1、 中考数学 （河北专用） 8.3 几何最值问题 一、利用“垂线段最短”求最值一、利用“垂线段最短”求最值 1.(2018秦皇岛模拟,15)如图,边长为2a的等边三角形ABC中,M是高CH所在直线上的一个动点,连接MB, 将线段BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接HN.则在点M运动过程中,线段HN长度的最小值是( ) A.a B.a C.a D.a 3 3 2 1 2 答案答案 D 如图,取BC的中点G,连接MG, 旋转角为60,MBH+HBN=60, 又MBH+MBC=ABC=60,HBN=GBM, CH是等边ABC的高,HB=AB,HB=BG, 又MB旋转到BN,BM=BN, 在MBG和N
2、BH中, 1 2 , , , BGBH MBGNBH MBNB MBGNBH(SAS),MG=NH, 根据垂线段最短,即MGCH时,MG最短,即HN最短, BCH=60=30,CG=AB=2a=a, MG=CG=a=,HN=,故选D. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 a 2 a 2.(2019石家庄十八县二模改编)如图,在ABC中,ACB=90,ABC=45,BC=12,半圆O的直径DE=12, 点E与点C重合,设点M是半圆O上一点,点N是线段AB上一点,则MN的最大值为 ;MN的最小值为 . 答案答案 24;9-6 2 解析解析 MN的最大值即为线段BD的长,即MN的最大值为24.
3、如图所示,过点O作ONAB于点N,垂线段的 长减去半径长,即为MN的最小值,在RtOBN中,OBN=45,ONB=90,OB=OC+BC=18,ON=OB sinOBN=18sin 45=9,MN的最小值为ON-OM=9-6. 22 二、利用“轴对称”求最值二、利用“轴对称”求最值 1.(2020山东潍坊,10,3分)如图,在RtAOB中,AOB=90,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2为半径的圆与OB 交于点C,过点C作CDOB交AB于点D,点P是边OA上的动点.当PC+PD最小时,OP的长为( ) A. B. C.1 D. 1 2 3 4 3 2 答案答案 B 延长CO交O于点E, 连接
4、DE交OA于点P,此时PC+PD最小. CDOB,AOB=90,CDAO, =,=,CD=. CDAO,=,即=,解得PO=. BC BO CD AO 2 43 CD3 2 EO EC PO DC 2 4 3 2 PO3 4 方法技巧方法技巧 本题是“一动两定”的最值问题,作出一个定点关于动点所在直线的对称点,利用“两点之 间,线段最短”解决问题. 2.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下 列线段的长等于AP+EP最小值的是( ) A.AB B.DE C.BD D.AF 答案答案 D 在正方形ABCD中,连接CE、
5、PC. 点A与点C关于直线BD对称,AP=CP, AP+EP的最小值为EC的长. E,F分别为AD,BC的中点,DE=BF=AD. AB=CD,ABF=ADC=90,ABFCDE. AF=CE.故选D. 1 2 思路分析思路分析 点A关于直线BD的对称点为点C,连接CE,AP+EP的最小值就是线段CE的长度;通过证明 CDEABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于线段AF的长. 三、利用“隐形圆”求最值三、利用“隐形圆”求最值 1.(2018秦皇岛海港一模,13)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,点P是BC边上的动点,现将PCD沿直 线PD折叠,使点C落在点C1处,则点B
6、到点C1的最短距离为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3 答案答案 C 将PCD沿直线PD折叠,则DC=DC1,显然点C1在以点D为圆心,CD长为半径的圆上,连接BD交 D于一点,这个交点到点B的距离即为点B到点C1的最短距离,AB=CD=3,BC=3,BD= =6,点B到点C1的最短距离=6-3=3,故选C. 3 22 BCCD 22 (3 3)3 2.(2017 四川德阳,17,3分)如图,已知C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为C上一动点,经过点 O的直线l上有两点A、B,且OA=OB,APB=90,l不经过点C,则AB的最小值为 . 答案答案 4 解析解析 如图,连接O
7、P,PC,OC, OP+PCOC,当点O,P,C三点共线时,OP 最短, 如图,OA=OB,APB=90, 点P在以O为圆心,AB长为直径的圆上,O 与C相切时,OP最短, OC=5,CP=3, OP=5-3=2, AB=2OP=4. AB的最小值为4. 四、数形结合法求最值四、数形结合法求最值 (2018江苏徐州,23,8分)如图,在矩形ABCD中,AD=4,点E在边AD上,连接CE,以CE为边向右上方作正方形 CEFG,作FHAD,垂足为H,连接AF. (1)求证:FH=ED; (2)当AE为何值时,AEF的面积最大? 解析解析 (1)证明:四边形CEFG是正方形,CE=EF, FEC=F
8、EH+CED=90,DCE+CED=90, FEH=DCE, 在FEH和ECD中, FEHECD,FH=ED. (2)设AE=a,则ED=FH=4-a, SAEF=AE FH=a(4-a)=-(a-2)2+2, 当AE=2时,AEF的面积最大. , , , FEHECD FHED EFCE 1 2 1 2 1 2 一、利用“垂线段最短”求最值一、利用“垂线段最短”求最值 教师专用题组 1.(2018秦皇岛海港期末,7)直线y=x-3与x轴,y轴分别交于A,B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上 的一动点,连接PA,PB,则PAB面积最大值是( ) A.8 B.12 C. D. 3 4
9、 21 2 17 2 答案答案 C 当x=0时,y=-3,点B的坐标为(0,-3); 当y=0时,x-3=0,x=4,点A的坐标为(4,0). AB=5. 过C作CDAB,垂足为D,延长DC交C于点P, 此时PAB的面积取最大值. BDC=AOB=90,ABO=CBD, CBDABO,=, =,CD=. SPAB的最大值=5=,故选C. 3 4 22 34 BC AB CD OA 4 54 CD16 5 1 2 16 1 5 21 2 2.(2018江苏苏州,18,3分)如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱 形APCD和菱形PBFE,点P,C,E在
10、一条直线上,DAP=60.M,N分别是对角线AC,BE的中点.当点P在线段 AB上移动时,点M,N之间的距离最短为 (结果保留根号). 答案答案 2 3 解析解析 连接PD、DF、PF, 在菱形APCD和菱形PBFE中,M,N分别是对角线AC,BE的中点, PD经过点M,PF经过点N,且M,N分别是PD,PF的中点, MN是PDF的中位线, MN=FD, 当FD最短时,MN最短, 由题意可知点D在直线AD上,根据垂线段最短可知当FDAD时,FD最短. ADBF,DAP=60,AB=8, FD的最小值为AB sin 60=8=4, MN的最小值为FD=2. 1 2 3 2 3 1 2 3 3.(
11、2016山东东营,14,3分)如图,在RtABC中,B=90,AB=4,BCAB,点D在BC上,以AC为对角线的所有平 行四边形ADCE中,DE的最小值是 . 答案答案 4 解析解析 四边形ADCE是平行四边形,AEDC.易知当DEBC时,DE最短,此时DE=AB=4. 二、利用“轴对称”求最值二、利用“轴对称”求最值 1.(2018新疆,9,5分)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边上的 中点,则MP+PN的最小值是( ) A. B.1 C. D.2 1 2 2 答案答案 B 如图,取AD的中点M,连接MN,MP,则有MP=MP.MP+PN的最
12、小值为线段MN的长,即菱形边 长1.故选B. 思路分析思路分析 先确定M关于直线AC的对称点M,再借助两点之间线段最短来确定线段和的最小值. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要借助轴对称将MP+PN转化为MP+PN,进而借助两点之间线段最短来解 决. 2.(2017山东泰安,24,3分)如图,BAC=30,M为AC上一点,AM=2,点P是AB上的一动点,PQAC,垂足为点 Q,则PM+PQ的最小值为 . 答案答案 3 解析解析 作点M关于AB的对称点N,过N作NQAC于Q,交AB于P, 则NQ 的长即为PM+PQ的最小值, 设MN与AB交于点D,则MDAB,DM=DN, NPB=APQ,N=
13、BAC=30, BAC=30,AM=2,MD=AM=1,MN=2, NQ=MN cosN=2=. 1 2 3 2 3 即PM+PQ的最小值为. 3 三、利用“隐形圆”求最值三、利用“隐形圆”求最值 1.(2020广东,17,4分)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠, 等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,ABC =90,点M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别 为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 . 答案答案 2-2 5
14、 解析解析 连接BE,在此滑动过程中,MN的长度始终保持不变,ABC=90,BE=MN,长度也始终保持不 变.显然点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上.如图,当B、D、E三点共线时,DE有最小值. ABC=90,MN=4,E为MN的中点,BE=2. 点D到BA,BC的距离分别为4和2, BD=2, DE最小值=BD-BE=2-2. 1 2 1 2 22 425 5 解题关键解题关键 确定猫与老鼠的距离DE的最小值需判断点E的运动轨迹,利用直角三角形斜边的中线等于 斜边的一半确定点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上是解题的关键. 1 2 2.(2018石家庄长安质检,19)如图,在R
15、tABC中,ACB=90,BC=2,AC=6,在AC上取一点D,使AD=4,将线 段AD绕点A按顺时针方向旋转,点D的对应点是点P,连接BP,取BP的中点F,连接CF,当点P旋转至CA的延 长线上时,CF的长是 ;在旋转过程中,CF的最大长度是 . 答案答案 ;+2 2610 解析解析 当点P旋转到CA延长线上时,PC=10, BP=2, 在RtBCP中,CF是斜边PB上的中线, CF=BP=. 取线段AB的中点为O, F为PB的中点, OF=AP,也就是说点F到定点O的距离永远等于AP的一半, 即点F在以点O为圆心,2为半径的圆上. AC=6,BC=2,AB=2, OC=AB=, 故在旋转过
16、程中,CF的最大长度是+2. 22 PCBC 22 10226 1 2 26 1 2 22 6210 1 2 10 10 四、数形结合法求最值四、数形结合法求最值 1.(2019山东潍坊,17,3分)如图,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当 PAB的周长最小时,SPAB= . 答案答案 12 5 解析解析 联立直线与抛物线的解析式得方程组解得或 点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5), AB=3, 作点A关于y轴的对称点A,则A(-1,2),连接AB与y轴交于P,则当点P与P重合时,PAB的周长最小, 设直线AB的解析式为y=kx+b,k
17、0, 则解得 直线AB的解析式为y=x+, 当x=0时,y=, 2 1, -45, yx yxx 1, 2 x y 4, 5, x y 22 (5-2)(4-1)2 -2, 45, kb kb 3 , 5 13 , 5 k b 3 5 13 5 13 5 即点P的坐标为, 将x=0代入y=x+1中,得y=1, 直线y=x+1与y轴的夹角是45, 点P到直线AB的距离是sin 45=, PAB的面积是=. 当PAB的周长最小时,SPAB=. 13 0, 5 13 -1 5 8 5 2 2 4 2 5 4 2 3 2 5 2 12 5 12 5 2.(2017云南,23,12分)已知AB是O的直径
18、,PB是O的切线,C是O上的点,ACOP,M是直径AB上的动 点,A与直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值为f. (1)求证:PC是O的切线; (2)设OP=AC,求CPO的正弦值; (3)设AC=9,AB=15,求d+f的取值范围. 3 2 解析解析 (1)证明:如图1,连接OC, OA=OC,A=OCA, ACOP,A=BOP,ACO=COP, COP=BOP, PB是O的切线,OBP=90. 在POC与POB中, COPBOP,OCP=OBP=90, PC是O的切线. , , , OCOB COPBOP OPOP 图1 (2)如图1,过O作ODAC于D,
19、 则ODC=OCP=90,CD=AC, ACOP, OCA=COP,ODCPCO, 1 2 =,CD OP=OC2, OP=AC,OP=3CD,即CD=OP, OP OP=OC2,=, sinCPO=. (3)解法一:如图1,连接BC, AB是O的直径,ACBC, AC=9,AB=15,BC=12, A与直线CM上的点连线距离的最小值即为点A到直线CM的垂线段的长,B与直线CM上的点连线距离的 最小值即为点B到直线CM的垂线段的长. 当M与A重合时,d=0, f=BC=12,d+f=12, 当CMAB时,d=AM, f=BM,d+f=AB=15, CD OC OC PO 3 2 1 3 1 3 OC OP 3 3 OC OP 3 3 22 -AB AC 当M与B重合时,d=9, f=0,d+f=9, d+f的取值范围是9d+f15. 解法二:如图2,过点A作AE直线MC于点E,则AE=d,过点B作BF直线MC于点F,则BF=f,延长AE交O 于点G,连接BG, AB是O的直径,AGBG, 四边形BGEF是矩形,EG=BF, d+f=AE+BF=AE+EG=AG, ACAGAB,9d+f15. 图2
