爱的健身方法之一,通过手机可以计算行走的步数 与相应的能量消耗.对比手机数据
26、发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同.若每消耗1 千卡能量小明行走的步数比小红多10步,则小红每消耗1千卡能量需要行走多少步? 解析解析 设小红每消耗1千卡能量需要行走x步,则小明每消耗1千卡能量需要行走(x+10)步, 根据题意,得=, 解得x=30. 经检验,x=30是原方程的解,且符合题意. 答:小红每消耗1千卡能量需要行走30步. 12 000 10 x 9 000 x 思路分析思路分析 设小红每消耗1千卡能量需要行走x步,则小明每消耗1千卡能量需要行走(x+10)步,根据数量 关系:消耗能量千卡数=行走步数每消耗1千卡能量需要行走的步数,并结合小明步行12
27、000步与小红步 行9 000步消耗的能量相同,即可得出关于x的分式方程,解之后检验即可得出结论. B组 20182020年模拟提升题组 时间:20分钟 分值:25分 一、选择题(共3分) 1.(2020滨州惠民一模,7)已知关于x的分式方程-1=的解是正数,则m的取值范围是( ) A.m4且m3 B.m5且m6 1 1 m x 2 1x 答案答案 A 方程两边同时乘x-1,得1-m-(x-1)+2=0, 解得x=4-m. x为正数,4-m0,解得m4. x1,4-m1,即m3.m的取值范围是m4且m3. 思路分析思路分析 按照正常思路解分式方程,利用m表示出x,再由x为正数列出不等式,求出m
28、的取值范围即可. 二、填空题(每小题3分,共6分) 2.(2019聊城莘县一模,16)若关于x的分式方程-=1无解,则a= . 1 xa x 3 x 答案答案 1或-2 解析解析 方程两边同乘x(x-1)得x(x-a)-3(x-1)=x(x-1), 整理得(a+2)x=3. 当整式方程无解时,a+2=0,即a=-2. 当分式方程无解时,x=0时,整式方程无解; x=1时,a=1. 所以a=1或-2时,原分式方程无解. 思路分析思路分析 分式方程无解,即化成整式方程时无解,或者求得的x能令最简公分母为0,据此进行解答. 3.(2020德州德城期末,14)当x(x0)满足 时,分式的值为正. 2
29、21x x 答案答案 -x0 1 2 解析解析 当分子、分母同号时,分式的值为正, 又x0,x20, 2x+10,即-x0. 2 21x x 1 2 三、解答题(共16分) 4.(2020济南历下一模,22)为推进垃圾分类,推动绿色发展,某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进 行垃圾分类,甲型机器人比乙型机器人每小时多分类20 kg,甲型机器人分类800 kg垃圾所用的时间与乙 型机器人分类600 kg垃圾所用的时间相等. (1)两种机器人每小时分别分类多少kg垃圾? (2)现在两种机器人共同分类700 kg垃圾,工作2小时后甲型机器人因机器维修退出,求甲型机器人退出后 乙型机器人还需工作多长
30、时间才能完成. 解析解析 (1)设甲型机器人每小时分类x kg垃圾,则乙型机器人每小时分类(x-20) kg垃圾, 由题意得=, 解得x=80, 经检验,x=80是原方程的解且符合题意, 所以,原分式方程的解为x=80, x-20=80-20=60. 答:甲型机器人每小时分类80 kg垃圾,乙型机器人每小时分类60 kg垃圾. (2)700-(80+60)260=7(小时). 答:甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作7小时. 800 x 600 20 x 5.(2020济宁嘉祥一模,21)为落实“美丽抚顺”的工作部署,市政府计划对城区道路进行改造,现安排 甲、乙两个工程队完成.已知甲队的工作效
31、率是乙队工作效率的倍,甲队改造360米的道路比乙队改造 同样长的道路少用3天. (1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米? (2)若甲队工作一天需付费用7万元,乙队工作一天需付费用5万元,如需改造的道路全长为1 200米,改造 总费用不超过145万元,则至少安排甲队工作多少天? 3 2 解析解析 (1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x米,则甲工程队每天能改造道路的长度为x米, 根据题意得-=3, 解得x=40, 经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意, x=40=60. 答:乙工程队每天能改造道路的长度为40米,甲工程队每天能改造道路的长度为60米. (2)设安排甲工程队工
32、作m天,则安排乙工程队工作天, 根据题意得7m+5145, 3 2 360 x 360 3 2 x 3 2 3 2 1 20060 40 m 1 20060 40 m 解得m10. 答:至少安排甲工程队工作10天. 思路分析思路分析 (1)设乙工程队每天改造道路x米,则甲工程队每天改造道路x米,根据“工作时间=工作总量 工作效率”结合“甲工程队改造360米的道路比乙工程队改造同样长的道路少用3天”,列出关于x的 分式方程,解之后检验即可得出结论; (2)设安排甲工程队工作m天,则安排乙工程队工作天,根据“总费用=甲队每天所需费用工 作时间+乙队每天所需费用工作时间”结合“总费用不超过145万元”,即可得出关于m的一元一次不 等式,解之取其中的最小值即可. 3 2 1 20060 40 m
