1、 中考数学 （江苏专用） 6.3 解直角三角形 考点1 锐角三角函数 A组 20162020年江苏中考题组 1.(2016无锡,3,3分)sin 30的值为( ) A. B. C. D. 1 2 3 2 2 2 3 3 答案答案 A sin 30=,故选A. 1 2 2.(2020扬州,7,3分)如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A、B、C都在格点上,以AB为直径的圆 经过点C、D,则sinADC的值为( ) A. B. C. D. 2 13 13 3 13 13 2 3 3 2 答案答案 A 连接BC,AC,ADC和ABC是所对的圆周角,ABC=ADC, 在RtACB中,AB=, s
2、inABC=, sinADC=,故选A. AC 22 ACBC 22 2313 AC AB 2 13 2 13 13 2 13 13 3.(2020无锡,9,3分)如图,在四边形ABCD中(ABCD),ABC=BCD=90,AB=3,BC=,把RtABC沿着 AC翻折得到RtAEC,若tanAED=,则线段DE的长度为( ) A. B. C. D. 3 3 2 6 3 7 3 3 2 2 7 5 答案答案 B 延长CD交AE于F,过点D作DGEF于G, B=90,BC=,AB=3, BAC=30. 由折叠可知CAE=BAC=30,CE=BC=,AB=AE=3, BAE=60, ABC=BCD=
3、90, CDAB, CFE=60,DCA=30, AF=CF=2,EF=1, 3 3 tanAED=, 可设DG=x,则GE=2x,ED=x,FG=1-2x, 在RtFGD中,FG=GD,即(1-2x)=x, 解得x=,ED=.故选B. 3 2 37 333 1 3 7 3 方法总结方法总结 本题考查三角形的折叠、平行线的判定与性质、锐角三角函数等知识点,熟练掌握特殊角 的三角函数值,找出直角三角形的边角之间的关系即可解决问题. 4.(2016南通,14,3分)如图,在RtABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则cos A= . 答案答案 3 4 解析解析 CD为斜边AB上
4、的中线, AB=2CD=4, 在RtABC中,cos A=. AC AB 3 4 5.(2020苏州,18,3分)如图,已知MON是一个锐角,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OM、ON于 点A、B,再分别以点A、B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC.过点A作ADON,交 射线OC于点D,过点D作DEOC,交ON于点E.设OA=10,DE=12,则sinMON= . 1 2 答案答案 24 25 解析解析 连接AB交OD于点H,过点A作AGON于点G, 由尺规作图步骤,可得OD是MON的平分线,OA=OB, OHAB,AH=BH. DEOC,DEAB, ADON, 四边
5、形ABED是平行四边形, AB=DE=12,AH=6, OH=8, 易知ABGOBH,=, AG=, sinMON=. 22 -AO AH 22 10 -6 AG OH AB OB AB OH OB 12 8 10 48 5 AG OA 24 25 解题关键解题关键 本题主要考查等腰三角形的性质,平行四边形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数的定义, 添加合适的辅助线,构造直角三角形是解题的关键. 1.(2020苏州,7,3分)如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他作了如下操作:(1)在点C处放置测角 仪,测得旗杆顶的仰角ACE=;(2)量得测角仪的高度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆
6、的水平距离DB=b.利 用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为( ) A.a+btan B.a+bsin C.a+ D.a+ tan b sin b 考点2 解直角三角形 答案答案 A 延长CE交AB于F, 由题意得,四边形CDBF为矩形, CF=DB=b,FB=CD=a, 在RtACF中,ACF=,CF=b, tanACF=, AF=CF tanACF=btan , AB=AF+BF=a+btan ,故选A. AF CF 解题关键解题关键 本题主要考查了解直角三角形,解题关键是通过构造直角三角形,将实际问题转化为数学问 题. 2.(2019苏州,8,3分)如图,小亮为了测量校园
7、里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平 距离为18 m的地面上,若测角仪的高度是1.5 m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30,则教学楼的高度 是( ) A.55.5 m B.54 m C.19.5 m D.18 m 3 答案答案 C 过D作DEAB交AB于E,则四边形DEBC是矩形, DC=BE=1.5 m,DE=BC=18 m. 在RtADE中,tan 30=, AE=18=18 m,AB=18+1.5=19.5 m.故选C. 3 AE DE 3 3 3 3.(2016苏州,8,3分)如图,长4 m的楼梯AB的倾斜角ABD为60,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造 楼梯,使
8、其倾斜角ACD为45,则调整后的楼梯AC的长为( ) A.2 m B.2 m C.(2-2)m D.(2-2)m 36 36 答案答案 B 因为ADCD,所以D=90,在RtABD中,AD=AB sin 60=4=2 m,在RtACD中,AC= =2 m,故选B. 3 2 3 2 3 2 2 6 4.(2019宿迁,17,3分)如图,MAN=60,若ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当 ABC是锐角三角形时,BC长的取值范围是 . 答案答案 BC2 33 解析解析 如图,过点B作BC1AN,垂足为C1,BC2AM,交AN于点C2. 在RtABC1中,AB=2,A=6
9、0, BC1=AB sin 60=, 在RtABC2中,AB=2,A=60, BC2=AB tan 60=2. 当ABC是锐角三角形时,点C在C1C2(不包括点C1,C2)上移动,此时BC0),则FK=3x, EF=5x, EF=15, 5x=15,x=3, FK=3x=9. 即山坡EF的水平宽度FK为9 m. (2)L=CF+FK+EA=CF+9+4=CF+13, H=AB+EK=22.5+12=34.5,H1=0.9, 日照间距系数=L(H-H1)=, 该楼的日照间距系数不低于1.25, 4 3 EK FK 22 EKFK 13 34.5-0.9 CF 13 33.6 CF 1.25,CF
10、29. 答:要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底部C距F处至少29 m远. 13 33.6 CF 考点1 锐角三角函数 B组 20162020年全国中考题组 1.(2019天津,2,3分)2sin 60的值等于( ) A.1 B. C. D.2 23 答案答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60=,则2sin 60=2=,故选C. 3 2 3 2 3 2.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为( ) A.3 B. C. D. 1 3 10 10 3 10 10 答案答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A=3. BC A
11、C 3.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地 面夹角的正切值等于( ) A. B. C. D. 5 13 12 13 5 12 13 12 答案答案 C 在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地面夹角的 正切值等于=,故选C. 50 120 5 12 思路分析思路分析 先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切函数的定义求正切值. 4.(2020四川南充,8,4分)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sinBAC=( ) A. B. C. D. 2 6 26 26 26 13 1
12、3 13 答案答案 B 如图,作BDAC于D, 设正方形网格中每个小正方形的边长为1, AB=, 又BD=, sinBAC=. 故选B. 22 3213 22 11 2 2 2 BD AB 2 2 13 26 26 5.(2017四川绵阳,18,3分)如图,过锐角ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分DAC,AF平分EAC交BC 的延长线于点F,在AF上取点M,使得AM=AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,AMH的面积是 ,则的值是 . 1 3 1 12 1 tanACH 答案答案 8- 15 解析解析 过H作HGAC于点G,如图. AF平分EAC,EAF=CAF. DEBF,E
13、AF=AFC, CAF=AFC,CF=CA=2. AM=AF,AMMF=12. DEBF,=, 1 3 AH CF HM MC AM MF 1 2 AH=1,SAHC=3SAHM=, 2GH=,GH=, 在RtAHG中,AG=, GC=AC-AG=2-=, =8-. 1 4 1 2 1 4 1 4 22 -AHGH 15 4 15 4 8- 15 4 1 tanACH GC GH 15 解题思路解题思路 过H作HGAC于点G,构造直角三角形,再分别求出相应的边即可. 6.(2020内蒙古包头,20,3分)如图,在矩形ABCD中,BD是对角线,AEBD,垂足为E,连接CE.若ADB=30, 则t
14、anDEC的值为 . 答案答案 3 2 解析解析 过点C作CFBD于F,如图所示, 四边形ABCD为矩形,AB=CD,ADC=BAD=90, FDC=ADC-ADB=90-30=60,ABD=90-ADB=90-30=60, 设AB=CD=2x(x0), 在RtABD中,BD=4x, 在RtCDF中,CF=CD sinFDC=CD sin 60=2x=x, DF=CD cosFDC=CD cos 60=2x=x, sin AB BDA 2 1 2 x 3 2 3 1 2 在RtABE中,BE=AB cosABE=2x=x, EF=BD-BE-DF=4x-x-x=2x, 在RtCEF中,tanD
15、EC=. 1 2 FC EF 3 2 x x 3 2 考点2 解直角三角形 1.(2019浙江杭州,9,3分)如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OCOB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已 知AB=a,AD=b,BCO=x,则点A到OC的距离等于( ) A.asin x+bsin x B.acos x+bcos x C.asin x+bcos x D.acos x+bsin x 答案答案 D 过点A作AHOC于点H,过点B作BEAH于点E. 四边形ABCD为矩形, AB=CD=a,AD=BC=b. OBOC,BCO=x, BO=bsin x. BEAH,OCAH, BEOC,EBC=B
16、CO. ABE+EBC=90,BAH+ABE=90, BAH=EBC=BCO=x, AE=acos x. BEAH,AHOC,OBOC, 四边形BOHE为矩形,BO=EH. AH=AE+EH=AE+BO=acos x+bsin x,故选D. 一题多解一题多解 如图,过点A作AHOC于点H,延长AD交OC于点F. 四边形ABCD为矩形, AB=CD=a,AD=BC=b,BCD=CDA=90, 2+3=90,3+4=90. 4=2=x. 在RtCDF中,CD=a, DF=, tan a x AF=AD+DF=b+. AH=AF sin x=bsin x+acos x,故选D. tan a x 2.
17、(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为(,0),(0, 1).把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为 . 3 答案答案 3 3 , 22 解析解析 如图,作OCOA,垂足为C, 在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=,BAO=30,由题意可得AO=AO=, O AB=OAB=30,OAO=60. 在RtOAC中,AC=AO cos 60=,OC=AO sin 60=.OC=AO-AC=.O. 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3.(2020河南,18,9分)位于河南省登封市境内的元
18、代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产 之一. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步 道MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22,然后沿MP方向前进16 m到达点N处, 测得点A的仰角为45,测角仪的高度为1.6 m. (1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 220.37,cos 220.93,tan 22 0.40,1.41); (2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6 m.请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理 2 化建议. 解析解析 (1)如图,过点
19、A作AFMP,垂足为点F,交BC的延长线于点E. 由题意知,四边形MBCN和四边形NCEF均为矩形,(2分) 设AE=x m, 在RtACE中,AEC=90,ACE=45, CE=AE=x m,(3分) 在RtABE中,AEB=90,ABE=22, tan 22=, BE=x m,(4分) BE-CE=BC, x-x=16. 解得x=10.67.(6分) EF=BM=1.6 m, AF=AE+EF=10.67+1.612.3 m. 即观星台最高点A距离地面的高度约为12.3 m.(7分) (2)误差为12.6-12.3=0.3(m).(8分) 可多次测量,取测量数据的平均值(答案不唯一,合理即
20、可).(9分) AE BE 0.40 x5 2 5 2 32 3 4.(2020江西,20,8分)如图1是一种手机平板支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是 其侧面结构示意图.量得托板长AB=120 mm,支撑板长CD=80 mm,底座长DE=90 mm.托板AB固定在支撑 板顶端点C处,且CB=40 mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.(结果保留小数点后一位) (1)若DCB=80,CDE=60,求点A到直线DE的距离; (2)为了观看舒适,在(1)的情况下,把AB绕点C逆时针旋转10后,再将CD绕点D顺时针旋转,使点B落在直 线DE上即可,求CD旋转的角度
21、. (参考数据:sin 400.643,cos 400.766,tan 400.839,sin 26.60.448,cos 26.60.894,tan 26.60.500, 1.732) 3 解析解析 (1)如图1,过点C作CHDE于点H. CD=80,CDE=60, sin 60=, CH=40401.732=69.28. 图1 作AMDE交ED的延长线于点M,CNAM于点N,则四边形NMHC是矩形. MN=CH=40,NCMH, NCD=CDE=60. DCB=80, CH CD80 CH3 2 3 3 ACN=180-80-60=40. sinACN=,AC=80, AN=80sin 4
22、0800.643=51.44. AM=AN+NM=51.44+69.28120.7. 答:点A到直线DE的距离为120.7 mm. (2)解法一:AB绕着点C逆时针旋转10, DCB=90.如图2. 连接BD. DC=80,CB=40, tanCDB=0.5. CDB26.6. BDE60-26.6=33.4. 答:CD旋转的度数约为33.4. AN AC CB CD 40 80 图2 解法二:当点B落在DE上时,如图3. 在RtBCD中,BC=40,CD=80,(DCB=90,同解法一) tanBDC=0.5. BDC26.6. CDC=BDC-BDC60-26.6=33.4. 答:CD旋转
23、的度数约为33.4. BC CD 40 80 图3 思路分析思路分析 (1)分别作CHDE,AMED,CNAM,构造RtCDH、RtCAN,然后利用sinCDH=sin 60 =和sinACN=sin 40=求出CH和AN,而NM=CH,问题解决;(2)两种解法:根据AB绕点C逆时针 旋转10可判断DCB=90,连接BD构造直角三角形DCB,利用tanCDB求出CDB,再利用BDE= CDE-CDB求出BDE,问题解决;当点B落在DE上时,在RtBCD中利用tanBDC求出BDC,再根 据CDC=BDC-BDC即可求出CD旋转的度数. CH CD AN AC 5.(2018天津,22,10分)
24、如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处 的俯角为48,测得底部C处的俯角为58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数). 参考数据:tan 481.11,tan 581.60. 解析解析 如图,过点D作DEAB,垂足为E. 则AED=BED=90. 由题意可知,BC=78,ADE=48,ACB=58,ABC=90,DCB=90.可得四边形BCDE为矩形. ED=BC=78,DC=EB. 在RtABC中,tanACB=, AB=BC tan 58781.60125. AB BC 在RtAED中,tanADE=, AE=ED tan 48. DC=EB
25、=AB-AE=BC tan 58-ED tan 48781.60-781.1138. 答:甲建筑物的高度AB约为125 m,乙建筑物的高度DC约为38 m. AE ED 思路分析思路分析 过点D作DEAB,构造直角ADE和矩形BCDE,通过解直角ABC和直角ADE可求出答 案. 方法总结方法总结 解直角三角形的应用,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助角、边关系, 三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形,求 出实际问题的答案. C组 教师专用题组 考点1 锐角三角函数 1.(2019吉林长春,6,3分)如图,一把梯子靠在垂直于
26、水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的 夹角为,则梯子顶端到地面的距离BC为( ) A.3sin 米 B.3cos 米 C.米 D.米 3 sin 3 cos 答案答案 A 因为sin =, 所以BC=ABsin =3sin (米). BC AB 2.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tanBAC的值为 ( ) A. B.1 C. D. 1 2 3 3 3 答案答案 B 如图,连接BC. 在ABD和BCE中, ABDBCE(SAS),AB=BC,ABD=BCE. BCE+CBE=90,ABD+CBE=90, 即ABC=90
27、,tanBAC=1,故选B. BC AB 3.(2020盐城,20,8分)如图,在ABC中,C=90,tan A=,ABC的平分线BD交AC于点D,CD=,求AB 的长. 3 3 3 解析解析 在RtABC中,C=90,tan A=, A=30,ABC=60, BD是ABC的平分线, CBD=ABD=30. 又CD=,BC=3. 在RtABC中,C=90,A=30, AB=6. 3 3 3 1.(2019陕西,6,3分)如图,在ABC中,B=30,C=45,AD平分BAC,交BC于点D,DEAB,垂足为E.若 DE=1,则BC的长为( ) A.2+ B.+ C.2+ D.3 2233 考点2
28、解直角三角形 答案答案 A 过点D作DFAC,垂足为F.AD平分BAC,DEAB,DE=DF=1.B=30,BD=2DE=2. C=45,DC=DF=,BC=BD+CD=2+,故选A. 22 2 2.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距10 m的D处观测旗杆顶部A的仰角 为53,观测旗杆底部B的仰角为45,则旗杆AB的高度约为 m.(结果取整数.参考数据:sin 53 0.80,cos 530.60,tan 531.33) 答案答案 3 解析解析 BDC=45,BCD=90, DBC=180-BCD-BDC =180-90-45=45, BDC=DBC,
29、 BC=DC=10 m. 在RtADC中,tanADC=, tan 53=, AC=10tan 53101.33=13.3 m. AB=AC-BC=13.3-10=3.33 m. 故答案为3. AC CD 10 AC 思路分析思路分析 因为BDC=45,BCD=90,所以可得BC=DC=10 m,解直角三角形可求出AC13.3 m,进一 步可求出AB的长度. 3.(2019甘肃兰州,25,7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行 了探究,过程如下: 问题提出: 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最 大限度地
30、使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计: 如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD. 数据收集: 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线DA与遮阳篷CD的夹 角ADC最大(ADC=77.44);冬至这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角BDC最小 (BDC=30.56);窗户的高度AB=2 m. 问题解决: 根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长. (结果精确到0.1 m,参考数据:sin 30.560.51,cos 30.560.86,tan 30.560.59,sin 77.440.98, cos 77.440.22,t
31、an 77.444.49) 解析解析 在RtBCD中,BCD=90,BDC=30.56, tanBDC=,BC=tanBDC CD. 在RtACD中,ACD=90,ADC=77.44, tanADC=,AC=tanADC CD. AC-BC=AB,tanADC CD-tanBDC CD=2,代入数值可得(4.49-0.59)CD=2,CD0.5. 答:遮阳篷长度约为0.5 m. BC CD AC CD 思路分析思路分析 首先在RtBCD和RtACD中利用正切分别表示出BC和AC,再由题图可知AC-BC=AB,代入 数据即可求出CD的长. A组 20182020年模拟基础题组 时间:35分钟 分
32、值:50分 一、选择题(共3分) 1.(2020淮安洪泽一模,6)在RtABC中,ACB=90,BC=1,AB=2,则下列结论正确的是( ) A.tan A= B.tan B= C.sin A= D.cos B= 1 2 3 3 2 3 2 答案答案 B ACB=90,BC=1,AB=2, AC=, 则A.tan A=,此选项错误; B.tan B=,此选项正确; C.sin A=,此选项错误; D.cos B=,此选项错误. 故选B. 22 -AB BC 22 2 -13 BC AC 3 3 AC BC 3 BC AB 1 2 BC AB 1 2 解题技巧解题技巧 先根据勾股定理求出AC=,
33、再根据锐角三角函数的定义分别求解. 3 二、填空题(每小题3分,共15分) 2.(2020扬州中学教育集团树人学校一模,16)如图,ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则sinBAC 的值为 . 答案答案 5 5 解析解析 如图,连接格点BD, BD2=12+12=2,CD2=12+12=2,BC2=22=4, BD2+CD2=BC2, BDC=90=ADB, 由勾股定理得AB=,BD=, sinBAC=. 22 1310 22 112 BD AB 2 10 5 5 解题关键解题关键 本题考查三角函数的定义、勾股定理及其逆定理,构造直角三角形是解题的关键. 3.(2020扬州邗江二模,15)如
34、图,ABC中,直线DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE.若BC=12, SBCE=24,则tan C= . 答案答案 2 3 解析解析 SBCE=BC DE=12DE=24, DE=4, 直线DE是BC的垂直平分线, DC=BC=6,EDC=90, 在RtECD中,tan C=. 1 2 1 2 1 2 DE DC 4 6 2 3 4.(2019扬州高邮一模)2022年北京冬奥会延庆赛区正在筹建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角约为30, 在此雪道向下滑行100米,高度大约下降了 米. 答案答案 50 解析解析 如图,sin C=, AB=AC sin C=100sin 30=50(米
35、). 故答案为50. AB AC 5.(2019扬州江都一模)如图,射线AB经过A(2,0)、B(0,2),将射线AB绕点A顺时针旋转,旋转到经过点C(3,3) 的位置,若旋转的角度为,则tan = . 答案答案 2 解析解析 连接CB,作CDAB于点D, A(2,0),B(0,2),C(3,3), ABC的面积为33-=4,AB=2,AC=, =4, CD=2,AD=, tan =2. 22 2 (3-2)3 2 3 (3-2) 2 22 222 22 3(3-2)10 2 AB CD2 2 2 CD 2 22 -AC CD 22 ( 10) -(2 2)2 CD AD 2 2 2 6.(2
36、019南通如东一模,15)如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东 北方向,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30方向,同时测得岛礁P正东方向上的避 风港M在北偏东60方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度 继续航行 小时即可到达.(结果保留根号) 答案答案 186 3 5 解析解析 如图,过点P作PQAB,过点M作MNAB,分别交AB的延长线于点Q,N. 在RtAQP中,PAQ=45,则AQ=PQ=601.5+BQ=(90+BQ)海里,所以BQ=(PQ-90)海里. 在RtBPQ中,BPQ=30, 则
37、BQ=PQ tan 30=PQ(海里), 3 3 所以PQ-90=PQ,所以PQ=45(3+)(海里), 所以MN=PQ=45(3+)(海里). 在RtBMN中,MBN=30, 所以BM=2MN=90(3+)(海里), 所以=(小时). 3 3 3 3 3 90(33) 75 186 3 5 三、解答题(共32分) 7.(2020镇江一模,26)RtABC中,C=90,A=30,BC=a.以AB为斜边,在AB所在直线的右侧作等腰Rt ABD. (1)用尺规作图,保留作图痕迹; (2)请尝试用两种不同的方法计算四边形ACBD的面积,从而推导出sin 75=. 62 4 解析解析 (1)如图.(2
38、分) (2)记四边形ACBD的面积为S. 方法一:S=SABC+SABD=aa+(a)2=a2.(4分) 方法二:连接CD,作DEAC于点E,DFCB,交CB的延长线于F, 1 2 3 1 2 2 32 2 证得AEDBFD,得DE=DF. S=SACD+SBCD=a DE+a DF =a DE.(6分) a DE=a2, 则DE=a=a=a, 1 2 3 1 2 31 2 31 2 32 2 32 31 ( 32)( 3-1) 2 31 2 DAE=CAB+BAD=30+45=75, sin 75=.(8分) 其他解法:DE=sin 75a, 要证明sin 75=,只要证明sin275=.
39、作DEAC于点E,DFCB,交CB的延长线于F.可证得AEDBFD. S=S正方形CEDF=DE2=sin2752a2.(6分) sin2752a2=a2,可得sin275=, 即证得sin 75=.(8分) DE AD 31 2 2 62 4 2 62 4 2 62 4 32 4 32 2 32 4 62 4 8.(2020南京联合体一模,24)如图,B位于A南偏西37方向,港口C位于A南偏东35方向,B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处,此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处,E 位于D南偏西45方向,这时,E处距离港口C有多远?(参考数据:tan 3
40、70.75,tan 350.70). 解析解析 如图,延长AD交BC于点F,AFBC, 设EF=x海里, 在RtDEF中,DFE=90,tanEDF=, tan 45=,DF=x.(2分) EF DF x DF 在RtABF中,DFE=90,tanBAF=, BF=AFtan 37,(4分) 20+x0.75(40+x), x=40.(6分) AF=AD+DF=80. 在RtAFC中,AFC=90,tanCAF=, CF=AFtan 35800.70=56, CE=EF+CF=40+56=96. 答:E处距离港口C约96海里.(8分) BF AF CF AF 9.(2018徐州一模,26)如图
41、,在电线杆CD上的C处引拉线CE,CF固定电线杆,拉线CE和地面所成的角 CED=60,在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB,在A处测得电线杆上C处的仰角为30, 求拉线CE的长.(结果保留根号) 解析解析 如图,过点A作AHCD,垂足为H, 由题意可知四边形ABDH为矩形,CAH=30, AB=DH=1.5,BD=AH=6. 在RtACH中,tanCAH=, CH=AH tanCAH=6tan 30=6=2. CH AH 3 3 3 DH=1.5,CD=2+1.5. 在RtCDE中,CED=60,sinCED=, CE=(4+)米. 答:拉线CE的长约为(4+)米. 3 CD C
42、E 3 3 10.(2018淮安一模,23)如图,甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼,乙沿南偏东30方向以每小时15海 里的速度航行,甲沿南偏西75方向以每小时15海里的速度航行,当航行1小时后,甲在A处发现自己的 渔具掉在乙船上,于是迅速改变航向和速度,仍以匀速沿南偏东60方向追赶乙船,正好在B处追上.甲船追 赶乙船的速度为多少海里/时? 2 解析解析 如图,过O作OCAB于C. 则OAC=90-75+90-60=45. 易知AO=15(海里), OC=AC=15=15(海里). 又B=180-45-75-30=30,OCB=90, BC=15(海里), OB=152=30(海里), 乙船
43、从O点到B点所需时间为2小时, 甲船追赶乙船的速度为(15+15)海里/时. 2 2 2 2 3 3 一、选择题(每小题3分,共12分) B组 20182020年模拟提升题组 时间:20分钟 分值:30分 1.(2020南通海安一模,6)图1是一个地铁站入口的双翼闸机,如图2,它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与 B之间的距离为10 cm,双翼的边缘AC=BD=54 cm,且与闸机侧立面夹角PCA=BDQ=30,当双翼收起 时,可以通过闸机的物体的最大宽度为( ) A.(54+10)cm B.(54+10) cm C.64 cm D.54 cm 32 答案答案 C 如图所示,过A作AECP于E,
44、过B作BFDQ于F. 在RtACE中,AC=54 cm,ACE=30, 则AE=AC=54=27(cm), 同理可得,BF=27 cm. 又点A与B之间的距离为10 cm, 通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64(cm). 故选C. 1 2 1 2 2.(2020苏州常熟一模,9)一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60方向,轮船继续向正东航行30海里后 到达B处,这时测得灯塔S在船的南偏西75方向,则灯塔S离观测点A、B的距离分别是( ) A.(15-15)海里、15海里 B.(15-15)海里、15海里 C.(15-15)海里、15海里 D.(15-15)海里、15海里 3 32
45、 322 32 答案答案 D 延长AS交BM于点C,作BDAC于点D. 易得BCA=60, 则DBC=30,SBD=45, 在RtABC中,AB=30,ABC=90, BC=30tan 30=10,AC=20, 33 在RtBDC中,BD=BC cos 30=10=15,CD=5, 在RtBSD中,BS=15,DS=BD=15, SA=AC-DC-DS=20-5-15=15-15. 故灯塔S离观测点A,B的距离分别为(15-15)海里,15海里. 故选D. 3 3 2 3 2 333 3 2 3.(2020南通海安一模,10)已知:如图,AC,BC分别是半圆O和半圆O的直径,半圆O的弦MC交半
46、圆O于N,若 MN=2,则AB等于( ) A. B. C.2cos D.2sin 2 cos 2 sin 答案答案 A AC,BC分别是半圆O和半圆O的直径, AMC=BNC=90, cos =, CM=AC cos ,CN=BC cos , MN=CM-CN=2, AC cos -BC cos =2, (AC-BC)cos =2,即AB cos =2, AB=.故选A. CM AC CN BC 2 cos 4.(2019苏州吴江一模)如图,在等腰ABC中,AB=AC,BC=3,sin A=,则AB的长为( ) A.15 B.5 C.20 D.10 10 3 5 105 答案答案 A 过点C作
47、CDAB,垂足为D, 在RtACD中,sin A=, 设CD=3k(k0),则AB=AC=5k, AD=4k. BD=AB-AD=5k-4k=k, 在RtBCD中,BC=k, BC=3, k=3,k=3, AB=5k=15.故选A. 3 5 22 -AC CD 22 BDCD 22 9kk10 10 1010 思路分析思路分析 过点C作CDAB,垂足为D,设CD=3k(k0),则AB=AC=5k,解直角三角形即可得到BC=k,从 而得到结论. 10 评析评析 本题考查了等腰三角形的性质,解直角三角形的知识,过点C作CDAB,构造直角三角形是关键. 二、填空题(共3分) 5.(2019苏州吴江一模)在一次综合社会实践活动中,小东同学从A地出发,要到A地北偏东60方向的C地, 他先沿正东方向走了2 km到达B处,再沿北偏东15方向走,恰能到
