1、 中考数学 （浙江专用） 第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系 A组 20162020年浙江中考题组 考点一 圆的有关概念及性质 1.(2020杭州,9,3分)如图,已知BC是O的直径,半径OABC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与 OA交于点E.设AED=,AOD=,则( ) A.3+=180 B.2+=180 C.3-=90 D.2-=90 答案答案 D 如图,连接AB,则DBA=DOA=,DEA=DBA+OAB=.OA=OB,BOA=90, OAB=45,=+45,2-=90,故选D. 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 连接AB,利用一条弦所对的圆周角等
2、于圆心角的一半,可得到DBA=,利用三角形外角的 性质,可得DBA+OAB=,再证明OAB=45,进而可得和之间的关系式. 1 2 方法总结方法总结 圆中求角度的问题,优先考虑运用圆周角定理及其推论,因此先要找出图形中的圆心角或圆 周角,再看所求角与这些特殊角之间的关系.此外还应注意题干中的一些隐含条件,一般会涉及等腰三角 形的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质等. 半径作弧,相交于点H,作射线AH; 分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径作弧,相交于点M,N,作直线MN,交射线AH于点O; 以点O为圆心,线段OA长为半径作圆. 则O的半径为( ) A.2 B.10 C.4 D.5 1
3、 2 5 2.(2020嘉兴,9,3分) 如图,在等腰ABC中,AB=AC=2,BC=8,按下列步骤作图: 以点A为圆心,适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为 5 1 2 答案答案 D 如图,设OA交BC于T,连接OC. 设O的半径为r, AB=AC=2,AO平分BAC, AOBC,BT=TC=4, AT=2, 在RtOCT中,有r2=(r-2)2+42, 解得r=5,故选D. 5 22 ACCT 22 (2 5)4 3.(2018衢州,10,3分)如图,AC是O的直径,弦BDAO于E,连接BC,过点O作OFBC于F,若BD=8 cm,AE
4、=2 cm,则OF的长度是( ) A.3 cm B. cm C. cm D. cm 62.55 答案答案 D ACBD,BE=DE=BD=4 cm. 设O的半径为r cm. 连接OB,则在RtBOE中,r2=42+(r-2)2,解得r=5. CE=8 cm.BC=4 cm. 又OFBC,CF=BC=2 cm, OC=5 cm,OF= cm.故选D. 1 2 5 1 2 5 5 4.(2019舟山,7,3分)如图,已知O上三点A,B,C,半径OC=1,ABC=30,切线PA交OC延长线于点P,则PA 的长为( ) A.2 B. C. D. 32 1 2 答案答案 B 连接OA, ABC=30,
5、AOC=2ABC=60, PA是O的切线, OAP=90, OA=OC=1, AP=OAtan60=1=,故选B. 33 5.(2019嘉兴,14,4分)如图,在O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连接OC,过点C作CDOC交O于点D,则 CD的最大值为 . 1 2 答案答案 解析解析 连接OD,如图, 设圆O的半径为r. CDOC, CD=, 当OC的值最小时,CD的值最大, 又当OCAB时,OC最小,此时OC=, 22 ODOC 22 rOC 2 2 1 2 rAB CD的最大值为=AB=1=. 222 1 4 rrAB 1 2 1 2 1 2 6.(2018杭州,14,4分)如图,AB是
6、O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DEAB,交O于D,E两点,过 点D作直径DF,连接AF,则DFA= . 答案答案 30 解析解析 点C是半径OA的中点, OC=OA=OD, 又DEAB, CDO=30, DOA=60, DFA=DOA=30. 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 利用三角函数得出CDO=30,进而得出DOA=60,利用圆周角定理得出DFA=30. 解题关键解题关键 此题考查了三角函数以及圆周角定理,解题关键是利用三角函数得出CDO=30. 7.(2018嘉兴、舟山,14,4分)如图,量角器的0度刻度线为AB,将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边 与量角器相切
7、于点C,直尺另一边交量角器于点A,D,量得AD=10 cm,点D在量角器上的读数为60,则该直 尺的宽度为 cm. 答案答案 5 3 3 解析解析 连接OC,OD,C是O的切点,COCE且COAD,设CO交AD于H,则AH=HD=AD=5 cm, DOB=60,AOD=120, AOC=60,AO=CO= cm,OH= cm, CH= cm,即直尺的宽度为 cm. 1 2 10 3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 8.(2020温州,22,10分)如图,C,D为O上两点,且在直径AB两侧,连接CD交AB于点E,G是上一点, ADC=G. (1)求证:1=2; (2)点C关于DG的对称点
8、为F,连接CF.当点F落在直径AB上时,CF=10,tan1=,求O的半径. AC 2 5 解析解析 (1)证明:ADC=G,=. AB为O的直径, =, -=-,即=, 1=2. (2)连接DF. =,AB为O的直径, ABCD,CE=DE, AC AD ACB ADB ACB AC ADB AD CB DB AC AD FD=FC=10. 点C,F关于GD对称, DC=DF=10,DE=5. tan1=, EB=DE tan1=2. 1=2, tan2=,AE=, AB=AE+EB=,O的半径为. 2 5 2 5tan2 DE 25 2 29 2 29 4 思路分析思路分析 (1)利用圆周
9、角定理的推论可证得=,再利用AB是圆O的直径,证明=,即得 =,然后根据等弧所对的圆周角相等可证得结论.(2)连接DF,证得ABCD,CE=DE,CF=FD,根据点C关 于DG的对称点为F得出DF=CD,可得出FC=FD=CD=10,进而求出DE的长,再解直角三角形求出EB,AE的 长,然后根据AB=AE+EB就可以求出AB的长,即可得到圆的半径. AC AD ACB ADB CB DB 9.(2019杭州,23,12分)如图,已知锐角三角形ABC内接于O,ODBC于点D,连接OA. (1)若BAC=60, 求证:OD=OA; 当OA=1时,求ABC面积的最大值; (2)点E在线段OA上,OE
10、=OD.连接DE,设ABC=mOED,ACB=nOED(m,n是正数).若ABC ACB,求证:m-n+2=0. 1 2 解析解析 (1)证明:连接OB,OC. 因为OB=OC,ODBC, 所以BOD=BOC=2BAC=60, 所以OBD=30, 所以OD=OB=OA. 作AFBC,垂足为点F, 1 2 1 2 1 2 1 2 所以AFADAO+OD=,等号当点A,O,D在同一直线上时取到. 由知,BC=2BD=, 所以ABC的面积=BC AF=, 即ABC面积的最大值是. (2)证明:设OED=ODE=,COD=BOD=. 因为ABC是锐角三角形, 所以ABC+ACB+BAC=180, 即(
11、m+n)+=180.(*) 又因为ABCACB, 所以EOD=AOC+DOC=2m+. 因为OED+ODE+EOD=180, 所以2(m+1)+=180.(*) 3 2 3 1 2 1 2 3 3 2 3 3 4 3 3 4 由(*) (*),得m+n=2(m+1), 即m-n+2=0. 10.(2019绍兴,21,10分)在屏幕上有如下内容: 如图,ABC内接于O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的延长线于点D. 张老师要求添加条件后,编制一道题目,并解答. (1)在屏幕内容中添加条件D=30,求AD的长.请你解答; (2)以下是小明、小聪的对话: 小明:我加的条件是BD=1,就可以求出
12、AD的长. 小聪:你这样太简单了,我加的是A=30,连接OC,就可以证明ACB与DCO全等. 参考此对话,在屏幕内容中添加条件,编制一道题目(可以添线、添字母),并解答. 解析解析 (1)连接OC,如图, CD为切线, OCCD, OCD=90, D=30, OD=2OC=2, AD=AO+OD=1+2=3. (2)添加DCB=30,求AC的长. AB为直径, ACB=90, ACO+OCB=90, OCB+DCB=90, ACO=DCB,ACO=A, A=DCB=30, 在RtACB中,AC=AB=. 3 2 3 考点二 与圆有关的位置关系 1.(2020丽水,8,3分)如图,O是等边ABC
13、的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则EPF 的度数是( ) A.65 B.60 C.58 D.50 DF 答案答案 B 如图,连接OE,OF. O是ABC的内切圆,E,F是切点, OEAB,OFBC, OEB=OFB=90, ABC是等边三角形, B=60, EOF=120, EPF=EOF=60, 1 2 故选B. 2.(2019杭州,3,3分)如图,P为O外一点,PA,PB分别切O于A,B两点,若PA=3,则PB=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案答案 B 连接OA,OB,OP. PA,PB分别切O于A,B两点, OAAP,OBBP. OP=OP,OA=
14、OB, OAPOBP(HL), PB=PA=3.故选B. 3.(2019台州,7,4分)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则 O的半径为( ) A.2 B.3 C.4 D.4- 33 答案答案 A 设O与AC的切点为E, 连接AO,OE, 等边三角形ABC的边长为8, AC=8,C=BAC=60, O分别与边AB,AC相切, BAO=CAO=BAC=30, AOC=90, OC=AC=4, OEAC, OE=OC=2, O的半径为2,故选A. 1 2 1 2 3 2 3 3 4.(2019温州,14,5分)如图,O分别切BAC的两边AB,AC于点
15、E,F,点P在优弧()上.若BAC=66,则 EPF等于 度. EDF 答案答案 57 解析解析 连接OE,OF,则四边形OEAF中,OFA=OEA=90,A=66, FOE=180-66=114, P在O上,EPF=57. 2 FOE 5.(2020杭州,14,4分)如图,已知AB是O的直径,BC与O相切于点B,连接AC,OC.若sinBAC=,则tanBOC = . 1 3 答案答案 2 2 解析解析 AB是O的直径,BC与O相切于点B, ABBC,ABC=90. sinBAC=,AC=3BC. 设BC=x,则AC=3x, AB=2x. OB=AB=x, tanBOC=.故答案为. BC
16、AC 1 3 22 ACBC 22 (3 )xx 2 1 2 2 BC OB2 x x 2 2 2 2 思路分析思路分析 利用切线的性质,可知CBA=90,再利用锐角三角函数的定义设BC=x,AC=3x,利用勾股定理 用含x的代数式表示出AB的长,进而得到OB的长,然后就可以求出tanBOC的值. 6.(2020宁波,15,5分)如图,O的半径OA=2,B是O上的动点(不与点A重合),过点B作O的切线BC,BC= OA,连接OC,AC.当OAC是直角三角形时,其斜边长为 . 答案答案 2或2 23 解析解析 连接OB, BC是O的切线,OBC=90, BC=OA,OA=2,OB=BC=2, O
17、BC是等腰直角三角形,OC=OB=2, BCO=45,ACO45, 当AOC=90时,AC=2. 当A与B关于OC对称时,OAC=90,符合题意,此时斜边长OC=2. 故斜边长为2或2. 2 2 22 OAOC 22 2(2 2) 3 2 32 7.(2020台州,15,5分)如图,在ABC中,D是边BC上的一点,以AD为直径的O交AC于点E,连接DE,若O 与BC相切,ADE=55,则C的度数为 . 答案答案 55 解析解析 AD是直径,AED=90,ADE+DAE=90,BC是O的切线,ADC=90,C+DAE= 90,C=ADE=55. 8.(2019宁波,17,4分)如图,RtABC中
18、,C=90,AC=12,点D在边BC上,CD=5,BD=13.点P是线段AD上一动 点,当半径为6的P与ABC的一边相切时,AP的长为 . 13 答案答案 6.5或3 解析解析 在RtABC中,C=90,AC=12,CB=BD+CD=18, AB=6. 在RtADC中,C=90,AC=12,CD=5, AD=13. 当P与BC相切时,点P到BC的距离为6. 过P作PHBC于H,则PH=6. C=90,ACBC,PHAC. DPHDAC,=, =,PD=6.5, AP=6.5. 当P与AB相切时,点P到AB的距离为6.过P作PGAB于G,则PG=6. 22 121813 22 ACCD PD D
19、A PH AC 13 PD6 12 AD=BD=13,PAG=B, 又AGP=C=90, AGPBCA, =. =, AP=3. CD=56, 半径为6的P不能与ABC的AC边相切. 综上所述,AP=6.5或3. AP AB PG AC 6 13 AP6 12 13 13 9.(2020嘉兴,19,6分)已知:如图,在OAB中,OA=OB,O与AB相切于点C.求证:AC=BC. 小明同学的证明过程如下: 证明:连接OC. OA=OB,A=B. 又OC=OC, OACOBC, AC=BC. 小明的证法是否正确?若正确,请在框内打“”;若错误,请写出你的证明过程. 解析解析 证法错误. 证明:连接
20、OC. O与AB相切于点C,OCAB. OA=OB,AC=BC. 10.(2019温州,22,10分)如图,在ABC中,BAC=90,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的O交AB于 另一点F,作直径AD,连接DE并延长交AB于点G,连接CD,CF. (1)求证:四边形DCFG是平行四边形; (2)当BE=4,CD=AB时,求O的直径长. 3 8 解析解析 (1)证明:连接AE, BAC=90,CF为O的直径, AC=EC,CFAE. AD为O的直径,AED=90,即GDAE, CFDG. AD为O的直径,ACD=90, ACD+BAC=180, ABCD, 四边形DCFG为平行四边
21、形. (2)由CD=AB,可设CD=3x,AB=8x,FG=CD=3x. AOF=COD,AF=CD=3x, BG=8x-3x-3x=2x. GECF, =. 又BE=4,CE=6,BC=6+4=10,AC=6, 3 8 BE EC BG GF 2 3 AB=8=8x,x=1. 在RtACF中,AF=3,AC=6, CF=3,即O的直径长为3. 22 106 22 3655 11.(2019衢州,21,8分)如图,在等腰ABC中,AB=AC,以AC为直径作O交BC于点D,过点D作DEAB,垂 足为E. (1)求证:DE是O的切线; (2)若DE=,C=30,求的长. 3AD 解析解析 (1)证
22、明:连接OD. OD=OC,C=ODC, AB=AC,B=C, B=ODC,ODAB, ODE=DEB. DEAB,DEB=90, ODE=90,即DEOD, DE是O的切线. (2)连接AD, AC是直径,ADC=90, AB=AC,B=C=30,BD=CD, OAD=60,OA=OD,AOD是等边三角形, AOD=60, DE=,B=30,BED=90, CD=BD=2DE=2, OD=AD=tan 30 CD=2=2, 的长为=. 3 3 3 3 3 AD 602 180 2 3 12.(2018金华,21,8分)如图,在RtABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与
23、BC,AB相交 于点D,E,连接AD.已知CAD=B. (1)求证:AD是O的切线; (2)若BC=8,tan B=,求O的半径. 1 2 解析解析 (1)证明:连接OD, OB=OD,3=B. B=1,3=1. 在RtACD中,1+2=90, 3+2=90, 4=180-(2+3)=180-90=90, ODAD, AD是O的切线. (2)设O的半径为r. 在RtABC中,AC=BC tan B=8=4, AB=4, OA=4-r. 在RtACD中,tan1=tan B=, CD=AC tan1=4=2, AD2=AC2+CD2=42+22=20. 在RtADO中,OA2=OD2+AD2,
24、(4-r)2=r2+20, 解得r=. 1 2 22 ACBC 22 485 5 1 2 1 2 5 3 2 5 B组 20162020年全国中考题组 考点一 圆的有关概念及性质 1.(2020福建,9,4分)如图,四边形ABCD内接于O,AB=CD,A为的中点,BDC=60,则ADB等于 ( ) A.40 B.50 C.60 D.70 BD 答案答案 A 连接OA,OB,OC, AB=CD,A为的中点, =. BDC=60, BOC=260=120, AOB=(360-120)3=80. ADB=40. BD AB CD AD 方法指导方法指导 圆中,弧所对的圆心角度数与该弧的度数相同,弧所
25、对的圆周角度数是该弧的度数的一半. 2.(2019湖北黄冈,7,3分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m, 点C是的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为( ) A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m AB AB 答案答案 A 连接OD, 因为点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点, 所以O、D、C三点共线,BD=AB=20 m, 设OB=x m,则OD=(x-10)m, 在RtOBD中,OD2+BD2=OB2, 即(x-10)2+202=x2,解得x=25, 故选A. 1 2 思路分析思路分析 连接OD,
26、利用点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点及弦心距的性质将问题转化到直角三 角形中,然后由勾股定理求出. 3.(2019湖北武汉,9,3分)如图,AB是O的直径,M,N是(异于A,B)上两点,C是上一动点,ACB的平 分线交O于点D,BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,C,E两点的运动路径长的比是 ( ) A. B. C. D. AB MN 2 2 3 2 5 2 答案答案 A 如图,由题意可知1=2,3=4.连接AD,可得2=6=1.5=1+3,EAD=4+ 6=3+1,DE=DA,即点E在以点D为圆心,AD为半径的圆上运动,6=2=45,AD=AO,设 O的半径为r,劣弧
27、MN所对的圆心角为n,则C,E两点的运动路径长的比是=.故选A. 2 180 2 2 180 n r n r 2 4.(2020四川成都,13,4分)如图,A,B,C是O上的三个点,AOB=50,B=55,则A的度数为 . 答案答案 30 解析解析 如图所示,设AC与OB交于点D. AOB与ACB所对的弧为同弧, ACB=AOB=50=25, 又B=55, CDB=180-ACB-B=100, ODA=CDB=100, A=180-AOD-ODA=30. 1 2 1 2 5.(2019天津,18,3分)如图,在每个小正方形的边长均为1的网格中,ABC的顶点A在格点上,B是小正方形 边的中点,A
28、BC=50,BAC=30,经过点A,B的圆的圆心在边AC上. (1)线段AB的长等于 ; (2)请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出一个点P,使其满足PAC=PBC=PCB,并简要说明 点P的位置是如何找到的(不要求证明) . 答案答案 (1) (2)如图,取圆与网格线的交点E、F,连接EF,与AC相交,得圆心O;AB与网格线相交于点D,连接DO并延长, 交O于点Q,连接QC并延长,与点B,O的连线BO相交于点P,连接AP,则点P满足PAC=PBC=PCB 17 2 解析解析 (1)根据勾股定理得AB=. (2)取圆与网格线的交点E、F,连接EF与AC相交,根据90度的圆周角所对的弦是直
29、径,可得EF与AC的交 点为圆心O;AB与网格线相交于点D,连接DO并延长交O于点Q,连接QC并延长,与点B,O的连线BO相交 于点P,连接AP. 由图形可知点D为AB的中点,ODAB, OA=OB,BAC=30, BAC=ABO=30,AOD=BOD=60, BOC=60, ABC=50,CBP=20, AOD=COQ=60,BOC=COQ. OB=OQ,OC=OC,COQCOB, Q=CBO=20, AOP=POQ=120,且OA=OQ,OP=OP, 2 2 1 2 2 17 2 POQPOA,Q=CAP=20, ABC=50,BAC=30,ACB=100, ACP=Q+COQ=20+60
30、=80, PCB=ACB-ACP=100-80=20, PAC=PBC=PCB=20,点P符合条件. 难点突破难点突破 点P位置的确定需要学生清楚BAC=30,经过点A、B的圆的圆心在边AC上,进而确定圆心 位置,利用圆的对称性把PAC转化到Q,最后只要求PCB=20,便可把所求问题进行有效转化,显然 射线QC与线段OB的交点即为所求的点P. 6.(2020安徽,20,10分)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于 点F,BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E. (1)求证:CBADAB; (2)若BE=BF,求证:AC平分DAB
31、. 证明证明 (1)因为AB为半圆O的直径,所以ACB=BDA=90. 在RtCBA与RtDAB中,因为BC=AD,BA=AB, 所以CBADAB.(5分) (2)证法一:因为BE=BF,又由(1)知BCEF, 所以BC平分EBF. 因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BEAB. 于是,DAC=DBC=CBE=90-E=CAB, 故AC平分DAB.(10分) 证法二:因为BE=BF,所以E=BFE. 因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BEAB. 于是,CAB=90-E=90-BFE=90-AFD=CAD. 故AC平分DAB.(10分) 思路分析思路分析 (1)根据直径所对的圆周角是直
32、角并依据HL证明两个直角三角形全等;(2)两个思路:根据 直径所对的圆周角是直角得BCEF,由BE是切线可得BEAB,再由同弧所对的圆周角相等可得DAC =DBC,利用BE=BF及互余性质可证DAC=CAB,问题解决;先根据BE=BF得E=BFE,根据BE 是切线可得BEAB,再利用互余性质可证CAB=CAD,问题解决. 考点二 与圆有关的位置关系 1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB等于 ( ) A.55 B.70 C.110 D.125 答案答案 B 连接OA,OB.PA,PB是O的两条切线, OAAP,OBPB.
33、OAP=OBP=90. AOB=2ACB=255=110, APB=360-OAP-OBP-AOB =360-90-90-110=70.故选B. 方法总结方法总结 在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在 圆中通过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法. 2.(2020江苏苏州,14,3分)如图,已知AB是O的直径,AC是O的切线,连接OC交O于点D,连接BD.若 C=40,则B的度数是 . 答案答案 25 解析解析 AC是O的切线, OAC=90, C=40, AOD=50, B=AOD=25. 1 2 3.(2019内蒙古包头,18
34、,3分)如图,BD是O的直径,A是O外一点,点C在O上,AC与O相切于点C, CAB=90,若BD=6,AB=4,ABC=CBD,则弦BC的长为 . 答案答案 2 6 解析解析 连接CD,BD是直径,DCB=90,又CAB=90,ABC=CBD,CABDCB,= ,即=,BC=2. BD BC BC AB 6 BC4 BC 466 4.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= . 答案答案 60 解析解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中 点,BD=AB
35、=BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE =360-90-90-120=60. 1 2 1 2 解题关键解题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键. 5.(2019天津,21,10分)已知PA,PB分别与O相切于点A,B,APB=80,C为O上一点. (1)如图,求ACB的大小; (2)如图,AE为O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求EAC的大小. 解析解析 (1)如图,连接OA,OB, PA,PB是O的切线, OAPA,OBPB,即OAP=OBP=90, APB=80, 在四边形OAPB中,AOB=360-OAP-O
36、BP-APB=100, 在O中,ACB=AOB, ACB=50. (2)如图,连接CE, 1 2 AE为O的直径, ACE=90, 由(1)知,ACB=50, BCE=ACE-ACB=40, BAE=BCE=40, 在ABD中,AB=AD, ADB=ABD=(180-BAE)=70, 又ADB是ADC的一个外角,有EAC=ADB-ACB, EAC=20. 1 2 思路分析思路分析 (1)连接OA,OB,根据切线的性质得OAP=OBP=90,根据四边形内角和可得AOB=100, 由圆周角定理得ACB=AOB=50; (2)连接CE,由圆周角定理及其推论(直径所对的圆周角是直角)可得BCE=BAE
37、=40,根据等边对等角 得ABD=ADB=70,依据ADB=EAC+ACB可得EAC=20. 1 2 6.(2020新疆,22,11分)如图,在O中,AB为O的直径,C为O上一点,P是的中点,过点P作AC的垂线, 交AC的延长线于点D. (1)求证:DP是O的切线; (2)若AC=5,sinAPC=,求AP的长. BC 5 13 解析解析 (1)证明:连接OP. P是的中点,=, DAP=BAP, 又OA=OP,BAP=APO, DAP=APO, OPAD,D+OPD=180, 又PDAD,D=90,OPD=90, 又OP为O的半径, DP是O的切线. BC CP BP (2)连接PB,过点P
38、作PHAB,垂足为点H, 过点C作CGAP,垂足为点G. 在CGP中,sinAPC=,设CG=5x,则CP=13x, DAP=PAB,PDAD,PHAB, PH=PD,D=PHB=90, P是的中点,CP=BP, 在RtPDC和RtPHB中, CG CP 5 13 BC , , CPBP PDPH RtPDCRtPHB(HL),DPC=HPB, AC=5,CG=5x, sinDAP=x, DAP=PAB, sinPAB=x, AB=13,OP=, DPO=APB=90, DPC+APC+APO=BPH+OPH+APO, 又DPC=BPH,OPH=APC, sinOPH=sinAPC=,OH=,
39、PH=6,AH=9, 根据勾股定理得,AP=3. CG AC 5 5 x PB AB 13x AB 13 2 5 13 5 2 22 PHAH13 C组 教师专用题组 考点一 圆的有关概念及性质 1.(2019山东滨州,6,3分)如图,AB为O的直径,C,D为O上两点,若BCD=40,则ABD的大小为( ) A.60 B.50 C.40 D.20 答案答案 B 连接AD, AB为O的直径, ADB=90. BCD=40, A=BCD=40, ABD=90-40=50. 故选B. 2.(2017新疆,9,5分)如图,O的半径OD垂直于弦AB,垂足为点C.连接AO并延长交O于点E,连接BE,CE,
40、 若AB=8,CD=2,则BCE的面积为( ) A.12 B.15 C.16 D.18 答案答案 A O的半径OD垂直于弦AB,AB=8, AC=BC=AB=4. 设OA=r,则OC=OD-CD=r-2, 在RtAOC中, 由勾股定理得42+(r-2)2=r2, 解得r=5, AE=10, 在RtABE中,BE=6, SBCE=BC BE=46=12.故选A. 1 2 22 AEAB 22 108 1 2 1 2 方法指导方法指导 运用垂径定理求相关线段长度的关键是构造直角三角形,进而利用勾股定理求解.其最常用 的方法是“连接圆心和圆中弦的端点”.若弦长为l,圆心到弦的距离为d,半径为r,则根
41、据勾股定理有l= . 1 2 22 rd 3.(2018山东烟台,10,3分)如图,四边形ABCD内接于O,点I是ABC的内心,AIC=124,点E在AD的延 长线上,则CDE的度数为( ) A.56 B.62 C.68 D.78 答案答案 C 由AIC=124,知IAC+ICA=180-AIC=180-124=56, 又点I是ABC的内心,点I是ABC三个内角的平分线的交点, BAC+BCA=562=112, B=180-(BAC+BCA)=180-112=68. 四边形ABCD内接于O,B+ADC=180, 又ADC+CDE=180,CDE=B=68. 4.(2019湖北襄阳,10,3分)
42、如图,AD是O的直径,BC是弦,四边形OBCD是平行四边形,AC与OB相交于点P, 下列结论错误的是( ) A.AP=2OP B.CD=2OP C.OBAC D.AC平分OB 答案答案 A AD为直径, ACD=90, 四边形OBCD为平行四边形, CDOB,CD=OB, 在RtACD中,sin A=, A=30, 在RtAOP中,AP=OP,所以A选项的结论错误; OPCD,CDAC, OPAC,所以C选项的结论正确; OPAC,AP=CP, OP为ACD的中位线, CD=2OP,所以B选项的结论正确; OB=2OP, AC平分OB,所以D选项的结论正确. CD AD 1 2 3 故选A.
43、5.(2019安徽,13,5分)如图,ABC内接于O,CAB=30,CBA=45,CDAB于点D.若O的半径为2,则 CD的长为 . 答案答案 2 解析解析 如图,连接OC、OB,则COB=2CAB=60,OC=OB,COB为等边三角形,BC=2. CBA=45,CDAB,CB=CD,CD=. 22 解题关键解题关键 连接OC、OB,得到COB是等边三角形是解答本题的关键. 6.(2019安徽,19,10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在农政全 书中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在 水面上方,且圆被水面截
44、得的弦AB的长为6米,OAB=41.3.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直 于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin 41.30.66,cos 41.30.75,tan 41.30.88) 图1 图2 解析解析 连接CO并延长,交AB于点D,则CDAB,所以D为AB的中点,所求运行轨道的最高点C到弦AB所在 直线的距离即为线段CD的长. 在RtAOD中, AD=AB=3,OAD=41.3, OD=AD tan 41.330.88=2.64, OA=4, CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64. 1 2 cos41.3 AD 3 0.75 答:运行轨道的最
45、高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. 思路分析思路分析 本题考查垂径定理和三角函数的应用,通过垂径定理求得AD的值,再通过三角函数解三角 形,求得CO和OD的值,从而求出点C到弦AB所在直线的距离. 7.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长. BC 解析解析 (1)尺规作图如图所示.(4分) (2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE, 所以=, 易得OEBC,所以EM=3. RtOMC中,OM=
46、OE-EM=5-3=2,OC=5, 所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30, BE EC 所以弦CE的长为.(10分) 30 思路分析思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CAE可得=,可推出OEBC,最后 利用勾股定理求出CE. BE EC 8.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD不平行于BC,过点C作CEAD交 ABC的外接圆O于点E,连接AE. (1)求证:四边形AECD为平行四边形; (2)连接CO,求证:CO平分BCE. 证明证明 (1)B=D,B=E,
47、D=E. CEAD,E+DAE=180. D+DAE=180.AEDC. 四边形AECD是平行四边形.(5分) (2)过点O作OMEC,ONBC,垂足分别为M、N. 四边形AECD是平行四边形,AD=EC. 又AD=BC,EC=BC, OM=ON,CO平分BCE.(10分) 思路分析思路分析 (1)根据“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等”可推出E=B,再由D=B,CE AD可推出AEDC,问题得证;(2)作OMCE,ONBC,垂足分别为M、N,由已知及(1)得出CE=BC,再根据 “同一个圆内等弦对应的弦心距相等”可得OM=ON,从而由角平分线的判定定理可得结论. 解题关键解题关键 抓住“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等及同圆内等弦
