1、 中考数学 （山东丏用） 第二章 方程(组)与不等式(组) 2.3 一元二次方程 A组 20162020年山东中考题组 考点一 一元二次方程及其解法 1.(2020聊城,8,3分)用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0,配方正确的是( ) A.= B.= C.= D.= 2 3 4 x 17 16 2 3 4 x 1 2 2 3 2 x 13 4 2 3 2 x 11 4 答案答案 A 原方程可化为x2-x=,x2-x+=+,=. 3 2 1 2 3 2 9 16 1 2 9 16 2 3 4 x 17 16 方法规律方法规律 配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二
2、次项的系数化为1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项系数为1,一次项系数是2的倍数. 2.(2020潍坊,8,3分)关于x的一元二次方程x2+(k-3)x+1-k=0根的情况,下列说法正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 答案答案 A =b2-4ac=(k-3)2-41(1-k)=k2-2k+5=(k-1)2+4. (k-1)20,(k-1)2+40,方程有两个不相等的实数根. 3.(2020菏泽,7,3分)等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两
3、个根,则k的值为 ( ) A.3 B.4 C.3或4 D.7 答案答案 C 当3为腰长时,将x=3代入x2-4x+k=0,得32-43+k=0,解得k=3. 当3为底边长时,关于x的方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根, =(-4)2-41k=0,解得k=4,此时两腰长之和为4,43,符合题意. k的值为3或4.故选C. 思路分析思路分析 题目没有说明3是腰长还是底边长,所以要分类讨论.当3为腰长时,将x=3代入一元二次方程 可求出k的值;当3为底边长时,利用等腰三角形的性质可得出根的判别式=0,解之可得出k值,利用根与 系数的关系可得两腰之和为4,将其与3比较后可知该结果符合题意. 4.
4、(2019滨州,8,3分)用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0时,下列变形正确的是( ) A.(x-2)2=1 B.(x-2)2=5 C.(x+2)2=3 D.(x-2)2=3 答案答案 D x2-4x+1=0, x2-4x=-1, x2-4x+4=-1+4, (x-2)2=3. 5.(2017济南,7,3分)关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2,则另一个根是( ) A.-6 B.-3 C.3 D.6 答案答案 B 设方程的另一个根为n,则-2+n=-5,解得n=-3. 思路分析思路分析 设方程的另一个根为n,根据两根之和等于-,即可得出关于n的一元一次方程,解之即可. b a 一
5、题多解一题多解 本题也可以把-2代入方程x2+5x+m=0,求得未知数m的值,再把m的值代入方程x2+5x+m=0,解这 个方程,求得另一个根.这种方法可以形象地比喻为“让根回娘家”. 具体解法如下:把x=-2代入方程得,(-2)2+5(-2)+m=0,解得m=6,把m=6代入方程得x2+5x+6=0,解得x1=-2,x2= -3,所以另一个根是-3. 6.(2019威海,10,3分)已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根,则a2-b+2 019的值是( ) A.2 023 B.2 021 C.2 020 D.2 019 答案答案 A 根据一元二次方程的根的定义,得a2+a-3=0,所以
6、a2=-a+3,再利用根与系数的关系,得a+b=-1, 原式=-a+3-b+2 019=-(a+b)+3+2 019=-(-1)+3+2 019=2 023,故选A. 7.(2019淄博,9,4分)若x1+x2=3,+=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是( ) A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0 2 1 x 2 2 x 答案答案 A +=5,(x1+x2)2-2x1x2=5, 将x1+x2=3代入,得9-2x1x2=5,x1x2=2, 以x1,x2为根的一元二次方程为x2-3x+2=0. 2 1 x 2 2 x 一题多解一题多解
7、本题也可以求出x1,x2,以x1,x2为根的一元二次方程为(x-x1)(x-x2)=0,再化为一般形式. 8.(2018潍坊,11,3分)已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1,x2.若+= 4m,则m的值是( ) A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在 4 m 1 1 x 2 1 x 答案答案 A 由题意得=-(m+2)2-4 m=4m+40,且m0,解得m-1且m0, 由题意知x1+x2=,x1x2=,所以+=4m,化简得m2-m-2=0, 解得m1=2,m2=-1(舍去),所以m的值为2,故选A. 4 m 2m m 1 4 1 1 x 2 1 x
8、12 12 xx x x 2 1 4 m m 思路分析思路分析 首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知0且m0,从而求出m的取值范围,再 由一元二次方程根与系数的关系以及+=4m求出m的值,最后根据取值范围进行取舍. 1 1 x 2 1 x 9.(2020枣庄,14,4分)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a= . 答案答案 -1 解析解析 把x=0代入(a-1)x2-2x+a2-1=0得a2-1=0,解得a=1.又a-10,a1,a=-1. 思路分析思路分析 把x=0代入原方程得到关于a的一元二次方程,解得a=1,然后根据一元二次方程的二次项
9、系 数不能为0确定a的值. 易错警示易错警示 本题易忽视二次项系数不能为0这一重要条件导致答案错误. 10.(2019泰安,13,4分)已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根,则实数k的取 值范围是 . 答案答案 k0, 解得k0, A选项中,=(-1)2-41=1-1=0,方程有两个相等的实数根; B选项中,=22-414=-120,方程无实数根; C选项中,=(-1)2-412=-70,方程有两个不相等的实数根,故选D. 1 4 2.(2020泰安,7,4分)将一元二次方程x2-8x-5=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式,则a,b的值分别
10、是( ) A.-4,21 B.-4,11 C.4,21 D.-8,69 答案答案 A 将x2-8x-5=0配方得(x-4)2=21, a=-4,b=21.故选A. 3.(2020滨州,10,3分)对于任意实数k,关于x的方程x2-(k+5)x+k2+2k+25=0的根的情况为( ) A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判定 1 2 答案答案 B =-(k+5)2-4(k2+2k+25)=-k2+6k-25=-(k-3)2-16, (k-3)20,-(k-3)20, =-(k-3)2-160, x1+x2=-3. 故选C. 5.(2019广西贵港,7,3分)
11、若,是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根,且+=-,则m等于( ) A.-2 B.-3 C.2 D.3 1 1 2 3 答案答案 B 、是x2-2x+m=0的两实根, +=2,=m. +=-, =-,=-, 解得m=-3,经检验,m=-3符合题意.故选B. 1 1 2 3 2 3 2 m 2 3 思路分析思路分析 根据一元二次方程根与系数的关系得到+=2,=m,将+=-等号左边通分后,代入2和m 得关于m的方程,求解即可. 1 1 2 3 6.(2019新疆,6,5分)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是( ) A.k B.k C.k且k1
12、 D.k且k1 5 4 5 4 5 4 5 4 答案答案 D 关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根, 解得k且k1.故选D. 2 10, 14(1) 10, k k 5 4 7.(2018湖北咸宁,6,3分)已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2且x1x2,下列结论正确的是( ) A.x1+x2=1 B.x1 x2=-1 C.|x1|x2| D.+x1= 2 1 x 1 2 答案答案 D 由根与系数的关系可得x1+x2=-=-1,x1 x2=-,故A、B错误;由x1+x20,x1 x20及x1x2,得x1 0,且|x1|x2|,故C错误;x1是一元二次方
13、程2x2+2x-1=0的一个根,2+2x1-1=0,+x1=,故D正确. 2 2 1 2 2 1 x 2 1 x 1 2 8.(2019潍坊,10,3分)关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为( ) A.m=-2 B.m=3 C.m=3或m=-2 D.m=-3或m=2 答案答案 A 设x1,x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根, 由题意知=4m2-4(m2+m)=-4m0,m0. x1+x2=-2m,x1x2=m2+m, +=(x1+x2)2-2x1x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12,m=3或m=-2. 又m0,m=-2.故选A
14、. 2 1 x 2 2 x 9.(2019江苏扬州,12,3分)一元二次方程x(x-2)=x-2的根是 . 答案答案 1或2 解析解析 x(x-2)=x-2, x(x-2)-(x-2)=0, (x-2)(x-1)=0, x-2=0或x-1=0, x1=2,x2=1. 10.(2019济宁,11,3分)已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是 . 答案答案 -2 解析解析 设另一个根为m. x=1是方程x2+bx-2=0的一个根, 1 m=-2, m=-2 方程的另一个根是-2. c a 11.(2018江西,11,3分)一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则
15、-4x1+2x1x2的值为 . 2 1 x 答案答案 2 解析解析 一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1、x2, -4x1=-2,x1x2=2, -4x1+2x1x2=-2+22=2. 2 1 x 2 1 x 12.(2018湖北江汉油田,20,7分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值. 解析解析 (1)由题意得=(2m+1)2-4(m2-2)=4m+90.解得m-.(2分) m的最小整数值为-2.(3分) (2)x1+x2=-(2m+
16、1),x1x2=m2-2,(4分) (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2m+1)2-4(m2-2)=4m+9. 4m+9+m2=21. 解得m1=-6,m2=2.(6分) 当且仅当m-时,方程有两个实数根, m=2.(7分) 9 4 9 4 考点二 一元二次方程的应用 1.(2020山西,14,3分)如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的 矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm. 答案答案 2 解析解析 设正方形的边长为x cm,则长方体铁盒底面的宽为=(6-x)cm,底
17、面的长为(10-2x)cm,(6-x) (10-2x)=24,化简得x2-11x+18=0,即(x-2)(x-9)=0,解得x1=2,x2=9,由解得0x4 200. 答:2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4 200元. 思路分析思路分析 (1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x,根据该贫困户2016年 及2018年家庭年人均纯收入,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其中正值即可得出结论; (2)根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入=2018年该贫困户的家庭年人均纯收入(1+增长率),可求 出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入,再与4 200比较
18、后即可得出结论. A组 20182020年模拟基础题组 时间:30分钟 分值:45分 一、选择题(每小题3分,共21分) 1.(2020威海文登期中,8)下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( ) A.ax2+bx+c=0 B.+-2-2=0 C.x(x-3)=2+x2 D.x2-7=x 2 1 x 1 x 52 答案答案 D 根据一元二次方程的定义知选项D正确,故选D. 2.(2020烟台芝罘期中,5)设a,b是方程x2+x-2 019=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为( ) A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.2 020 答案答案 B a、b是方程x2+x-2 01
19、9=0的两个实数根,a2+a=2 019,a+b=-1, a2+2a+b=a2+a+a+b=2 019-1=2 018. 思路分析思路分析 根据一元二次方程的解及根与系数的关系,即可得出a2+a=2 019,a+b=-1,将其代入a2+2a+b=a 2+a+a+b中即可求解. 3.(2020济南市中区校级模拟,8)若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有实数根,则常数c的值不可能为( ) A.-4 B.4 C.-16 D.16 答案答案 D 根据题意得=(-4)2-4c0,解得c4.观察选项,可知D满足题意. 4.(2020德州德城一模,9)如图,某小区有一块长为18米,宽为6米的矩形空地,
20、计划在其中修建两块相同的 矩形绿地,它们的面积之和为60平方米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽 度为x米,则可以列出关于x的方程是( ) A.x2+9x-8=0 B.x2-9x-8=0 C.x2-9x+8=0 D.2x2-9x+8=0 答案答案 C 人行道的宽度为x米,根据题意得, (18-3x)(6-2x)=60,整理得x2-9x+8=0. 思路分析思路分析 人行道的宽度为x米,根据矩形绿地的面积之和为60平方米,列出一元二次方程. 5.(2019聊城东阿二中模拟,8)“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每名同学都把自 己的图书向本组其他成员赠送一本,
21、某组共互赠了210本图书,如果设该组共有x名同学,那么依题意,可列 出的方程是( ) A.x(x+1)=210 B.x(x-1)=210 C.2x(x-1)=210 D.x(x-1)=210 1 2 答案答案 B 由题意知每人赠送的书比总人数少1,可得x(x-1)=210.故选B. 6.(2019临沂平邑一模,5)已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,则另一个根为( ) A.5 B.-1 C.-5 D.2 答案答案 B 关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,设另一个根为m,则-2+m=-,解得m=-1. 另一个根为-1. 3 1 思路分析思路分析 关于x的方程x2+3x+a
22、=0有一个根为-2,设出另一个根,然后根据根与系数的关系可以求得另 一个根的值. 7.(2018滨州阳信模拟,8)已知a、b、c为常数,点P(a,c)在第二象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况 是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 答案答案 B 点P(a,c)在第二象限, a0,ac0,方程有两个不相等的实数根. 二、填空题(每小题3分,共12分) 8.(2020聊城莘县一模,13)方程x2=2x的根为 . 答案答案 0或2 解析解析 x2=2x, x2-2x=0, x(x-2)=0, x=0或x-2=0, 解得x1=0,x2=
23、2, 方法规律方法规律 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:移项,使方程的右边化为零;将方程的左边分 解为两个一次因式的乘积;令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;解这两个一元一次方程, 它们的解就是原方程的解. 易错警示易错警示 本题容易出错的地方是解方程时把两边同时除以x,得到方程的解为x=2,这样做会丢根.出现 错误的原因是把两边同时除以x时,忽视x取0的情况. 9.(2020德州临邑一模,14)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10 x+21=0的根,则该三角 形的周长为 . 答案答案 16 解析解析 解方程x2-10 x+21=0得x1=3,x2=7, 3第三
24、边的边长 1 4 解析解析 关于x的一元二次方程x2-(2a-1)x+a2=0没有实数根,=-(2a-1)2-4a2. 1 4 思路分析思路分析 根据题意得0,即可得出关于a的不等式,解之即可得出结论. 三、解答题(共12分) 12.(2020济宁嘉祥一模,16)解方程:x2-2x-3=0. 解析解析 x2-2x-3=0, (x-3)(x+1)=0, x-3=0或x+1=0, x1=3,x2=-1. 13.(2019济南商河一模,22)如图,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上, 修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道的宽为a米. (
25、1)用含a的式子表示花圃的面积; (2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的,求出此时通道的宽. 3 8 解析解析 (1)花圃的面积为(60-2a)(40-2a)平方米或(4a2-200a+2 400)平方米. (2)由题意得(60-2a)(40-2a)=6040, 即a2-50a+225=0, 解得a1=5,a2=45(不合题意,舍去). 此时通道的宽为5米. 3 1 8 B组 20182020年模拟提升题组 时间:40分钟 分值:55分 一、选择题(每小题3分,共9分) 1.(2020青岛崂山一模,5)若关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+2=0有实数根,则整数a的最大值为( )
26、A.-1 B.0 C.1 D.2 答案答案 B 关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+2=0有实数根, =(-2)2-8(a-1)=12-8a0且a-10, a且a1,整数a的最大值为0. 3 2 思路分析思路分析 根据关于x的一元二次方程有实数根,得0,且a-10,即=(-2)2-8(a-1)=12-8a0,a1,解不 等式得到a的取值范围,最后确定a的最大整数值. 2.(2020淄博高青一模,5)已知a,b是方程x2+(m+2)x+1=0的两根,则(a2+ma+1)(b2+mb+1)的值为( ) A.4 B.1 C.-1 D.与m有关,无法确定 答案答案 A 把x=a代入方程x2+(m
27、+2)x+1=0中, 得a2+a(m+2)+1=0, 整理得a2+ma+1=-2a, 把x=b代入方程x2+(m+2)x+1=0中, 得b2+b(m+2)+1=0, 整理得b2+mb+1=-2b, 即(a2+ma+1)(b2+mb+1)=(-2a) (-2b)=4ab, a,b是方程x2+(m+2)x+1=0的两根, ab=1, 则(a2+ma+1)(b2+mb+1)=4. 3.(2018济南市中区二模,10)如果关于x的方程(m-1)x2+x+1=0有实数根,那么m的取值范围是( ) A.m B.m0, 解得m0,建立关于m的不等式, 求出m的取值范围. (2)根据x1是方程的实数根,根与系
28、数的关系,知x1x2=m-1,-2x1+m-1=0,结合+x1x2=1即可. 2 1 x 2 1 x 8.(2020临沂蒙阴一模,23)为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从2016年年底到2018年年底两年 内由5万册增加到7.2万册. (1)求这两年藏书的年均增长率; (2)经统计知:中外古典名著的册数在2016年年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中, 中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到2018年年底中外古典名著的册 数占藏书总量的百分之几? 解析解析 (1)设这两年藏书的年均增长率是x,由题意,得5(1+x)2=7.2,(3分) 解得x1
29、=0.2=20%,x2=-2.2(舍去). 答:这两年藏书的年均增长率是20%.(5分) (2)在这两年新增加的图书中,中外古典名著有(7.2-5)20%=0.44(万册),(7分) 到2018年年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是100%=10%. 答:到2018年年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.(9分) 5 5.6%0.44 7.2 9.(2020德州宁津一模,22)2018年非洲猪瘟疫情暴发后,2019年猪肉价格不断走高,引起了民众与政府的 高度关注,据统计:2019年7月20日猪肉价格比2019年年初上涨了60%,某市民2019年7月20日在某超市购 买1千克猪肉花了8
30、0元钱. (1)2019年年初猪肉的价格为每千克多少元? (2)某超市将进货价为每千克65元的猪肉,按7月20日价格出售,平均一天能销售出100千克,经调查表明: 猪肉1千克的售价每下降1元,猪肉日销售量就增加10千克.超市为了实现销售猪肉每天有1 560元的利润, 并且尽可能让顾客得到实惠,每千克猪肉的售价应该下降多少元? 解析解析 (1)设2019年年初猪肉的价格为每千克x元, 依题意,得(1+60%)x=80, 解得x=50. 答:2019年年初猪肉的价格为每千克50元. (2)设每千克猪肉的售价下降y元,则每日可售出(100+10y)千克猪肉, 依题意,得(80-65-y)(100+1
31、0y)=1 560, 整理,得y2-5y+6=0, 解得y1=2,y2=3. 尽可能让顾客得到实惠,y=3. 答:每千克猪肉的售价应该下降3元. 思路分析思路分析 (1)设2019年年初猪肉的价格为每千克x元,根据2019年7月20日猪肉的价格=2019年年初猪肉 的价格(1+上涨率),即可得出关于x的一元一次方程,解之即可; (2)设每千克猪肉的售价下降y元,则每日可售出(100+10y)千克猪肉,根据总利润=每千克的利润销售数 量,即可得出关于y的一元二次方程,解之取较大值即可得出结论. 10.(2019淄博博山二模,22)关于x的方程2x2-5xsin A+2=0有两个相等的实数根,其中
32、A是锐角三角形 ABC的一个内角. (1)求sin A的值; (2) 若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是ABC的两边长,求ABC的周长. 解析解析 (1)关于x的方程2x2-5xsin A+2=0有两个相等的实数根, =(-5sin A)2-422=0, sin A=, 又A是锐角三角形ABC的一个内角, sin A=. (2)关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个根, =(-10)2-4(k2-4k+29)=-4k2+16k-16=-4(k2-4k+4)=-4(k-2)20, 又-4(k-2)20, -4(k-2)2=0,解得k=2, 原一元二次方程
33、有两个相等的实数根. 4 5 4 5 此时,方程为y2-10y+25=0,解得y1=y2=5. y2-10y+25=0的两个根恰好是ABC的两边长, ABC是以5为腰长的等腰三角形. 当A是等腰ABC的底角时,如图,作CDAB,垂足为D, sin A=,CA=CB=5, sin A=, 4 5 CD AC5 CD4 5 CD=4, AD=3,AB=6, ABC的周长为5+5+6=16; 当A是等腰ABC的顶角时,如图,作CDAB,垂足为D, sin A=,AB=AC=5, sin A=, CD=4, 22 54 4 5 CD AC5 CD4 5 AD=3,BD=5-3=2, BC=2, ABC的周长为5+5+2=10+2. 综上,ABC的周长为16或10+2. 22 54 22 24205 55 5
