1、 中考数学 （浙江专用） 3.4 二次函数 A组 20162020年浙江中考题组 考点一 二次函数解析式 1.(2017绍兴,8,4分)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一 条抛物线,平移透明纸,使纸上的点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使纸上 的点与点C重合,则此时抛物线的函数表达式变为( ) A.y=x2+8x+14 B.y=x2-8x+14 C.y=x2+4x+3 D.y=x2-4x+3 答案答案 A 如图,A(2,1),则可得C(-2,-1). 一点从A(2,1)平移到C(-2,-1),需要向左平移4个单位,
2、向下平移2个单位, 则所求表达式为y=(x+4)2-2=x2+8x+14, 故选A. 2.(2018湖州,19,6分)已知抛物线y=ax2+bx-3(a0)经过点(-1,0),(3,0),求a,b的值. 解析解析 把(-1,0),(3,0)代入y=ax2+bx-3, 得解得即a的值为1,b的值为-2. 03, 0933, ab ab 1, 2, a b 3.(2020温州,21,10分)已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13). (1)求a,b的值; (2)若(5,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且y2=12-y1,求m的值. 解析解析 (1)把(1,-2),
3、(-2,13)代入y=ax2+bx+1, 得解得 (2)由(1)得函数表达式为y=x2-4x+1, 把x=5代入y=x2-4x+1,得y1=6, y2=12-y1=6. y1=y2,对称轴为直线x=2, m=4-5=-1. 21, 13421, ab ab 1, 4. a b 考点二 二次函数的图象与性质 1.(2019温州,9,4分)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1x3的取值范围内,下列说法正确的是 ( ) A.有最大值-1,有最小值-2 B.有最大值0,有最小值-1 C.有最大值7,有最小值-1 D.有最大值7,有最小值-2 答案答案 D y=x2-4x+2=(x-2)2-
4、2(-1x3). 由图象可知当x=2时,y取得最小值-2,当x=-1时,y取得最大值7.故选D. 2.(2019衢州,6,3分)二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是( ) A.(1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-1,-3) 答案答案 A y=(x-1)2+3,顶点坐标为(1,3),故选A. 3.(2019绍兴,7,4分)在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经变换后得到抛物线y=(x+3)(x-5),则这个变 换可以是( ) A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位 答案答案 B y=(x+5)(x-3)=(
5、x+1)2-16,顶点坐标是(-1,-16). y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,顶点坐标是(1,-16). 所以将抛物线y=(x+5)(x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-5), 故选B. 4.(2016绍兴,9,4分)抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1x3) 有交点,则c的值不可能是( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案答案 A 抛物线过点A(2,6),4+2b+c=6,b=.抛物线的对称轴与线段y=0(1x3)有交点, 1-3,-6b-2,即-6-2,解得6c14,则c的值不可能是4,故
6、选A. 2 2 c 2 1 b 2 2 c 5.(2020温州,9,4分)已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则( ) A.y3y2y1 B.y3y1y2 C.y2y3y1 D.y1y3y2 答案答案 B 由题意可得抛物线y=-3x2-12x+m的对称轴为直线x=-=-2. a=-30,抛物线开口向下, 当x=-2时,函数值最大,即y2最大. 又|-3-(-2)|1-(-2)|,y3y1,y3y1|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2+bx与一次函数 y2=ax+b的大致图象不可能是( ) 答案答案 D 由解得或故二次函数y=a
7、x2+bx与一次函数y=ax+b(a0)的图象 在同一平面直角坐标系中的交点为或(1,a+b).在A中,由一次函数图象可知a0,b0,由二次函数图 象可知,a0,-0,b0,故A不符合题意.在B中,由一次函数图象可知,a0,b0,b|b|,知a+b0,故选项B不符合题意.在C中,由一次函数图象可知,a0,b0,由二次函数图 象知,a0,b0,a+b0,故C不符合题意.在D中,由一次函数图象可知a0,由二次函数图象可知,a 0.又|a|b|,则a+b0,故选项D符合题意. 2 ,yaxbx yaxb , 0 b x a y 1, , x yab ,0 b a b a 10.(2020嘉兴,10,
8、3分)已知二次函数y=x2,当axb时myn,则下列说法正确的是( ) A.当n-m=1时,b-a有最小值 B.当n-m=1时,b-a有最大值 C.当b-a=1时,n-m无最小值 D.当b-a=1时,n-m有最大值 答案答案 B 若b-a=1,当a,b同号时,如图1. 图1 过点A作ADx轴于点D,过点B作BEx轴于点E,连接AB,过点B作BCAD于C, BCD=90,ADE=BED=90, 四边形BCDE是矩形,BC=DE=b-a=1,CD=BE=m,AC=AD-CD=n-m, 点A,B在抛物线y=x2上,且a,b同号, 45ABC1, n-m1. 当a,b异号时,m=0, 当a=-,b=时
9、,n=,此时n-m=. n-m1. 当a,b中有一个为0时,n-m=1,即n-m. 即n-m无最大值,有最小值,最小值为, 故选项C、D都错误. 当n-m=1时,如图2, 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 图2 当a,b同号或有一个为零时,过N作NPx轴于点P,过点M作MQx轴于点Q,连接MN,过点N作NHMQ于 H, 同可得,NH=PQ=b-a, HQ=PN=m, MH=MQ-HQ=n-m=1, 在RtMHN中,tanMNH=. 点M,N在抛物线y=x2上, MH NH 1 ba m0,当m=0时,n=1,点N(0,0),M(1,1), NH=1,此时,MNH=45,
10、45MNH90,tanMNH1, 1. 当a,b异号时,m=0,n=1,1b-a2. b-a无最小值,有最大值,最大值为2,故选项A错误,选项B正确.故选B. 1 ba 11.(2020杭州,8,3分)设函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是实数,a0),当x=1时,y=1;当x=8时,y=8,( ) A.若h=4,则a0 C.若h=6,则a0 答案答案 C 当x=1时,y=1;当x=8时,y=8, 代入得 -,得a(8-h)2-a(1-h)2=7, 整理得a(9-2h)=1. A.若h=4,则a=1,故A错误; B.若h=5,则a=-1,故B错误; C.若h=6,则a=-,故C正确; D.
11、若h=7,则a=-,故D错误.故选C. 2 2 1(1), 8(8), ahk ahk 1 3 1 5 12.(2020杭州,10,3分)在平面直角坐标系中,已知函数y1=x2+ax+1,y2=x2+bx+2,y3=x2+cx+4,其中a,b,c是正实 数,且满足b2=ac.设函数y1,y2,y3的图象与x轴的交点个数分别为M1,M2,M3,( ) A.若M1=2,M2=2,则M3=0 B.若M1=1,M2=0,则M3=0 C.若M1=0,M2=2,则M3=0 D.若M1=0,M2=0,则M3=0 答案答案 B 令y1=0,y2=0,y3=0,它们的判别式分别为1,2,3,则1=a2-4,2=
12、b2-8,3=c2-16. b2=ac,c=,c2=(a,b,c为正实数). A.若M1=2,M2=2,则1=a2-40,2=b2-80, a24,b464, c2=与16无法比较大小, 无法判断3=c2-16与0的大小,故A错误. B.若M1=1,M2=0,则1=a2-4=0,2=b2-80, a2=4,0b464, 0c2=16, 3=c2-160, M3=0,故B正确. C.若M1=0,M2=2,则1=a2-40, 2 b a 4 2 b a 4 2 b a 4 2 b a 0a264,c2=16, 3=c2-160,M3=2,故C错误. D.若M1=0,M2=0,则1=a2-40,2=
13、b2-80, 0a24,0b40时,方程有两个不相等的实数根,函数图象与x轴有两个交点; (2)b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根,函数图象与x轴有一个交点; (3)b2-4ac0时,方程没有实数根,函数图象与x轴无交点.这些结论反过来也成立. 13.(2018湖州,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,已知点M,N的坐标分别为(-1,2),(2,1),若抛物线y=ax2-x+2(a 0)与线段MN有两个不同的交点,则a的取值范围是( ) A.a-1或a B.a D.a-1或a 1 4 1 3 1 4 1 3 1 4 1 3 1 4 答案答案 A 由已知得线段MN的方程为y=-x+,-
14、1x2,1y2,把代入抛物线方程得3ax2-2x+1= 0,由题意得方程3ax2-2x+1=0在-1x2上有两个不等实根,设y=3ax2-2x+1, 当a0时,解得a; 当a0时,解得a-1.综上所述,a-1或a,故选A. 1 3 5 3 2 ( 2)120, 330, 1230, 1 12, 3 a a a a 1 4 1 3 2 ( 2)120, 330, 1230, 1 12, 3 a a a a 1 4 1 3 14.(2019宁波,22,10分)如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3). (1)求a的值和图象的顶点坐标; (2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.
15、 当m=2时,求n的值; 若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围. 解析解析 (1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3,得3=(-2)2-2a+3,解得a=2. y=x2+2x+3=(x+1)2+2, 顶点坐标为(-1,2). (2)把x=2代入y=x2+2x+3, 求得y=11, 当m=2时,n=11. 2n11. 15.(2019杭州,22,12分)设二次函数y=(x-x1)(x-x2)(x1,x2是实数). (1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x=时,y=-.若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结 果正确吗?说明理由; (2)写出二次函数图象
16、的对称轴,并求该函数的最小值(用含x1,x2的代数式表示); (3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0x1x21时,求证:0mn. 1 2 1 2 1 16 解析解析 (1)乙求得的结果不正确,理由如下: 根据题意,知图象经过点(0,0),(1,0). 所以y=x(x-1). 当x=时,y=-, 所以乙求得的结果不正确. (2)函数图象的对称轴为直线x=. 当x=时,函数有最小值M, M=-. 1 2 1 2 1 1 2 1 4 1 2 12 2 xx 12 2 xx 12 1 2 xx x 12 2 2 xx x 2 12 () 4 xx =(x1-)(x
17、2-) =. 因为0x1x21, 所以结合y=x(1-x)的图象可知0-+,0-+, 所以0mn, 因为x1x2,所以0mn0,m=,n=. 因为m+n=0,所以+=0,所以(4a-b2)(a+1)=0. 2 b b r 2 a r 2 1 r 1 r 1 r 1 ,0 r 2 4 4 ab 2 4 4 ab a 2 4 4 ab 2 4 4 ab a 因为a+10,所以4a-b2=0,所以m=0,n=0. 17.(2018温州,21,10分)如图,抛物线y=ax2+bx(a0)交x轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线的顶点M.已 知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B. (1)求a,
18、b的值; (2)P是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP,BP.设点P的横坐标为m,OBP的面积为 S,记K=,求K关于m的函数表达式及K的范围. S m 解析解析 (1)将x=2代入y=2x,得y=4, M(2,4), 由题意得 (2)如图,过点P作PHx轴于点H, 点P的横坐标为m,抛物线的解析式为y=-x2+4x, PH=-m2+4m. 2, 2 424, b a ab 1, 4. a b B(2,0),OB=2, S=OB PH=2(-m2+4m)=-m2+4m, K=-m+4, K随着m的增大而减小. 易得A(4,0), 又M(2,4),2m4. 0K0,n0,求m,
19、n的值. 1 2 解析解析 (1)令y=0,则-x2+2x+6=0, x1=-2,x2=6, A(-2,0),B(6,0). 由函数图象得,当y0时,-2x6. (2)由题意得B1(6,m),B2(6-n,m),B3(-n,m), 函数图象的对称轴为直线x=2. 点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同, =2,n=1, m=-(-1)2+2(-1)+6=, m,n的值分别为,1. 1 2 26 2 6() 2 nn 1 2 7 2 7 2 2.(2020绍兴,23,12分)如图1,排球场长为18 m,宽为9 m,网高为2.24 m,队员站在底线O点处发球,球从点O 的正上方1.9 m的C点发
20、出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点A时,高度为2.88 m,即BA=2.88 m,这时水平距离OB=7 m,以直线OB为x轴,直线OC为y轴,建立平面直角坐标系,如图2. (1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线),求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必 写出x的取值范围),并判断这次发球能否过网?是否出界?说明理由; (2)若球过网后的落点是对方场地号位内的点P(如图1,点P距底线1 m,边线0.5 m),问发球点O在底线上 的哪个位置?(参考数据:取1.4). 2 图1 图2 解析解析 (1)设y=a(x-7)2+2.88, 将x=0,y=1.9代入,得
21、a=-, y=-(x-7)2+2.88, 当x=9时,y=2.82.24, 当x=18时,y=0.460, 这次发球过网,但出界了. (2)如图,分别过点P,O作底线,边线的平行线PQ,OQ,交于点Q, 当y=0时,-(x-7)2+2.88=0, 解得x=19或x=-5(舍), OP=19, 又OQ=18-1=17, PQ=6=8.4, 1 50 1 50 1 50 22 19172 9-8.4-0.5=0.1, 发球点O要在底线上且距边线(离P点较远的边线)0.1 m处. 3.(2020台州,24,14分)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1). 科学原理:如图2,始终盛满水的圆
22、柱体水桶水面离地面的高度为H(单位:cm).如果在离水面竖直距离为h (单位:cm)的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位: cm)与h的关系为s2=4h(H-h). 图1 图2 应用思考:现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究.水瓶直立在地面上,通过连续注水保证它始 终盛满水,在离水面竖直距离h cm处开一个小孔. (1)写出s2与h的关系式;并求出当h为何值时,射程s有最大值,最大射程是多少? (2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,b,要使两孔射出水的射程相同,求a,b之间 的关系式; (3)如果想通过垫高塑料水瓶
23、,使射出水的最大射程增加16 cm,求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离. 解析解析 (1)s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400, 当h=10时,s取得最大值,smax=20 cm. (2)a=b或a+b=20. (3)设垫高的高度为m,则s2=4h(20+m-h)=-4+(20+m)2, 当h=时,s取得最大值,smax=20+m=20+16,所以m=16,此时h=18. 垫高的高度为16 cm,小孔离水面的竖直距离为18 cm. 2 20 2 m h 20 2 m20 2 m 4.(2020湖州,24,12分)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c(c0
24、)的顶点为D,与y轴的交 点为C.过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧),点B在AC的延长线上,连接OA,OB,DA 和DB. (1)如图1,当ACx轴时, 已知点A的坐标是(-2,1),求抛物线的解析式; 若四边形AOBD是平行四边形,求证:b2=4c; (2)如图2,若b=-2,=,是否存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形?若存在,求出点A的坐标;若 不存在,请说明理由. BC AC 3 5 图1 图2 解析解析 (1)ACx轴,点A的坐标是(-2,1). 点C的坐标是(0,1). 把点A(-2,1),C(0,1)分别代入y=-x2+bx+c, 得解得 抛物线的解
25、析式为y=-x2-2x+1. 证明:过点D作DEx轴于点E,交AB于点F,如图. ACx轴,EF=OC=c, 142, 1. bc c 2, 1. b c 又点D的坐标是. DF=DE-EF=-c=. 四边形AOBD是平行四边形, AD=BO,ADOB, DAF=OBC. 又DFA=BCO=90, AFDBCO(AAS),DF=OC. =c,即b2=4c. (2)由题意,得抛物线的解析式为y=-x2-2x+c, 顶点D的坐标是(-1,c+1), 假设存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形,如图. 2 , 24 bb c 2 4 b c 2 4 b 2 4 b 设点A的坐标是(m,-m2-
26、2m+c),m0. 过点D作DEx轴于点E,交AB于点F,则AFD=EFC=BCO. 四边形AOBD是平行四边形,AD=BO,ADOB,DAF=OBC. AFDBCO(AAS),AF=BC,DF=OC. 过点A作AMy轴于点M,交DE于点N, DECO,ANFAMC, =. AM=-m,AN=AM-NM=-m-1, =,解得m=-. 点A的纵坐标是-2+c=c-c. AMx轴,点M的坐标是,点N的坐标是. CM=c-=. 点D的坐标是(-1,c+1),DN=(c+1)-=.DF=OC=c,FN=DN-DF=-c. AN AM FN CM AF AC BC AC 3 5 1m m 3 5 5 2
27、 2 5 2 5 2 5 4 5 0, 4 c 5 1, 4 c 5 4 c 5 4 5 4 c 9 4 9 4 由=,得=,解得c=,c-=. 点A的纵坐标是,点A的坐标是. 存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形. FN CM 3 5 9 4 5 4 c 3 5 3 2 5 4 1 4 1 4 5 1 , 2 4 5.(2018衢州,23,10分)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水 柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在水池中心的装饰物处 汇合,如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
28、(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式; (2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离 水池中心多少米以内? (3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径 扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后 水柱的最大高度. 解析解析 (1)由题意可知抛物线的顶点为(3,5),设y=a(x-3)2+5,将(8,0)代入得a=-, y=-(x-3)2+5(0x8). (2)当y=1.8时,1.8=-(x-3)2+5, 可得x1=7,x2
29、=-1(舍去), 所以王师傅必须站在离水池中心7米以内. (3)由y=-(x-3)2+5可得原抛物线与y轴的交点为, 装饰物高度不变, 新抛物线也过点. 喷出水柱的形状不变, 1 5 1 5 2 1616 555 yxx 或 1 5 1 5 16 0, 5 16 0, 5 a=-. 直径扩大到32米, 新抛物线过点(16,0). 设新抛物线解析式为y新=-x2+bx+c(0x-(x-b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围; (3)如图2,点A的坐标为(5,0),点M在AOB内,若点C,D都在二次函数图象上,试比较y1与y2的 大小. 1 1 , 4 y 2 3 , 4 y 解析解析 (1
30、)易得点M的坐标是(b,4b+1), 把x=b代入y=4x+1中,得y=4b+1, 点M在直线y=4x+1上. (2)直线y=mx+5与y轴交于点B, 点B的坐标为(0,5). 又B(0,5)在抛物线上, 5=-(0-b)2+4b+1,解得b=2, 二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9, 当y=0时,得x1=5,x2=-1(舍), A(5,0). 观察图象可得,当mx+5-(x-b)2+4b+1时, x的取值范围为x5. (3)如图,设直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点F, 解方程组得 点E,易得F(0,1), 点M在AOB内, 0b. 当点C,D关于抛物线对称轴(直线x=b
31、)对称时, 41, 5, yx yx 4 , 5 21, 5 x y 4 21 , 5 5 4 5 b-=-b,b=. 又二次函数图象开口向下,顶点M在直线y=4x+1上, 结合图象可知当0by2; 当b=时,y1=y2;当b时,y10)与y轴交于点A,过点A作x轴 的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值 为 . 8 3 答案答案 2 解析解析 分别过点P、B向x轴引垂线,垂足分别为C、D.由题可知抛物线的对称轴是直线x=-=1,点A ,根据对称性,得点M,又因为M为线段AB的中点,所以点B.易证OPCOBD,得= =,又BD=,所
32、以PC=,所以点P.把点P的坐标代入抛物线解析式,得a=2. 2 b a 8 0, 3 8 2, 3 8 4, 3 OC OD PC BD 1 4 8 3 8 3 1 4 2 3 2 1, 3 思路分析思路分析 根据对称性和解析式特点,求出A、B、M的坐标,再根据三角形相似,求出点P的坐标,代入抛 物线解析式求出a. 5.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点. (1)求k的值; (2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标. 解析解析 (1)抛物线y=x2+(k2+
33、k-6)x+3k的对称轴是y轴, x=-=0,即k2+k-6=0, 解得k=-3或k=2.(2分) 当k=2时,二次函数解析式为y=x2+6,它的图象与x轴无交点,不满足题意,舍去. 当k=-3时,二次函数解析式为y=x2-9,它的图象与x轴有两个交点,满足题意. k=-3.(4分) (2)点P到y轴的距离为2, 点P的横坐标为-2或2. 又点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上, 当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.(6分) 点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).(8分) 2 6 2 kk 易错警示易错警示 (1)抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为x=-.(
34、2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|, 二者容易混淆,从而导致失分. 2 b a 考点二 二次函数的图象与性质 1.(2017内蒙古包头,11,3分)已知一次函数y1=4x,二次函数y2=2x2+2.在实数范围内,对于x的同一个值,这两 个函数所对应的函数值为y1与y2,则下列关系正确的是( ) A.y1y2 B.y1y2 C.y11)沿y轴向下平移3个单位,则平移 后得到的抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 D 解法一:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m
35、-3= +,平移后得到的抛物线的顶点坐标为.m1,0, -m2+6m-13=-(m-3)2-40,即1,=b2-4ac=-(m-1)2-4(m-3)=(m-3)2+40. m1,0,对称轴在y轴右侧,又知抛物线开口向上,顶点在第四象限.故选D. 2 1 2 m x 2 613 4 mm 2 1613 , 24 mmm 1 2 m 2 613 4 mm 1 2 m 3.(2018山东滨州,10,3分)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交 于点A、点B(-1,0),则二次函数的最大值为a+b+c;a-b+c0;b2-4ac0时,-1x0,故错
36、误;因为点A与点B关于直线x=1对称,所以A(3,0),根据题中图象可知,当y0时,-1x3,故正确.故选B. 答案答案 a 或-3a3. n的最小值为4. 5.(2017湖北武汉,16,3分)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若 2m3,则a的取值范围是 . 解析解析 把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得,am2+(a2-1)m-a=0. 解得m=,m1=,m2=-a, 2m3,23或2-a3,解得 a或-3a-2. 2222 (1)(1)4 2 aaa a 22 (1)(1) 2 aa a 1 a 1 a 1 3 1 2
37、 1 3 1 2 思路分析思路分析 把交点坐标代入二次函数解析式,可得到关于m的一元二次方程,利用公式法将m用含a的式 子表示出来,再根据2m0)上任意两点,其中 x13,都有y1y2,求t的取值范围. 解析解析 (1)由抛物线的性质可知,只有当点M(x1,y1),N(x2,y2)关于抛物线的对称轴直线x=1对称时,才有y1=y2. x13,x1. 故当t时,只需讨论x2t的情况. 当x1t3,t,x1+x22t. 3 2 3 2 3 2 3 2 抛物线的对称轴为直线x=t,且x1t, t2t-x10, y1y2,符合题意. 当tx10, y13,都有y1时,令x1=,x2=t,此时x1+x2
38、3,但y1y2,不符合题意. 综上所述,t的取值范围是t.(6分) 3 2 3 2 3 2 3 2 思路分析思路分析 本题第(2)问需要考虑抛物线的对称轴与x1,x2的关系,因为a0,所以越靠近对称轴,函数值越小. 解题关键解题关键 解决本题的关键是借助x1+x23,x1,从而分t,t进行分类讨论. 3 2 3 2 3 2 考点三 二次函数综合 1.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整 数,确定所有c的值.”甲的结果是 c=1,乙的结果是c=3或4,则( ) A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、
39、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确 答案答案 D 抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)可以看作抛物线y=-x(x-3)(0 x3) 沿y轴向上平移c个单位形成的,一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)与直线l:y=x+2 有唯一公共点可以看作直线l:y=x+2沿y轴向下平移c个单位形成的直线y=x+2-c与 抛物线y=-x(x-3)(0 x3)有唯一公共点.当直线y=x+2-c(即l2)经过原点时,0+2-c=0, c=2;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)时,3+2-c=0,c=5,根据图象可得当2c5时, 直线y=x+2-c与抛物线y=
40、-x(x-3)(0 x3)有唯一公共点,即一段抛物线L:y=-x(x-3)+ c(0 x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.显然c=3,4,5.当直线y=x+2-c为图中l1时, 直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0 x3)有唯一公共点.令-x(x-3)=x+2-c,得x2-2x+ 2-c=0,=4-4(2-c)=0,解得c=1.因此甲、乙的结果合在一起也不正确,故选D. 2.(2018内蒙古呼和浩特,25,10分)某市计划在十二年内通过公租房建设,解决低收入人群的住房问题.已 知前7年,每年竣工投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系构成一次函数(1x
41、 7且x为整数),且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为和百万平方米;后5年每年竣工 投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系是y=-x+(7143. 当x=3时,年租金最大,Wmax=1.47亿元. 当x=3时,m=23+36=42. 5842=2 436元. 老张这一年应交租金2 436元. 2 2 11 (236)4(3)147(17), 63 1151 (236)(6)144(712), 844 xxxx xxxx 解题关键解题关键 解决本题的关键是要能从大量的文字信息中提取相关的已知条件,并能列出符合题意的表 达式,进而借助二次函数的顶点式(配方法)求
42、出相应的最值. 3.(2019天津,25,10分)已知抛物线y=x2-bx+c(b,c为常数,b0)经过点A(-1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动 点. (1)当b=2时,求抛物线的顶点坐标; (2)点D(b,yD)在抛物线上,当AM=AD,m=5时,求b的值; (3)点Q在抛物线上,当AM+2QM的最小值为时,求b的值. 1 , 2 Q by 2 33 2 4 解析解析 (1)抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0), 1+b+c=0,即c=-b-1, 当b=2时,y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 抛物线的顶点坐标为(1,-4). (2)由(1)知,抛物线的解析式为y=x2
43、-bx-b-1, 点D(b,yD)在抛物线y=x2-bx-b-1上, yD=b2-b b-b-1=-b-1. 由b0,得b0,-b-10, 2 b 点D(b,-b-1)在第四象限,且在抛物线对称轴x=的右侧. 如图,过点D作DEx轴,垂足为E,则点E(b,0), AE=b+1,DE=b+1,AE=DE, 在RtADE中,ADE=DAE=45,AD=AE, 又已知AM=AD,m=5, 5-(-1)=(b+1),b=3-1. (3)点Q在抛物线y=x2-bx-b-1上, yQ=-b-b-1=-, 可知点Q在第四象限,且在直线x=b的右侧, 考虑到AM+2QM=2,可取点N(0,1), 2 b 2
44、22 1 , 2 Q by 2 1 2 b 1 2 b 2 b3 4 13 , 224 b b 2 2 2 AMQM 如图,过点Q作直线AN的垂线,垂足为G,QG与x轴相交于点M, 有GAM=45,得AM=GM, 则此时点M满足题意. 过点Q作QHx轴于点H,则点H, 在RtMQH中,可知QMH=MQH=45, QH=MH,QM=MH, 点M(m,0), 0-=-m,解得m=-. AM+2QM=, +2-=. b=4. 2 2 1 ,0 2 b 2 3 24 b 1 2 b 2 b1 4 2 33 2 4 2 1 ( 1) 24 b 2 1 2 b 1 24 b 33 2 4 解题关键解题关键
45、 在第(3)问中确定点M的位置及求得m=-是解题的关键. 2 b1 4 解题技巧解题技巧 对于学生而言,第(3)问难点在于两个参数m,b同时存在,用b表示MH时,只要抓住点Q在抛物 线上这一特点以及QH=MH这个条件就可求得m=-. 2 b1 4 4.(2020重庆A卷,25,10分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其 中A(-3,-4),B(0,-1). (1)求该抛物线的函数表达式; (2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB,求PAB面积的最大值; (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(
46、a10),平移后的抛物线与原抛物线相交 于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四 边形为菱形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 备用图 解析解析 (1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,-4),点B(0,-1), 解这个方程组,得 该抛物线的函数表达式为y=x2+4x-1.(3分) (2)设直线AB的函数表达式为y=kx+m(k0). 将点A(-3,-4),点B(0,-1)代入函数表达式, 得 解这个方程组,得 直线AB的函数表达式为y=x-1. 如图1所示,过点P作PQx轴交AB于点Q. 934, 1. bc c 4, 1. b c 34, 1. km m 1, 1. k m 设P(t,t2+4t-1)(-3t0),则Q(t,t-1). PQ=(t-1)-(t2+4t-1)=-t2-3t. SPAB=PQ |xA-xB|=(-t2-3t)3=-t2-t. -=-,-3-0, 当t=-时,SPAB有最大值, 最大值为SPAB=. PAB面积的最大值为.(6分) 1 2 1 2 3 2 9 2 9 2 3 2 2 3 2 3
