1、 中考数学 （江苏专用） 3.3 反比例函数 考点1 反比例函数的图象与性质 A组 20162020年江苏中考题组 1.(2019徐州,7,3分)若A(x1,y1),B(x2,y2)都在函数y=的图象上,且x10x2,则( ) A.y1y2 D.y1=-y2 2 019 x 答案答案 A 根据反比例函数(k0)图象的性质可以得到. 2.(2020无锡,8,3分)反比例函数y=与一次函数y=x+的图象有一个交点B,则k的值为( ) A.1 B.2 C. D. k x 8 15 16 15 1 , 2 m 2 3 4 3 答案答案 C 点B是一次函数y=x+与反比例函数y=的图象的交点, 把点B的
2、坐标代入y=x+,可得m=, B,k=.故选C. 1 , 2 m 8 15 16 15 k x 8 15 16 15 4 3 1 4 , 2 3 1 2 4 3 2 3 解题关键解题关键 本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题,将交点坐标代入两个函数关系式是解 题的关键. 3.(2019扬州,8,3分)若反比例函数y=-的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-x+m 的图象上,则m的取值范围是( ) A.m2 B.m2或m-2 D.-2m0,m2或m0,x0)的图象经过C、D两点.已知平行四边形OABC的面积是,则点B的坐标为( ) A. B. C. D. k x 15
3、2 8 4, 3 9 ,3 2 10 5, 3 24 16 , 55 答案答案 B 如图,分别过点D、B作DEx轴于点E,BFx轴于点F,延长BC交y轴于点H, 反比例函数y=(k0,x0)的图象经过D(3,2), k=23=6,即反比例函数解析式为y=. DEBF, ODEOBF, k x 6 x =,=, 2OF=3BF,设B(3a,2a)(a0), 平行四边形OABC的面积是, OA 2a=, OA=BC, 点C的坐标为, 则2a=6, 解得a1=,a2=-(舍去), DE OE BF OF BF OF 2 3 15 2 15 2 15 4a 15 3 -,2 4 aa a 15 3 -
4、 4 a a 3 2 3 2 点B的坐标为,故选B. 9 ,3 2 6.(2018苏州,10,3分)如图,矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上,反比例函数y=在第一象限内的图象 经过点D,交BC于点E,若AB=4,CE=2BE,tanAOD=,则k的值为( ) A.3 B.2 C.6 D.12 k x 3 4 3 答案答案 A 在矩形ABCD中,AD=BC,DAB=90, OAD=90,tanAOD=, 可设AD=3a,OA=4a(a0), D(4a,3a),BC=3a, CE=2BE,BE=a, AB=4,E(4a+4,a), D、E在反比例函数y=的图象上, 4a 3a=(4a+4)
5、a, 整理得8a2-4a=0, 解得a1=0(舍),a2=, D,k=2=3. 3 4 k x 1 2 3 2, 2 3 2 解题关键解题关键 本题主要考查反比例函数的图象和性质,属于反比例函数综合题,涉及的知识点有:待定系数 法确定反比例函数解析式,矩形的性质,锐角三角函数等.熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 7.(2020泰州,16,3分)如图,点P在反比例函数y=的图象上,且横坐标为1,过点P作两条坐标轴的平行线,与 反比例函数y=(k0)的图象相交于点A、B,则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为 . 3 x k x 答案答案 3 解析解析 点P在反比例函数y=的图象上且横坐标为1,点P
6、的坐标为(1,3), 如图,APx轴,BPy轴, 点A、B在反比例函数y=(k0)的图象上, 点A的坐标为,点B的坐标为(1,k), 3 x k x ,3 3 k 直线AB与x轴所夹锐角的正切值为tanPAB=3. 3- 1- 3 k k 解题关键解题关键 本题考查了锐角三角函数的正切值,解题的关键是根据两反比例函数图象上点的坐标之间 的关系确定相应点的坐标,即可求解. 8.(2017扬州,17,3分)如图,已知点A是反比例函数y=-(x0) 2 x 解析解析 设A(a,b),线段OA绕点O顺时针旋转90得到线段OB,B(b,-a), 点A在反比例函数y=-(x0). 2 x 2 x 思路分析
7、思路分析 设A点坐标,根据旋转的性质,得到B点的坐标,从而得到点B所在图象的函数表达式. 解题关键解题关键 解本题的关键是求出B点的坐标.x 9.(2017南京,16,2分)函数y1=x与y2=的图象如图所示,下列关于函数y=y1+y2的结论:函数的图象关于原 点中心对称;当x0时,函数图象的最低点的坐标是(2,4).其中所有正确 结论的序号是 . 4 x 答案答案 解析解析 y=y1+y2,y=x+. 若点(a,b)在函数y=x+的图象上,则b=a+. 当x=-a时,y=-a-=-=-b, 点(-a,-b)在函数y=x+的图象上. 函数y=x+的图象关于原点中心对称,故正确. 当0x2时,随
8、着x的增大,y1增大,y2减小,y的变化不能确定;当x0时,y=x+=+2 4 x 4 x 4 a 4 a 4 a a 4 x 4 x 4 x 2 4 -x x x 4 x =+4, 当=,即x=2时,y取得最小值,ymin=4. 函数图象的最低点的坐标是(2,4).故正确. 2 4 -x x x 4 x 解后反思解后反思 (1)函数图象关于某点中心对称,其实质是图象上的点关于某点中心对称,所以判断函数图象 关于某点中心对称时,只需在图象上任取一点,证明该点关于对称中心对称的点也在该函数的图象上即 可; (2)函数图象的最低点就是函数取得最小值的点,将问题转化为求函数最值即可. 10.(202
9、0南京,20,8分)已知反比例函数y=的图象经过点(-2,-1). (1)求k的值; (2)完成下面的解答. 解不等式组 解:解不等式,得 . 根据函数y=的图象,得不等式的解集为 . 把不等式和的解集在数轴上表示出来. 从图中可以找出两个不等式解集的公共部分,得不等式组的解集为 . k x 2-1, 1. x k x k x 解析解析 (1)因为点(-2,-1)在反比例函数y=的图象上,所以-1=,解得k=2. (2)x1. 0x2. 0x0)图象上的一点,在x轴正半轴上有一点B,OB=4.连 接OA,AB,且OA=AB=2. (1)求k的值; (2)过点B作BCOB,交反比例函数y=(其中
10、x0)的图象于点C,连接OC交AB于点D,求的值. k x 10 k x AD DB 解析解析 (1)过点A作AEOB于E. OA=AB=2,OB=4,OE=BE=OB=2, 在RtOAE中,AE=6, 点A的坐标为(2,6). 点A是反比例函数y=图象上的点, 6=,解得k=12. 10 1 2 22 -OA OE 22 (2 10) -2 k x 2 k (2)记AE与OC的交点为F. OB=4且BCOB,点C的横坐标为4. 又点C为反比例函数y=图象上的点, 点C的坐标为(4,3),BC=3. 设直线OC的表达式为y=mx,m0,将C(4,3)代入可得m=,直线OC的表达式为y=x. A
11、EOB,OE=2,点F的横坐标为2, 12 x 3 4 3 4 将x=2代入y=x可得y=,即EF=. AF=AE-EF=6-=. AE,BC都与x轴垂直,AEBC, AFD=BCD,FAD=CBD, ADFBDC, =. 3 4 3 2 3 2 3 2 9 2 AD DB AF BC 3 2 12.(2019泰州,26,14分)已知一次函数y1=kx+n(k0,n0,x0). (1)如图1,若n=-2,且函数y1、y2的图象都经过点A(3,4). 求m,k的值; 直接写出当y1y2时x的范围; (2)如图2,过点P(1,0)作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B,与反比例函数y3=(x0
12、)的图象相交于点 C. 若k=2,直线l与函数y1的图象相交点D.当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时,求m-n的值; 过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E.当m-n的值取不大于1的任意实数时,点B、C间的距 离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值.求此时k的值及定值d. m x n x 解析解析 (1)将点A的坐标代入一次函数表达式,解得k=2, 将点A的坐标代入反比例函数表达式,得m=34=12. 由题中图象可以看出x3时,y1y2. (2)由题意得,点D、B、C的坐标分别为(1,2+n)、(1,m)、(1,n). 当点B,C,D中的一点到另外两点的距离相等时,有BD=
13、BC或BD=DC两种情况. 当BD=BC时,BD=2+n-m,BC=m-n, 则2+n-m=m-n,故m-n=1. 当BD=DC时,BD=m-n-2,DC=2,则m-n=4. 综上,m-n=4或m-n=1. 易知点E的坐标为, d=BC+BE=m-n+=1+(m-n), 当1-=0时,d为定值, - , m n m k - 1- m n k 1 1- k 1 k 此时k=1,d=1. 思路分析思路分析 (1)将点A的坐标代入一次函数表达式,解得k=2,将点A的坐标代入反比例函数表达式,得m= 12;由图象可以直接看出; (2)根据点D的位置分类讨论;点E的坐标为,d=BC+BE=m-n+=1+
14、(m-n),即可求 解. - , m n m k - 1- m n k 1 1- k 评析评析 本题为反比例函数综合运用题,涉及一次函数、反比例函数、定值等,关键是通过确定点的坐标, 求出对应线段的长度,进而求解. 考点2 反比例函数的应用 1.(2017连云港,15,3分)设函数y=与y=-2x-6的图象的交点坐标为(a,b),则+的值是 . 3 x 1 a 2 b 答案答案 -2 解析解析 将x=a,y=b代入反比例函数解析式得b=,得ab=3,将x=a,y=b代入一次函数解析式得b=-2a-6,即2a +b=-6, +=-2. 3 a 1 a 2 b 2ab ab -6 3 2.(201
15、7盐城,16,3分)如图,曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45得到的, 过点A(-4,4),B(2,2)的直线与曲线l相交于点M、N,则OMN的面积为 . 6 x 2222 答案答案 8 解析解析 连接OA、OB, A(-4,4),B(2,2),OAOB, 建立如图所示的新的坐标系(OB所在直线为x轴,OA所在直线为y轴). 在新的坐标系中,A(0,8),B(4,0), 直线AB的解析式为y=-2x+8, 又BOx=yOA=45, 故新坐标系可由原坐标系绕点O逆时针旋转45得到, 2222 曲线l在新坐标系下的表达式为y=, 由解得或 在新坐标系中,M(1,6),N(
16、3,2), SOMN=SOBM-SOBN=46-42=8. 6 x -2 8, 6 , yx y x 1, 6 x y 3, 2, x y 1 2 1 2 3.(2016苏州,25,8分)如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y=(x0)的图象交于点 B(2,n),过点B作BCx轴于点C.点P(3n-4,1)是该反比例函数图象上的一点,且PBC=ABC.求反比例函 数和一次函数的表达式. m x 解析解析 点B(2,n)、P(3n-4,1)在反比例函数y=(x0)的图象上, 反比例函数的表达式为y=(x0). 过点P作PDBC于点D,并延长交AB于点P, 已知PBC=AB
17、C,易得BDPBDP. m x 2, 3 -4, nm nm 8, 4. m n 8 x 可得B(2,4),P(8,1),PD=PD=8-2=6. PPx轴,点P的坐标为(-4,1). 点B(2,4)、P(-4,1)在一次函数y=kx+b的图象上, 一次函数的表达式为y=x+3. 42, 1-4, kb kb 1 , 2 3. k b 1 2 思路分析思路分析 由B、P都在双曲线上,可求得反比例函数表达式,再确定B、P的坐标,由PBC=ABC构造 全等三角形,确定P关于BC所在直线的对称点P的坐标,从而确定一次函数表达式. 一题多解一题多解 点B(2,n)、P(3n-4,1)在反比例函数y=(
18、x0)的图象上, 反比例函数的表达式为y=(x0). 过点P作PDBC于点D. 已知PBC=ABC, m x 2, 3 -4, nm nm 8, 4. m n 8 x 易得BDPBCA,又BD=3,DP=6,BC=4,AC=8. 点A的坐标为(-6,0), 点B(2,4)、A(-6,0)在一次函数y=kx+b的图象上, 一次函数的表达式为y=x+3. 42, 0-6, kb kb 1 , 2 3. k b 1 2 评析评析 本题考查用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式.运用三角形全等或相似确定函数图 象上点的坐标是解答本题的关键. 4.(2016连云港,24,10分)环保局对某企业排污情
19、况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即 硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整 改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示.其中线段AB表示前3天的 变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系. (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式; (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L?为什么? 解析解析 (1)当0 x3时,设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b(k0).(1分) 把A(0,10)、B(
20、3,4)代入得 解得(3分) 所以y=-2x+10.(4分) 当x3时,设y=(m0).(5分) 把B(3,4)代入得=4.m=12.y=.(6分) 综上所述,y=(7分) (2)能.令y=1,则x=12y2,则x的取值范围是 ( ) A.x-2或0x1 B.x1 C.-2x0或0x1 D.-2x1 2 x 答案答案 D 当y1y2时,函数y1=x+1的图象在函数y2=图象的上方,由题图可知x的取值范围是-2x 1,故选D. 2 x 方法总结方法总结 解决这类题的方法就是数形结合,抓住两个图象的交点的横坐标. 2.(2018天津,9,3分)若点A(x1,-6),B(x2,-2),C(x3,2)
21、在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是( ) A.x1x2x3 B.x2x1x3 C.x2x3x1 D.x3x20,此函数的图象在一、三象限.在每一象限内,y随x的增大而减 小,-6-202,x2x10,x0)的图象经过AE上的两点A,F,且AF=EF, ABE的面积为18,则k的值为( ) A.6 B.12 C.18 D.24 k x 答案答案 B 连接BD,AD平分OAE,OAD=EAD,四边形ABCD是矩形,OA=OD,ODA= OAD,ODA=EAD,BDAE,AOE与ABE的面积相等,为18,又AF=EF,OEF的面积为 9,设F,F为AE的中点且A点在反比例函数y
22、=(k0,x0)的图象上,A,过A作AMx轴交 于M,过F作FNx轴交于N,则OM=,MN=,又AF=EF,MN=NE,OFN的面积为OEF面积的, 为6,k=2SOFN=12. , k a a k x 2 , 2 ak a 2 a 2 a 2 3 4.(2019重庆A卷,9,4分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线BD x轴,反比例函数y=(k0,x0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D(0,4),则k的值为( ) A.16 B.20 C.32 D.40 k x 答案答案 B 点D(0,4),DBx轴, 点B的纵坐标为4,设点B的坐标
23、为(a,4). 由点A(2,0),点D(0,4)可知OA=2,OD=4, AD=,AB=,DB=a. 四边形ABCD是矩形,DAB=90. 在RtDAB中,DA2+AB2=DB2, ()2+2=a2,解得a=10. 点B的坐标为(10,4). 四边形ABCD是矩形, 点E为DB的中点. 点E的坐标为(5,4). 将点E(5,4)代入y=中,得k=20,故选B. 22 2420 22 ( -2)4a 20 22 ( -2)4a k x 思路分析思路分析 由DBx轴,可得点B的纵坐标和点D的纵坐标相同,故可设点B(a,4).在RtDAB中,可用勾股 定理列出关于a的方程,解得a的值.由于点E为DB
24、的中点,故可求出点E的坐标,将点E的坐标代入y=中, 便可求出k的值. k x 5.(2017新疆乌鲁木齐,10,4分)如图,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y=上,点C,D分别是x轴,y轴上的动点,则 四边形ABCD周长的最小值为( ) A.5 B.6 C.2+2 D.8 3 x 22 1022 答案答案 B 把点A,B的坐标分别代入y=,得a=1,b=3,A(1,3),B(3,1). 如图,作点A关于y轴的对称点A,则点A的坐标为(-1,3),作点B关于x轴的对称点B,则点B的坐标为(3,-1), 连接AB交y轴于点D,交x轴于点C,连接AD,BC,此时四边形ABCD的周长最小. 易
25、证DA=DA,CB=CB.又AB=4,AB=2,四边形ABCD周长的最 小值为AB+AB=6.故选B. 3 x 22 (-1-3)(3 1)2 22 (1-3)(3-1)2 2 6.(2020山东青岛,11,3分)如图,点A是反比例函数y=(x0)图象上的一点,AB垂直于x轴,垂足为B,OAB 的面积为6.若点P(a,7)也在此函数的图象上,则a= . k x 答案答案 12 7 解析解析 由题图得k0.由OAB的面积为6,得=6,k=12(舍去负值),反比例函数的解析式为y=. 点P(a,7)也在此函数的图象上,7=,a=. | | 2 k12 x 12 a 12 7 方法规律方法规律 在反
26、比例函数y=的图象上任取一点,过这个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩 形的面积是定值|k|.在反比例函数y=的图象上任取一点向一条坐标轴作垂线,以这一点和垂足以及坐 标原点为顶点所构成的三角形的面积是|k|. k x k x 1 2 7.(2020四川南充,21,10分)如图,反比例函数y=(k0,x0)的图象与y=2x的图象相交于点C,过直线上点 A(a,8)作ABy轴交于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=4BD. (1)求反比例函数的解析式; (2)求四边形OCDB的面积. k x 解析解析 (1)由点A(a,8)在y=2x的图象上,得a=4, A(4,8).(1分) ABy
27、轴,与反比例函数图象交于点D,且AB=4BD, BD=1,即D(1,8).(3分) k=8,反比例函数的解析式为y=.(5分) (2)C是直线y=2x与反比例函数y=(x0)图象的交点, 2x=,又x0,x=2,则C(2,4).(7分) SABO=48=16,(8分) SADC=34=6,(9分) S四边形OCDB=SABO-SADC=10.(10分) 8 x 8 x 8 x 1 2 1 2 1.(2016江西,11,3分)如图,直线lx轴于点P,且与反比例函数y1=(x0)及y2=(x0)的图象分别交于 点A,B,连接OA,OB,已知OAB的面积为2,则k1-k2= . 1 k x 2 k
28、x 考点2 反比例函数的应用 答案答案 4 解析解析 由题图易知k10,k20, A,B分别在反比例函数y1=(x0),y2=(x0)的图象上,且APx轴,SAOP=k1,SBOP=k2. SAOB=SAOP-SBOP,k1-k2=2,k1-k2=4. 1 k x 2 k x 1 2 1 2 1 2 1 2 2.(2018内蒙古包头,19,3分)以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,以平行于两边的直线为坐标 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BEAC,垂足为E.若双曲线y=(x0)经过点D,则OB BE的值为 . 3 2x 答案答案 3 解析解析 根据题意得,矩形ABCD的顶点B在双曲线
29、y=上,顶点A,C在双曲线y=-上. 设AB与x轴交于点M,BC与y轴交于点N, 则SAMO=SCNO=,S矩形BMON=, SABC=3.OB=BD=AC,BEAC, SABC=BE AC=BE 2OB=3, 即OB BE=3. 3 2x 3 2x 3 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 解后反思解后反思 本题主要考查矩形的性质,反比例函数中比例系数k的几何意义.要根据k的几何意义求得S ABC,SABC可以表示为 BE AC,又因为OB=AC,进而求得OB BE的值. 1 2 1 2 3.(2019浙江杭州,20,10分)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,
30、设小汽车的行 驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/小时),且全程速度限定为不超过120千米/小时. (1)求v关于t的函数表达式; (2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发. 方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地,求小汽车行驶速度v的范围; 方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由. 解析解析 (1)根据题意,得vt=480, 所以v=. 因为4800, 所以当00, 所以v, 所以80v100. 方方不能在11点30分前到达B地.理由如下: 若方方在11点30分前到达B地,则t120, 所以方方不能在11点30分前到达B地. 480 3.5
31、 C组 教师专用题组 考点1 反比例函数的图象与性质 1.(2016连云港,6,3分)姜老师给出一个函数表达式,甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一 个性质.甲:函数图象经过第一象限;乙:函数图象经过第三象限;丙:在每一个象限内,y值随x值的增大而减 小.根据他们的叙述,姜老师给出的这个函数表达式可能是( ) A.y=3x B.y= C.y=- D.y=x2 3 x 1 x 答案答案 B y=的图象经过第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小.所以选B. 3 x 2.(2018扬州,5,3分)已知点A(x1,3),B(x2,6)都在反比例函数y=-的图象上,则下列关系式一定正确
32、的是 ( ) A.x1x20 B.x10x2 C.x2x10 D.x20x1 3 x 答案答案 A 由题意,得k=-3,图象位于第二、四象限, 在每个象限内,y随x的增大而增大, 036,x1x20,故选A. 3.(2017山东潍坊,8,3分)一次函数y=ax+b与反比例函数y=,其中ab0,a、b为常数,它们在同一坐标系 中的图象可以是 ( ) -a b x 答案答案 C ab0,bb,由反比例函数的图象可 知a-b0,即ab,矛盾,故A不符合题意;选项B中,由一次函数的图象可知a0,则a0,即ab,矛盾,故B不符合题意;选项C中,由一次函数的图象可知a0,bb,由反比例 函数的图象可知a-
33、b0,即ab,故C符合题意;选项D中,由一次函数的图象可知a0,b0,这与题设 矛盾,故D不符合题意. 方法规律方法规律 一次函数y=kx+b(k,b为常数,k0)的基本性质:当k0,b0时,函数的图象经过第一、二、三象 限;当k0,b0时,函数的图象经过第一、三、四象限;当k0时,函数的图象经过第一、二、四象限;当 k0,b0时,图象 分别位于第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当k的解集为 . m x m x 答案答案 -6x2 解析解析 观察题中函数图象,当-6x2时,直线y=kx+b(k0)的图象在反比例函数y=(m0)的图象 的上方,所以当kx+b时,x的取值范围是-6
34、x2. m x m x 评析评析 本题考查了反比例函数与一次函数的图象,观察图象,写出不等式的解集. 5.(2020黑龙江齐齐哈尔,16,3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB在y轴上,点C坐标为(2,-2), 并且AOBO=12,点D在函数y=(x0)的图象上,则k的值为 . k x 答案答案 2 解析解析 由矩形的性质知AD=BC,BCAB,ADy轴,由C(2,-2)可得OB=2,BC=AD=2,所以AO=OB=1,所以 D点的坐标为(2,1),将D点坐标代入y=中,得k=21=2. 1 2 k x 6.(2019陕西,13,3分)如图,D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4
35、),B(6,0).若一个反比例函数的图象经过点D,交 AC于点M,则点M的坐标为 . 答案答案 3 ,4 2 解析解析 点D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0),点D是AB的中点,点D的坐标为(3,2),设反比例 函数解析式为y=(k0),把(3,2)代入得k=6.点M的纵坐标与点A的纵坐标相同,为4,令4=,得x=,点M 的坐标为. k x 6 x 3 2 3 ,4 2 思路分析思路分析 首先根据矩形的对称性求出点D的坐标为(3,2),进而求出反比例函数解析式,最后根据点M的 纵坐标与点A的纵坐标相同,求出点M的坐标. 方法指导方法指导 解答反比例函数与几何图形相结合问题的常
36、用方法是由点的坐标求相关线段的长度,根据 相关线段的长度求点的坐标. 7.(2019北京,13,2分)在平面直角坐标系xOy中,点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y=上,点A关于x轴的对称点B 在双曲线y=上,则k1+k2的值为 . 1 k x 2 k x 答案答案 0 解析解析 点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y=上,k1=ab.点B与点A关于x轴对称,点B坐标为(a,-b),同理 有k2=-ab.k1+k2=0. 1 k x 8.(2020江西,18,8分)如图,RtABC中,ACB=90,顶点A,B都在反比例函数y=(x0)的图象上,直线AC x轴,垂足为D,连接OA,OC,并延长
37、OC交AB于点E,当AB=2OA时,点E恰为AB的中点,若AOD=45,OA=2 . (1)求反比例函数的解析式; (2)求EOD的度数. k x 2 解析解析 (1)ADx轴,AOD=45,OA=2, AD=OD=2. A(2,2). 点A在反比例函数图象上, k=22=4. y=. (2)ABC为直角三角形,点E为AB的中点, AE=CE=EB,AEC=2ECB. AB=2OA, AO=AE. AOE=AEO=2ECB. ACB=90,ADx轴, BCx轴. 2 4 x ECB=EOD. AOE=2EOD. AOD=45, EOD=AOD=45=15. 1 3 1 3 思路分析思路分析 (
38、1)由已知易推出AOD是等腰直角三角形,而斜边OA=2,从而可求点A的坐标,代入反比 例函数解析式求出k;(2)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得ACE、BCE都是等腰三角 形,再根据AB=2OA可推出AO=AE,由已知易推出BCx轴,然后根据平行线及三角形外角的性质可推出 AOE=2EOD,问题解决. 2 9.(2019常州,25,8分)如图,在OABC中,OA=2,AOC=45,点C在y轴上,点D是BC的中点,反比例函数y =(x0)的图象经过点A、D. (1)求k的值; (2)求点D的坐标. 2 k x 解析解析 (1)OA=2,AOC=45, A(2,2),k=4. (2)四边
39、形OABC是平行四边形, OCAB,ABx轴, 点B的横坐标为2, 点D是BC的中点, 点D的横坐标为1, 又点D在y=的图象上,D(1,4). 2 4 x 考点2 反比例函数的应用 1.(2016镇江,25,7分)如图1,一次函数y=kx-3(k0)的图象与y轴交于点A,与反比例函数y=(x0)的图象交 于点B(4,b). (1)b= ,k= ; (2)点C是线段AB上的动点(与点A、B不重合),过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例函数的图象于点 D,求OCD面积的最大值; (3)将(2)中面积取得最大值的OCD沿射线AB方向平移一定的距离,得到OCD.若点O的对应点O落 在该反比例函数图
40、象上(如图2),则点D的坐标是 . 4 x 解析解析 (1)1;1.(2分) (2)设点C的坐标为(m,m-3),0m4, 则点D的坐标为,(3分) 则SOCD=m,(4分) SOCD=-+. 0m0)与直线AB相交于点M,与反比例函数y=的图象相交于点N,若MN=4,求m的值; (3)直接写出不等式x的解集. k x k x 6 -5x 解析解析 (1)点A(-3,a)在直线y=2x+4上, a=2(-3)+4=-2. 点A(-3,-2)在y=的图象上,k=6. (2)点M是直线y=m与直线AB的交点, M.点N是直线y=m与反比例函数y=的图象的交点,N. MN=xN-xM=-=4或MN=
41、xM-xN=-=4. 解得m=2或m=-6或m=64, m0,m=2或m=6+4. (3)x-1或5x0求出m的值; (3)求出函数y=x的图象和函数y=的图象的交点横坐标,借助图象求出x的解集. k x 6 -5x 6 -5x A组 20182020年模拟基础题组 时间:35分钟 分值:50分 一、选择题(每小题3分,共9分) 1.(2019南京联合体一模,4)已知反比例函数y=的图象经过点(1,3),若x-3 B.y3 C.-3y0 D.0y3 k x 答案答案 C 反比例函数y=的图象经过点(1,3), 3=,得k=3,反比例函数的解析式为y=, 在每个象限内,y随x的增大而减小. 当x
42、=-1时,y=-3, 当x-3, 又x-1时,反比例函数的图象在第三象限, y0,当x-1时,y的取值范围是-3y0,则k=6.故选D. 1 2 解题方法解题方法 本题主要考查了反比例函数y=(k0)中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴或y轴 的垂线,连接该点与原点,所得三角形面积为|k|.这里体现了数形结合的思想. k x 1 2 3.(2020南京浦口二模,6)如图,点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(0,6),C为OB的中点,将ABC绕点B逆时 针旋转90后得到ABC.若反比例函数y=的图象恰好经过AB的中点D,则k的值是( ) A.9 B.12 C.15 D.18 k x 答
43、案答案 C 过点A作AHy轴于H, AOB=AHB=ABA=90, ABO+ABH=90,ABO+BAO=90, BAO=ABH, BA=BA,AOBBHA(AAS), OA=BH,OB=AH, 点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(0,6), OA=2,OB=6,BH=OA=2,AH=OB=6, OH=4,A(6,4),BD=AD,D(3,5), 反比例函数y=的图象经过点D, k=15.故选C. k x 解题技巧解题技巧 本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征,坐标与图形的变换,旋转等知识,解题的关键是 根据旋转变换,添加辅助线,构造全等三角形求出D点的坐标. 二、填空题(共3分) 4.
44、(2020扬州江都二模,14)若双曲线y=与直线y=-3x无交点,则k的取值范围是 . -1k x 答案答案 k1 解析解析 双曲线y=与直线y=-3x无交点, k-1与-3异号,k-10,k1. -1k x 三、解答题(共38分) 5.(2020盐城响水一模,25)如图,点A(m,6),B(6,1)在反比例函数图象上,作直线AB分别交坐标轴于点M、N, 连接OA、OB. (1)求反比例函数的表达式和m的值; (2)求AOB的面积; (3)设点C是线段AB上的动点(不与点A、B重合),过点C且平行于y轴的直线l与反比例函数的图象交于点 D,求OCD面积的最大值. 解析解析 (1)设反比例函数的
45、表达式为y=(k0), B(6,1)在反比例函数的图象上,k=61=6,反比例函数的表达式为y=.(2分) 将(m,6)代入y=得m=1.(3分) (2)可求得直线AB对应的函数表达式为y=-x+7,点M(7,0), SOAB=SOAM-SOBM=76-71=.(6分) (3)如图,因为点C、D分别在直线AB和反比例函数的图象上,且CD平行于y轴, 所以设C(n,-n+7),D, 所以CD=-n+7-, 所以SOCD=n=-n2+n-3,(8分) k x 6 x 6 x 1 2 1 2 35 2 6 , n n 6 n 1 2 6 -7-n n 1 2 7 2 所以当n=时,SOCD有最大值,
46、为.(10分) 7 2 25 8 6.(2018徐州一模,25)某化工车间发生有害气体泄漏,自泄漏开始到完全控制用了40 min,之后将对泄漏有 害气体进行清理,线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(0 x40),反比例函数y=对应的曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x (min)之间的函数关系(40 x?).根据图象解答下列问题: (1)危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是 ; (2)求反比例函数y=的表达式,并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应的x的值. k x k x 解析解析 (1)当0 x40时,设y与
47、x之间的函数关系式为y=ax+b(a0), 由题意知解得y=1.5x+20, 当x=0时,y=1.50+20=20. 故答案为20. (2)将x=40代入y=1.5x+20,得y=80, 点E(40,80), 点E在反比例函数y=的图象上, 80=,k=3 200, 故反比例函数表达式为y=, 当y=20时,20=,得x=160. 1035, 3065, ab ab 1.5, 20. a b k x 40 k 3 200 x 3 200 x 即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应的x的值是160. 7.(2019盐城滨海一模)如图,在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,
