1、 中考数学 3.2 一次函数 考点一 一次函数的图象与性质 1.(2019陕西,4,3分)若正比例函数y=-2x的图象经过点(a-1,4),则a的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案答案 A 把(a-1,4)代入y=-2x,得-2(a-1)=4,解得a=-1,故选A. 2.(2018辽宁沈阳,8,2分)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k和b的取值范围是 ( ) A.k0,b0 B.k0,b0 C.k0 D.k0,b0 答案答案 C 由图象得,y随x的增大而减小,所以k0. 3.(2020四川成都,12,4分)一次函数y=(2m-1)x+2的值随x值的增大
2、而增大,则常数m的取值范围为 . 答案答案 m 1 2 解析解析 y=(2m-1)x+2的值随x值的增大而增大, 2m-10,解得m. 1 2 4.(2020天津,16,3分)将直线y=-2x向上平移1个单位长度,平移后直线的解析式为 . 答案答案 y=-2x+1 解析解析 由“上加下减”的原则可知,将直线y=-2x向上平移1个单位长度所得直线的解析式为y=-2x+1. 解题技巧解题技巧 本题考查了一次函数图象的平移变换:一次函数y=kx+b(k0)图象的平移遵循“上加下减, 左加右减”的原则:上下平移操作“b”,左右平移操作“x”.例如:对于一次函数y=kx+b(k0),若函数图 象向上平移
3、m(m0)个单位长度,则平移后得到的直线解析式为y=kx+b+m(k0);若函数图象向下平移m (m0)个单位长度,则平移后得到的直线解析式为y=kx+b-m(k0);若函数图象向左平移m(m0)个单位长 度,则平移后得到的直线解析式为y=k(x+m)+b(k0);若函数图象向右平移m(m0)个单位长度,则平移后 得到的直线解析式为y=k(x-m)+b(k0). 5.(2019天津,16,3分)直线y=2x-1与x轴交点坐标为 . 答案答案 1 ,0 2 解析解析 令y=0,得x=,所以直线y=2x-1与x轴交点坐标为. 1 2 1 ,0 2 6.(2019四川成都,13,4分)已知一次函数y
4、=(k-3)x+1的图象经过第一、二、四象限,则k的取值范围是 . 答案答案 k3 解析解析 由题意得k-30,所以k3. 7.(2019江西,17,6分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为,连接AB,以AB为边向 上作等边三角形ABC. (1)求点C的坐标; (2)求线段BC所在直线的解析式. 3 -,0 2 3 ,1 2 解析解析 (1)过点B作BDx轴于点D,则ADB=90. A,B, DA=,DB=1.AB=2. sinBAD=,BAD=30. ABC为等边三角形,AC=AB=2,BAC=60. CAD=90.点C的坐标为. 3 -,0 2 3 ,1 2 3 1 2 3 -
5、,2 2 (2)设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,k0. 将,代入,得 解得 线段BC所在直线的解析式为y=-x+. 3 ,1 2 3 -,2 2 3 1, 2 3 -2. 2 kb kb 3 -, 3 3 . 2 k b 3 3 3 2 考点二 一次函数与方程、不等式之间的联系 1.(2020浙江杭州,6,3分)在平面直角坐标系中,已知函数y=ax+a(a0)的图象经过点P(1,2),则该函数的图 象可能是( ) 答案答案 A 函数y=ax+a(a0)的图象经过点P(1,2),2=a+a,解得a=1,y=x+1,直线交y轴于正半轴, 且经过点(1,2).故选A. 2.(2020陕西,
6、7,3分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B, 则AOB的面积为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案答案 B 在y=x+3中,令y=0,可得x=-3,则A(-3,0). 联立可得B(-1,2). SAOB=23=3.故选B. 3, -2 , yx yx -1, 2. x y 1 2 3.(2020江苏苏州,12,3分)若一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点(m,0),则m= . 答案答案 2 解析解析 由题意得,3m-6=0,解得m=2. 4.(2019贵州贵阳,12,4分)在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x
7、+b2的图象如图所示,则关于x,y的 方程组的解是 . 11 22 -, - y k xb y k xb 答案答案 2 1 x y 解析解析 由题图知一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象的交点坐标为(2,1), 关于x,y的方程组的解是 11 22 -, - y k xb y k xb 2, 1. x y 5.(2019重庆A卷,23,10分)在初中阶段的函数学习中,我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象 研究其性质运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时,我们通过描点或平移的方法画出了 所学的函数图象.同时,我们也学习了绝对值的意义:|a|=结合上面经历的学习过程,现在来解
8、决 下面的问题:在函数y=|kx-3|+b中,当x=2时,y=-4;当x=0时,y=-1. (1)求这个函数的表达式; (2)在给出的平面直角坐标系中,请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质; (3)已知函数y=x-3的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式|kx-3|+bx-3的解集. (0), - (0). a a a a 1 2 1 2 解析解析 (1)将x=2,y=-4和x=0,y=-1分别代入y=|kx-3|+b中, 得解得 这个函数的表达式是y=-4.(3分) (2)函数图象如图:(5分) |2 -3|-4, |-3|-1, kb b 3 , 2 -
9、4. k b 3 -3 2 x 函数的性质(写出其中一条即可): 当x2时,函数值y随x的增大而增大; 当x=2时,函数有最小值,最小值是-4.(7分) (3)不等式的解集是1x4.(10分) 考点三 一次函数的应用问题 1.(2020吉林,23,8分)某种机器工作前先将空油箱加满,然后停止加油立即开始工作.当停止工作时,油箱 中油量为5 L.在整个过程中,油箱里的油量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示. (1)机器每分钟加油量为 L,机器工作的过程中每分钟耗油量为 L; (2)求机器工作时y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (3)直接写出油箱中油量为油箱容
10、积的一半时x的值. 解析解析 (1)3;0.5.(2分) 详解:机器每分钟加油量为=3(L), 机器工作的过程中每分钟耗油量为=0.5(L). (2)设机器工作时y关于x的函数解析式为y=kx+b(k0). 由题意,得(3分) 解得(4分) 机器工作时y关于x的函数解析式为y=-x+35(10 x60).(6分) (3)5或40.(8分) 详解:设机器加油过程中,y关于x的函数解析式为y=mx(m0), 30 10 30-5 60-10 1030, 605. kb kb 1 -, 2 35. k b 1 2 将(10,30)代入得10m=30,解得m=3. 则机器加油过程中,y关于x的函数解析
11、式为y=3x(0 x10). 油箱中油量为油箱容积的一半时,有以下两种情况: 在机器加油过程中,当y=15时,3x=15, 解得x=5; 在机器工作过程中,当y=15时,-x+35=15, 解得x=40. 30 2 30 2 1 2 解后反思解后反思 本题考查了一次函数图象的运用,求解时需要善于从抽象的函数图象中找出实际的量,然后 根据实际需要计算出相应的结果,同时还应明确每条线段所代表的实际含义. 2.(2020黑龙江齐齐哈尔,22,10分)团结奋战,众志成城,齐齐哈尔市组织援助医疗队,分别乘甲、乙两车同 时出发,沿同一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为800 km,在行驶过程中乙车速
12、度始终保持80 km/h,甲车先以一定速度行驶了500 km,用时5 h,然后再以乙车的速度行驶,直至到达绥芬河(加油、休息 时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)的关系如图所示,请结合图象解答下 列问题: (1)甲车改变速度前的速度是 km/h,乙车行驶 h到达绥芬河; (2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数解析式,不用写出自变量x的取 值范围; (3)甲车到达绥芬河时,乙车距绥芬河的路程还有 km;出发 h时,甲、乙两车第一次相距 40 km. 解析解析 (1)甲车改变速度前的速度是=100 km/h.乙车到达绥芬河所需
13、要的时间是=10 h.故答案为 100;10. (2)乙车速度为80 km/h, 甲车到达绥芬河的时间为5+=(h). 甲车改变速度后,到达绥芬河前,设所求函数解析式为y=kx+b(k0).将(5,500)和代入,得 k=80,b=100. y=80 x+100. 故甲车改变速度后,到达绥芬河前的函数解析式为y=80 x+100.甲车到达绥芬河后,函数解析式为y=800. (3)由(2)知甲车用了 h到达绥芬河,此时乙车行驶的路程为80=700 km,距绥芬河还有800-700=100 500 5 800 80 800-500 80 35 4 35 ,800 4 5500, 35 800, 4
14、 kb kb 35 4 35 4 km,设出发t h后,甲、乙两车第一次相距40 km, 甲、乙两车同时出发且甲车速度大于乙车速度, 100t-80t=40,解得t=2. 故答案为100;2. 3.(2020陕西,21,7分)某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农 科所的温室中生长,长到大约20 cm时,移至该村的大棚内,沿插杆继续向上生长.研究表明,60天内,这种瓜 苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当这种瓜苗长到大约80 cm时,开始开花结果,试求这种瓜苗移至大棚后,继续生长大约多少天
15、,开始开 花结果. 解析解析 (1)当0 x15时,设y=kx(k0), 则20=15k,k=.y=x.(2分) 当15x60时,设y=kx+b(k0), 则解之,得 y=x-30. y=(5分) (2)当y=80时,80=x-30.解之,得x=33.(6分) 33-15=18(天). 4 3 4 3 2015 , 17060 . kb kb 10 , 3 -30. k b 10 3 4 ,015, 3 10 -30,1560. 3 xx xx 10 3 这种瓜苗移至大棚后,继续生长大约18天,开始开花结果.(7分) 疑难突破疑难突破 (1)求y与x之间的函数关系式时要分类讨论,第15天是分界
16、线.(2)将y=80代入(1)中的关系式进 行求值,同时要注意所求的是这种瓜苗移至大棚后生长的天数,记得要减去15. 4.(2019吉林长春,21,8分)已知A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/ 时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止. 甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示. (1)乙车的速度为 千米/时,a= ,b= ; (2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式; (3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间的距离. 解析解析 (1)75;3.6;
17、4.5. 详解:在图上标注如图所示的四个点,点N表示两车相遇. 则2(v甲+v乙)=270,又v甲=60千米/时,所以v乙=75千米/时. 点C表示乙车到达A地,用时t乙=3.6(小时), 270 75 则a=3.6. 点D表示甲车到达B地,用时t甲=4.5(小时), 则b=4.5. (2)易知点N(2,0). 当乙车到达A地时,甲车走了603.6=216千米,所以C(3.6,216), 设NC段函数解析式为y=kx+b(2x3.6),将N、C点坐标代入得解得 所以y=135x-270(2x3.6). 由(1)知D(4.5,270), 设CD段函数解析式为y=mx+n(3.6x4.5),将C、
18、D点坐标代入得解得 所以y=60 x(3.6x4.5). 综上所述,甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式为y= 270 60 20, 3.6216, kb kb 135, -270, k b 3.6216, 4.5270, mn mn 60, 0, m n 135 -270,23.6, 60 ,3.64.5. xx xx (3)当甲车到达距B地70千米处时,甲车走了270-70=200千米,用时=(小时), 同样时间乙车走了75=250千米, 所以两车相距250-70=180千米. 200 60 10 3 10 3 5.(2019黑龙江齐齐哈尔,22,10分)甲、乙两地间的直线公路长为400
19、千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该 公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行.货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维 修,货车仍继续行驶.1小时后轿车故障被排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通 知及掉头时间不计),最后两车同时到达甲地.已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x (小时)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1)货车的速度是 千米/小时;轿车的速度是 千米/小时;t值为 ; (2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.
20、解析解析 (1)由题图知,当x=0时,货车距乙地50千米. 又货车比轿车早出发1小时, 货车速度为50千米/小时. 甲、乙两地相距400千米, 货车需要=8小时到达, 则轿车行驶时间为8-1-1=6小时. t=3, 轿车速度为=80千米/小时. 故答案为50,80,3.(3分) (2)由题意可得A(3,240),B(4,240),C(7,0), 设直线OA的解析式为y=k1x(k10), 将A点坐标代入可得k1=80,y=80 x(0 x3).(5分) 400 50 6 2 240 3 当3x4时,y=240.(6分) 设直线BC的解析式为y=kx+b(k0), 将(4,240)和(7,0)代
21、入可得 y=-80 x+560(4x7),(7分) y=(8分) (3)3小时或5小时.(10分) 详解:当货车与轿车相遇前相距90千米时,可得线段图如图, 4240, 70, kb kb -80, 560, k b 80 (03), 240(34), -80560(47). xx x xx 80 x+90+50 x+50=400, 解得x=2. 此时货车出发3小时. 当货车与轿车相遇后相距90千米时,可得线段图如图. 560-80 x+50 x+50=400+90,解得x=4. 此时货车出发5小时. 综上所述,货车出发3小时或5小时两车相距90千米. 6.(2019云南,22,9分)某驻村扶
22、贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本 为6元/千克,规定销售单价不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现,某天西瓜的销售量y(千 克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如图所示: (1)求y与x的函数解析式(也称关系式); (2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值. 解析解析 (1)当6x10时,由题意设y=kx+b(k0),它的图象经过点(6,1 000)与点(10,200), 解得即y=-200 x+2 200.(2分) 当10x12时,y=200. 故y与x的函数解析式为y=(4分) (2)当6x10时,y=-200 x+2 200, W=(x-6
23、)y=(x-6)(-200 x+2 200)=-200+1 250. -2000,6x10, 当x=时,W最大,且W的最大值为1 250.(6分) 当100,W=200 x-1 200随着x的增大而增大. 1 0006, 20010, kb kb -200, 2 200. k b -2002 200,610, 200,1012. xx x 2 17 - 2 x 17 2 又101 200, W的最大值为1 250. 答:这一天销售西瓜获得的利润的最大值为1 250元.(9分) 温馨提示温馨提示 y与x的函数解析式写为y=与y=都是正确的. -2002 200,610, 200,1012 xx
24、x -2002 200,610, 200,1012 xx x 考点一 一次函数的图象与性质 教师丏用题组 1.(2020安徽,7,4分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点A,且y随x的增大而减小,则点A的坐标可以是( ) A.(-1,2) B.(1,-2) C.(2,3) D.(3,4) 答案答案 B y随x的增大而减小,k0,代入坐标验证只有选项B符合. 2.(2020广东广州,6,3分)一次函数y=-3x+1的图象过点(x1,y1),(x1+1,y2),(x1+2,y3),则( ) A.y1y2y3 B.y3y2y1 C.y2y1y3 D.y3y1y2 答案答案 B 将点(x1,y1),
25、(x1+1,y2),(x1+2,y3)代入y=-3x+1中,得y1=-3x1+1,y2=-3(x1+1)+1=-3x1-2,y3=-3(x1+2)+1=-3 x1-5. y1-y2=-3x1+1-(-3x1-2)=3,y2-y3=-3x1-2-(-3x1-5)=3,y2y1,y3y2,y3y2y1.故选B. 一题多解一题多解 对于一次函数y=-3x+1,-30,y随x的增大而减小,又x1x1+1x1+2,y3y20,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 A 由“y随x的增大而减小”可知k0,所以b0,所以函数y=k
26、x+b的图象过第二、三、四 象限.故选A. 5.(2018陕西,4,3分)如图,在矩形AOBC中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为( ) A.-2 B.- C.2 D. 1 2 1 2 答案答案 B 四边形AOBC是矩形,A(-2,0),B(0,1), AC=OB=1,BC=OA=2,点C的坐标为(-2,1), 将(-2,1)代入y=kx,得1=-2k,解得k=-,故选B. 1 2 6.(2019山东潍坊,14,3分)当直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限时,k的取值范围是 . 答案答案 1k3 解析解析 直线y=(2-2k)x+k-3
27、经过第二、三、四象限, 2-2k0,k-31,k3,1k0,b0时,y1,y2的图象与y轴的交点均在y轴的正半轴上,与x轴的交点均在x轴的负半轴上,故A正确. 当a0,b0,b0或a0时,y1,y2的图象与x轴的交点均在x轴的正半轴上,故B,D错误. -,0 b a -,0 a b 2.(2019江苏苏州,7,3分)若一次函数y=kx+b(k、b为常数,且k0)的图象经过点A(0,-1),B(1,1),则不等式kx +b1的解集为 ( ) A.x0 C.x1 答案答案 D 由题意画出函数y=kx+b(k0)的图象,如图. 由图可知kx+b1的解集为x1.故选D. 方法指导方法指导 根据一次函数
28、图象经过的点的坐标,描点画出图象,利用图象法求不等式的解集. 3.(2018陕西,7,3分)若直线l1经过点(0,4),l2经过点(3,2),且l1与l2关于x轴对称,则l1与l2的交点坐标为( ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(6,0) D.(-6,0) 答案答案 A 直线l1经过点(0,4),且l1与l2关于x轴对称,又点(0,4)关于x轴对称的点为(0,-4),直线l2经过点 (3,2),点(0,-4),设直线l2的解析式为y=kx+b(k0),把(0,-4)和(3,2)代入y=kx+b,得解得直 线l2的解析式为y=2x-4. l1与l2关于x轴对称,l1与l2的交点即为l1
29、,l2与x轴的交点,令2x-4=0,解得x=2,所以l1与l2的交点坐标为(2,0). 故选A. -4, 32, b kb -4, 2, b k 4.(2017陕西,7,3分)如图,已知直线l1:y=-2x+4与直线l2:y=kx+b(k0)在第一象限交于点M.若直线l2与x轴的 交点为A(-2,0),则k的取值范围是( ) A.-2k2 B.-2k0 C.0k4 D.0k2 答案答案 D 由题意得-2k+b=0,b=2k. 由解得即M. 点M在第一象限, 解得0k1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围. 解析解析 (1)一次函数y=
30、kx+b(k0)的图象由函数y=x的图象平移得到, k=1.(1分) 一次函数y=x+b的图象过点(1,2), 1+b=2, b=1.(2分) 这个一次函数的解析式为y=x+1.(3分) (2)m2.(5分) 详解:当x1时,函数y=mx(m0)的值都大于y=x+1的值,即函数y=mx(m0)的图象在直线y=x+1上方,临界 条件为当x=1时,两条直线都过点(1,2),此时m=2, 当m2时,两个函数图象的交点向左移动,也能满足当x1时,y=mx(m0)的值都大于y=x+1的值.m的取 值范围为m2. 6.(2020湖南常德,21,7分)已知一次函数y=kx+b(k0)的图象经过A(3,18)
31、和B(-2,8)两点. (1)求一次函数的解析式; (2)若一次函数y=kx+b(k0)的图象与反比例函数y=(m0)的图象只有一个交点,求交点坐标. m x 解析解析 (1)把A(3,18)和B(-2,8)代入y=kx+b(k0), 得(1分) 解得 一次函数的解析式为y=2x+12.(3分) (2)一次函数y=kx+b(k0)的图象与反比例函数y=(m0)的图象只有一个交点, 只有一组解,即2x2+12x-m=0有两个相等的实数根.(4分) =122-42(-m)=0,m=-18.(5分) 把m=-18代入,求得该方程的解为x1=x2=-3.(6分) 把x=-3代入y=2x+12得y=6,
32、即所求交点的坐标为(-3,6).(7分) 318, -28, kb kb 2, 12, k b m x 212,yx m y x 7.(2019江苏南京,23,8分)已知一次函数y1=kx+2(k为常数,k0)和y2=x-3. (1)当k=-2时,若y1y2,求x的取值范围; (2)当xy2.结合图象,直接写出k的取值范围. 解析解析 (1)当k=-2时,y1=-2x+2. 根据题意,得-2x+2x-3,解得xy2.(8分) 8.(2018重庆A卷,22,10分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3过点A(5,m)且与y轴交于点B,把点A向左 平移2个单位,再向上平移4个单位,得到点C.
33、过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D. (1)求直线CD的解析式; (2)直线AB与CD交于点E,将直线CD沿EB方向平移,平移到经过点B的位置结束,求直线CD在平移过程中 与x轴交点的横坐标的取值范围. 解析解析 (1)直线y=-x+3过点A(5,m), -5+3=m. 解得m=-2.(1分) 点A的坐标为(5,-2). 由平移可得点C的坐标为(3,2).(2分) 直线CD与直线y=2x平行, 设直线CD的解析式为y=2x+b(b0).(3分) 点C(3,2)在直线CD上,23+b=2. 解得b=-4. 直线CD的解析式为y=2x-4.(5分) (2)直线CD经过点E,此时直线的解析式为
34、y=2x-4. 令y=0,得x=2.(6分) 直线y=-x+3与y轴交于点B,B(0,3). 当直线CD平移到经过点B(0,3)时, 设此时直线的解析式为y=2x+n(n-4), 把(0,3)代入y=2x+n,得n=3. 此时直线的解析式为y=2x+3.(7分) 令y=0,得x=-.(8分) 直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为-x2.(10分) 3 2 3 2 考点三 一次函数的应用问题 1.(2020宁夏,24,8分)“低碳生活,绿色出行”是一种环保、健康的生活方式,小丽从甲地匀速步行前往乙 地,同时,小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地,两人之间的距离y(m)与步行时间x(
35、min) 之间的函数 关系如图中折线段ABBCCD所示. (1)小丽与小明出发 min相遇; (2)在步行过程中,若小明先到达甲地. 求小丽和小明步行的速度各是多少. 计算出点C的坐标,并解释点C的实际意义. 解析解析 (1)30.(1分) (2)设小丽步行的速度为v1 m/min,小明步行的速度为v2 m/min. 则解得 答:小丽步行的速度为80 m/min,小明步行的速度为100 m/min.(4分) 设点C的坐标为(x,y). 则(100+80)(x-30)+80(67.5-x)=5 400,解得x=54.(5分) y=180(54-30)=4 320. 所以点C(54,4 320).
36、(6分) 点C表示两人出发54 min时,小明到达甲地,此时两人相距4 320 m.(8分) 12 12 30305 400, (67.5-30)30 . vv vv 1 2 80, 100. v v 思路分析思路分析 (1)B点的横坐标即为所求.(2)设小丽与小明的速度分别为v1 m/min和v2 m/min,由折线图找 到两个等量关系:两人相遇时共走了5 400 m;相遇后小丽到乙地的距离等于小明从乙地出发到相遇地的 距离,然后列方程组求解.设点C的坐标为(x,y),由折线图可知小明到达甲地后,小丽继续向乙地步行,由 相遇后两人共走5 400 m可列方程求出x,问题解决. 2.(2020云
37、南,21,8分)众志成城抗疫情,全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆,运送260吨物 资到A地和B地,支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资,这20辆货车恰好装 完这批物资.已知这两种货车的运费如下表: 目的地 车型 A地(元/辆) B地(元/辆) 大货车 900 1 000 小货车 500 700 现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A地,其 余前往B地,设前往A地的大货车有x辆,这20辆货车的总运费为y元. (1)这20辆货车中,大货车、小货车各有多少辆? (2)求y与x的函数解析式,并直接写出
38、x的取值范围; (3)若运往A地的物资不少于140吨,求总运费y的最小值. 解析解析 (1)设大货车有a辆,小货车有b辆,根据题意得解得 答:这20辆货车中,大货车有12辆,小货车有8辆.(2分) (2)前往A地的货车共有10辆,其中大货车有x辆,则前往A地的小货车有(10-x)辆,前往B地的大货车有(12 -x)辆,前往B地的小货车有8-(10-x)=(x-2)辆,根据题意得y=900 x+500(10-x)+1 000(12-x)+700 (x-2), 化简得y=100 x+15 600.(4分) x的取值范围为2x10,且x是正整数. 答:y与x的函数解析式为y=100 x+15 600
39、, x的取值范围为2x10,且x是正整数.(5分) (3)根据题意得15x+10(10-x)140,解得x8. 由(2)知2x10, 8x10.(6分) 又y=100 x+15 600,1000, y随x的增大而增大, 当x=8时,y最小,且y最小=1008+15 600=16 400. 20, 1510260, ab ab 12, 8. a b 答:若运往A地的物资不少于140吨,总运费y的最小值为16 400元.(8分) 思路分析思路分析 (1)根据所给的运输方案,列出二元一次方程组,求解即可;(2)用含x的代数式分别表示出运往 A、B两地大、小货车的费用,求和得出y与x的函数解析式,并由
40、实际意义得出x的取值范围;(3)根据题意 列出一元一次不等式,求得满足条件的x的取值范围,运用一次函数的性质求出y的最小值. 3.(2020山东青岛,20,8分)为让更多的学生学会游泳,少年宫新建一个游泳池,其容积为480 m3,该游泳池有 甲、乙两个进水口,注水时每个进水口各自的注水速度保持不变,同时打开甲、乙两个进水口注水,游泳 池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间满足一次函数关系,其图象如图所示. (1)根据图象求游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式,并写出同时打开甲、乙两个进水 口的注水速度; (2)现将游泳池的水全部排空,对池内消毒后再重新注水.已知单独打
41、开甲进水口注满游泳池所用时间是 单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍,求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时. 4 3 解析解析 (1)设一次函数关系式为y=kx+b(k0),根据图象过点(0,100),(2,380),得解得 游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式为y=140 x+100. 同时打开甲、乙两个进水口的注水速度为=140(m3/h). (2)设单独打开甲进水口注满游泳池需m小时,则单独打开乙进水口注满游泳池需m=m(小时). 由题意得+=140,解得m=8, 经检验,m=8是原方程的解,且符合题意. 答:单独打开甲进水口注满游泳池需8小时. 100, 23
42、80, b kb 140, 100, k b 380-100 2 4 3 3 4 480 m 480 3 4 m 一题多解一题多解 (2)单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 倍, 甲进水口注水的速度是乙进水口注水速度的. 同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140 m3/h, 甲进水口的注水速度为140=60(m3/h), 则单独打开甲进水口注满游泳池需48060=8(h). 4 3 3 4 3 1 4 3 4 思路分析思路分析 (1)用待定系数法求一次函数关系式即可; (2)根据“单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍
43、” 设出未知数,根据“同时打开甲、乙两个进水口的注水速度为140 m3/h”列分式方程,也可以用算术的 方法解决. 4 3 4.(2018河南,21,10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之 间满足一次函数关系.关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如下表: 销售单价x(元) 85 95 105 115 日销售量y(个) 175 125 75 m 日销售利润w(元) 875 1 875 1 875 875 (注:日销售利润=日销售量(销售单价-成本单价) (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值; (2)根据以上信息
44、,填空: 该产品的成本单价是 元.当销售单价x= 元时,日销售利润w最大,最大值是 元; (3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1) 中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3 750元的销售目标,该产品的成本单价应不超 过多少元? 解析解析 (1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,k0, 由题意得解得 y关于x的函数解析式为y=-5x+600.(3分) 当x=115时,m=-5115+600=25.(4分) (2)80;100;2 000.(7分) 提示:设该产品的成本单价是a元,由875=175(85-a)得a=80
45、.w=y (x-80)=(-5x+600)(x-80)=-5(x-100)2+2 000, 根据二次函数知识求w的最大值及相应x的值. (3)设该产品的成本单价为a元, 由题意得(-590+600) (90-a)3 750. 解得a65. 答:该产品的成本单价应不超过65元.(10分) 85175, 95125. kb kb -5, 600. k b 5.(2018云南,21,8分)某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题,带领大家致富.经过调查研究,他们决定利用 当地盛产的甲、乙两种原料开发A、B两种商品.为科学决策,他们试生产A、B两种商品共100千克进行 深入研究.已知现有甲种原料293千克,乙
46、种原料314千克.生产1千克A商品,1千克B商品所需要的甲、乙 两种原料及生产成本如下表所示: 甲种原料 (单位:千克) 乙种原料 (单位:千克) 生产成本 (单位:元) A商品 3 2 120 B商品 2.5 3.5 200 设生产A种商品x千克,生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元,根据上述信息,解答下列问题: (1)求y与x的函数解析式(也称关系式),并直接写出x的取值范围; (2)x取何值时,总成本y最小? 解析解析 (1)由题意得y=120 x+200(100-x)=-80 x+20 000,(3分) x的取值范围为24x86.(6分) 提示:由解得24x86. (2)-80
47、0, y随x的增大而减小.(7分) 当x取最大值86时,y的值最小. 当x=86时,总成本y最小.(8分) 32.5(100- )293, 23.5(100- )314 xx xx 6.(2017上海,22,10分)甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案. 甲公司方案:每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系,如图所示. 乙公司方案:绿化面积不超过1 000平方米时,每月收取费用5 500元;绿化面积超过1 000平方米时,每月在 收取5 500元的基础上,超过部分每平方米收取4元. (1)求如图所示的y与x的函数解析式;(不要求写出定义域) (2)如果某学校目前的绿化面积是1 200平方米,试通过计算说明:选择哪家公司的服务,每月的绿化养护 费用较少. 解析解析 (1)设y=kx+b(k0). 将(100,900),(0,400)代入上式, 得 所求函数的解析式
