1、 中考数学 （广东专用） 6.2 图形的相似 考点 相似三角形的判定与性质 A组 20162020年广东中考题组 1.(2018广东,7,3分)在ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则ADE与ABC的面积之比为 ( ) A. B. C. D. 1 2 1 3 1 4 1 6 答案答案 C 因为D、E分别是边AB、AC的中点,故DE是ABC的中位线,所以DEBC,所以ADE ABC,且相似比是,所以它们的面积比是.故选C. 1 2 1 4 解题关键解题关键 本题考查了三角形中位线的性质,相似三角形的性质.熟练运用“相似三角形的面积比等于 相似比的平方”这个性质是解题的关键. 2.(201
2、8深圳,16,3分) 如图,在RtABC中,C=90,AD平分CAB,BE平分ABC,AD、BE相交于点F,若AF=4,EF=,则AC= . 2 解析解析 AD平分BAC,BE平分ABC, BAF=BAC,ABF=ABC. ACB=90, 1 2 1 2 答案答案 8 10 5 BAC+ABC=90, BAF+ABF=BAC+ABC=45, AFE=45. 过点E作EGAD于G,连接CF,如图所示. EF=, EG=FG=1. AF=4, AG=3.AE=. ACF=45=AFE,FAC=EAF, ACFAFE, =, AC=. 1 2 1 2 2 10 AE AF AF AC 2 AF AE
3、 16 10 8 10 5 方法总结方法总结 本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质定理、锐角三角函数和勾股定理. 添加辅助线构造相似或全等三角形是常用的解题手段之一;添加辅助线构造直角三角形是运用勾股定 理或锐角三角函数求线段长的常用方法. 3.(2017深圳,16,3分)如图,在RtABC中,ABC=90,AB=3,BC=4,RtMPN中,MPN=90,点P在AC上, PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP= . 答案答案 3 解析解析 如图,作PQAB于点Q,PRBC于点R. 由等量代换,易得QPE=RPF,QPERPF. 又PE=2PF,PQ=2PR=2B
4、Q. 在RtABC中,AB=3,BC=4,AC=5. 易证AQPABC, AQQPAP=ABBCAC=345. 记PQ=4x,则AQ=3x,PR=BQ=2x. =,AP=AC=3. AP AC AQ AB 3 5 x x 3 5 3 5 4.(2018广州,16,3分)如图,直线CE是ABCD的边AB的垂直平分线,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点 E.连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F.则下列结论: 四边形ACBE是菱形; ACD=BAE; AFBE=23; S四边形AFOESCOD=23. 其中正确的结论有 .(填写所有正确结论的序号) 答案答案 解析解析 由直线CE是边AB的垂直
5、平分线可得AC=CB,所以CAB=CBA,由四边形ABCD是平行四边形 可得ABCD,ADBC,所以CAB=ACD,BAE=CBA,所以CAB=ACD=BAE,故正确.由 CAO=EAO,AO=AO,AOC=AOE可得AOCAOE,从而AE=AC,又AC=BC,所以AE=BC,又AE CB,所以四边形ACBE是平行四边形,又AC=BC,所以四边形ACBE是菱形,故正确.由AOCD,可得= =,=,故错误.设SAFO=S,由=,可得SCFO=2S,再根据AFOCFD可得 SDFC=4S,所以SCOD=6S,SCOA=3S=SAOE,所以S四边形AFOE=4S,所以S四边形AFOESCOD=4S6
6、S=23,故正确. AF FC AO DC EO EC 1 2 AF BE AF AC 1 3 AF FC 1 2 思路分析思路分析 可先证明四边形ACBE是平行四边形,再证明AC=BC,即可证明四边形ACBE是菱形,可知正 确;根据垂直平分线的性质、等边对等角、平行线的性质定理及等量代换去分析;利用相似三角形的 性质去分析和. 5.(2017广州,16,3分)如图,在平面直角坐标系中,O是原点,OABC的顶点A,C的坐标分别是(8,0),(3,4),点 D,E把线段OB三等分,延长CD,CE分别交OA,AB于点F,G,连接FG,则下列结论: F是OA的中点;OFD与BEG相似;四边形DEGF
7、的面积是;OD=.其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号) 20 3 4 5 3 答案答案 解析解析 作ANOB,分别交FG、OB于点Q、N,作BMx轴,交x轴于点M. 在OABC中,A(8,0),C(3,4), B(11,4),OB=. 137 点D、E把线段OB三等分, =. CBOF,ODFBDC, =,OF=BC=OA, OD BD 1 2 OF BC OD BD 1 2 1 2 1 2 F是OA的中点,故正确. C(3,4),OC=5OA, OABC不是菱形,DOFCOD=EBG. F(4,0),C(3,4),CF=COF, DFOEBG. ODF=COD+OCD, ODFCO
8、D=EBG,故OFD与BEG不相似,故错误. 由得,点F是OA的中点,同理可得点G是AB的中点, FG是OAB的中位线, FGOB,NQ=AQ,FG=OB. 点D,E是线段OB的三等分点,DE=OB. 17 1 2 1 3 SOAB=OB AN=OA BM=84=16, OB AN=32. DEFG,四边形DEGF是梯形, S四边形DEGF=OB NQ=OBAN=,故正确. OD=OB=,错误. 综上,正确. 1 2 1 2 1 2 () 2 DEFGNQ5 12 5 12 1 2 20 3 1 3 137 3 6.(2016广州,23,12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3
9、与x轴交于点C,与直线AD交于点A ,点D的坐标为(0,1). (1)求直线AD的解析式; (2)直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点(不与点B重合),当BOD与BCE相似时,求点E的 坐标. 4 5 , 3 3 解析解析 (1)设直线AD的解析式为y=kx+b(k0), 把点A,D(0,1)的坐标代入y=kx+b, 得解得 直线AD的解析式为y=x+1. (2)BOD与BCE相似,且BOD是直角三角形, BCE也是直角三角形. 在BCE中,EBC为锐角,BCE是直角三角形分两种情况:BCE=90或BEC=90. 如图1,过点C作CEx轴交直线BD于点E,此时BODBCE,BOD=
10、BCE=90. 4 5 , 3 3 45 , 33 1. kb b 1 , 2 1, k b 1 2 图1 将y=0代入y=-x+3,得-x+3=0, x=3,C(3,0). 将x=3代入y=x+1,得y=3+1=,E. 1 2 1 2 5 2 5 3, 2 如图2,过点C作CEBD于点E,过点E作EHx轴于H,此时BODBEC,BOD=BEC=90. 图2 把y=0代入y=x+1,得x+1=0,x=-2, B(-2,0),OB=2.D(0,1),OD=1. EBC+BEH=BEH+HEC=90, EBC=HEC,即DBO=HEC, tanDBO=tanHEC. tanDBO=,tanHEC=
11、,= . 1 2 1 2 OD OB CH EH OD OB CH EH 点E在直线y=x+1上, 设E,则点H(x,0). 又点C(3,0),CH=3-x,EH=x+1. =,=,解得x=2. 经检验x=2是原方程的解. x+1=2+1=2,E(2,2). 综上所述,当BOD与BCE相似时,点E的坐标为或(2,2). 1 2 1 ,1 2 xx 1 2 OD OB CH EH 1 2 3- 1 1 2 x x 1 2 1 2 5 3, 2 思路分析思路分析 (1)用待定系数法求直线AD的解析式; (2)分类讨论,求点E的坐标. 易错警示易错警示 只考虑BEC=90的情形,忽略了BCE=90的
12、情形,造成漏解. 7.(2017广东,25,9分)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A、C的坐标分别是A(0, 2)和C(2,0),点D是对角线AC上一动点(不与A、C重合),连接BD,作DEDB,交x轴于点E,以线段DE、 DB为邻边作矩形BDEF. (1)填空:点B的坐标为 ; (2)是否存在这样的点D,使得DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由; (3)求证:=; 设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用的结论),并求出y的最小值. 3 DE DB 3 3 解析解析 (1)(2,2). (2)存在.AD=2或
13、AD=2. AO=2,CO=2,OCA=30,AC=4. 当点E在线段OC上,如题图(1),DE=EC时, EDC=30,BDC=60. 又OCA=30, DCB=60,BDC是等边三角形, DC=BC=2,AD=2. 当点E在OC的延长线上,如题图(2),DC=CE时,CDE=15,CDB=105,ADB=75. 又DAB=30,ABD=75,AD=AB=2. (3)证明:过点D作MNOC,分别交AB,OC于点M,N. 3 3 3 3 BDE=90,MDB+NDE=90. NDE+DEN=90,MDB=DEN. 又DMB=DNE=90, ENDDMB, =tan 30=. AD=x,DM=,
14、AM=,BM=2-, DE BD DN BM DN CN 3 3 2 x3 2 x 3 3 2 x BD2=BM2+DM2=+=x2-6x+12, y=DE DB=DB2=(x2-6x+12)=(x-3)2+. 0x0, CRPQ,CRFG,PQFG. ABFG,PQAB,又ACBQ, 四边形ABQC为平行四边形, AB=CQ=10, 在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即5a2=100, a=2或a=-2(舍),AC=2,BC=4, CJ=4, JR=AF=AB=10,CR=CJ+JR=14.故选A. 5555 AC BC AB 2 54 5 10 思路分析思路分析 连接EC,CH,设A
15、B交CR于点J,利用正方形的性质,得ACE=BCH=45.据此推出E,C,H和A, C,I分别共线,再证明ECPHCQ,利用相似三角形的对应边成比例,求出PC,CQ的长,利用平行四边 形的判定和性质可得AB=CQ,再利用勾股定理求出AC,BC的长,然后利用三角形的面积求出CJ的长,然后 可求出CR的长. 2.(2020吉林,13,3分)如图,在ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.若ADE的面积为,则四边形DBCE 的面积为 . 1 2 答案答案 3 2 解析解析 D,E分别是边AB,AC的中点,DE是ABC的中位线, DEBC,DE=BC,ADEABC,=. SADE=,SABC=2,四
16、边形DBCE的面积为2-=. 1 2 ADE ABC S S 2 2 DE BC 1 4 1 2 1 2 3 2 3.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBE DBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为 . 答案答案 3或 6 5 解析解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10.根据PBEDBC可 知P点在线段BD上.当AD=PD=8时,由相似可得=PE=;当AP=PD时,P点为BD的中点,PE =CD=3.故答案为3或. 22 68 PE CD BP BD 2 10 6 5 1 2
17、6 5 思路分析思路分析 根据已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两种情况:AD=PD= 8;AP=PD,最后由相似三角形对应边的比相等求解即可. 难点突破难点突破 判断P点在线段BD上是解答本题的突破口. 4.(2017辽宁鞍山,16,3分)在ABC中,AB=AC=6,A=2BDC,BD交AC边于点E,且AE=4,则BE DE= . 答案答案 20 解析解析 延长CA到F,使得AF=AB,连接BF, 则F=ABF=BAC. BAC=2BDC,F=BDC. 又FEB=DEC,FEBDEC,=. AE=4,AB=AC=6,EF=10,CE=2, =,BE DE=20. 1
18、2 BE CE FE DE 2 BE10 DE 5.(2020山西,15,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=3,BC=4,CDAB,垂足为D,E为BC的中点,AE与 CD交于点F,则DF的长为 . 答案答案 54 85 解析解析 作PAAC交CD的延长线于P点,如图所示,在RtABC中,AB=5,cos B=,tan B=,又 CDAB,B=DCA,在RtACD中,cosDCA=,CD=,在RtACP中,由cosDCA= =可得CP=,由tanDCA=可得PA=,BCAC,BCPA,CEFPAF,= ,又E为BC的中点,CE=BC=2,=,解得CF=,DF=CD-CF=-=. 2
19、2 BCAC 4 5 3 4 CD AC 4 5 12 5 AC CP 4 5 15 4 PA AC 3 4 9 4 CE AP CF PF 1 2 2 9 4 15 - 4 CF CF 30 17 12 5 30 17 54 85 思路分析思路分析 作PAAC交CD的延长线于P点,在RtABC中分别求出cos B,tan B,由CDAB易推出B= DCA,然后在RtACD中,利用cosDCA=求出CD,在RtACP中,利用cosDCA=求出CP,利用tan DCA=求出AP,最后根据CEFPAF求出CF,则DF=CD-CF,即可求解. 4 5 4 5 3 4 难点突破难点突破 本题的突破口是
20、作辅助线构造CEFPAF,然后利用相似三角形的性质及锐角三角函数 求出CD、AP、CF、CP. 6.(2016湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,则BD长为 . 5 答案答案 2 41 解析解析 如图,连接AC,过点D作DEBC,交BC的延长线于E.ABC=90,AB=3,BC=4,AC=5.CD=10, DA=5,AC2+CD2=AD2,ACD=90, ACB+DCE=90, 又ACB+BAC=90,BAC=DCE, 又ABC=DEC=90,ABCCED,=,即=,CE=6,DE=8.在RtBED 中,BD=2. 5 AC
21、CD AB CE BC DE 5 10 3 CE 4 DE 22 BEDE 22 (46)841 7.(2018贵州贵阳,15,4分)如图,在ABC中,BC=6,BC边上的高为4,在ABC的内部作一个矩形EFGH,使 EF在BC边上,另外两个顶点分别在AB,AC边上,则对角线EG长的最小值为 . 答案答案 12 13 13 解析解析 如图,作AMBC于点M,交HG于点N,设HE=x.由题意知,AM=4,BC=6. 四边形EFGH是矩形,HGEF, AHGABC, =,即=,HG=, EG2=HG2+HE2=+x2 AN AM HG BC 4- 4 x 6 HG12-3 2 x 2 12-3 2
22、 x 思路分析思路分析 设HE=x,利用相似三角形的性质用x表示HG的长,利用勾股定理,用x表示出EG2,求EG2的最小 值即可得EG的最小值. =+(0x0),则EC=a-2,FC=a-3.EF2=EC2+FC2,52=(a-2)2+(a-3)2, 解得a=6(舍去负值),AB=AD=6,BD=6. 过点A作AKBD于K,如图2,则AK=3. 图2 AMNAFE,=.AG=AB=6, 2 2 MN EF AK AG =,MN= ,故正确. 综上,正确结论的个数是4. 5 MN3 2 6 5 2 2 解题关键解题关键 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,旋转
23、的性质. 通过证得三角形全等求得线段和角分别相等是解题的关键. 6.(2020深圳大鹏新区一模,12)已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点,若点M在AB上,且满 足PBCPAM,延长BP交AD于点N,连接CM.分析下列结论:APBN;BM=DN;点P一定在以 CM为直径的圆上;正方形内不存在点P使得PC=.其中结论正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5-1 2 答案答案 C 四边形ABCD是正方形, AB=BC=CD=AD,DAB=ABC=BCD=D=90. PBCPAM,PAM=PBC,=. PBC+PBA=90,PAM+PBA=90, APB=90,APBN,
24、故正确. ABP=NBA,APB=NAB=90, BAPBNA,=,=. AB=BC,AM=AN, AB-AM=AD-AN,BM=DN,故正确. PBCPAM, APM=BPC,CPM=APB=90, 点P一定在以CM为直径的圆上,故正确. 假设存在满足条件的点P. PM PC AM BC PA PB PA PB AN AB AN AB AM BC 由得APB=90, 点P在以AB为直径的圆上. 以点C为圆心,为半径画圆,以AB的中点O为圆心,OA的长为半径画圆,如图所示. CO=,+=, 两个圆外切,若存在满足条件的点P,则点P为两圆的公切点. 只要作APM=BPC,即作PMPC交AB的延长
25、线于点M,就可满足PBCPAM, 5-1 2 22 BCOB 2 2 1 1 2 5 2 5-1 2 1 2 5 2 正方形内存在点P使得PC=,故错误.综上所述,结论正确的个数是3. 5-1 2 解题关键解题关键 本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论、正方形的性质、两圆的位置关 系等知识.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 二、填空题(共3分) 7.(2020深圳宝安二模,16)如图,在正方形ABCD中,AB=2,M为CD的中点,N为BC的中点,连接AM和DN交于 点E,连接BE,作AHBE于点H,延长AH与DN交于点F,连接BF并延长与CD交于点G,则MG的长度为
26、. 答案答案 1 3 解析解析 如图,分别延长AB,DN交于点P. 在正方形ABCD中,AB=2,M为CD的中点,N为BC的中点, BN=CN=1,DM=1, AD=2,DM=1, AM=. BCAD,PBNPAD, =,=, BP=AB=2,AP=4, DP=2. DM=CN=1,ADM=C=90,AD=DC, ADMDCN(SAS), DN=AM=,DAM=CDN. ADN+CDN=90, DAM+ADN=DEM=90,DNAM. 22 ADDM415 BP AP BN AD 1 22 BP BP 1 2 22 ADAP4165 5 SADM=AD DM=AM DE, DE=. AB=BP
27、,AEP=90, BE=AB=BP=2,AEB=BAE. BAE+DAE=90,DAE+ADE=90, ADE=BAE=AEB, 90-ADE=90-AEB, DAE=EAF. 又AE=AE,AED=AEF=90, ADEAFE(ASA), DE=EF=,DF=,FP=DP-DF=. DCAB,DFGPFB, 1 2 1 2 2 1 5 2 5 5 2 5 5 4 5 5 6 5 5 =,=,DG=, MG=DG-DM=. DG PB DF PF2 DG 4 5 5 6 5 5 4 3 1 3 解题关键解题关键 添加恰当的辅助线,构造相似三角形是解决本题的关键. 三、解答题(共24分) 8.(
28、2020广州一模,25)如图,在四边形ABCD中,ACBD于点E,AB=AC=BD,点M为BC中点,N为线段AM上 的点,且MB=MN. (1)求证:BN平分ABE; (2)若BD=1,连接DN(如图),当四边形DNBC为平行四边形时,求线段BC的长; (3)若点F为AB的中点,连接FN、FM(如图),求证:MFN=BDC. 解析解析 (1)证明:AB=AC,M是BC的中点, ABC=ACB,AMBC. 在RtABM中,MAB+ABC=90, 在RtCBE中,EBC+ACB=90, MAB=EBC. MB=MN,MBN是等腰直角三角形, MNB=MBN=45, EBC+NBE=MAB+ABN=
29、MNB=45, NBE=ABN,即BN平分ABE. (2)设BM=CM=MN=a(a0). 四边形DNBC是平行四边形, DN=BC=2a. 在ABN和DBN中, , , , ABDB ABNDBN BNBN ABNDBN(SAS),AN=DN=2a. 在RtABM中,由AM2+MB2=AB2,可得(2a+a)2+a2=1,解得a=(负值舍去), BC=2a=. (3)证明:F是AB的中点, 在RtMAB中,MF=AF=BF, MAB=FMN. 又MAB=CBD, FMN=CBD. =,即=, MFNBDC, MFN=BDC. 10 10 10 5 MF AB MN BC 1 2 MF BD
30、MN BC 解题关键解题关键 本题是四边形的综合题,解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平 行四边形的性质及全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识点. 9.(2019佛山禅城一模,24)如图,在O中,直径ABCD,垂足为点E,点M在OC上,AM的延长线交O于 点G,交过点C的直线于点F,连接CB,交DG于点N,1=2. (1)求证:CF是O的切线; (2)求证:ACMDCN; (3)若点M是CO的中点,O的半径为4,cosBOC=,求BN的长. 1 4 解析解析 (1)证明:在BCO中,BO=CO, B=BCO. ABCD,BEC=90,2+B=90. 又1=2, 1+BC
31、O=2+B=90, 即FCO=90, CF是O的切线. (2)证明:如图, AB是O的直径, ACB=90,ACB=FCO, ACB-BCO=FCO-BCO, 即3=1. 又1=2,3=2. 又4=D, ACMDCN. (3)O的半径为4,即AO=CO=BO=4. 在RtCOE中,cosEOC=, OE=CO cosEOC=4=1, BE=3,AE=5. CE=, 1 4 1 4 22 -CO EO 22 4 -115 AC=2, BC=2. AB是O的直径,ABCD, 由垂径定理得CD=2CE=2. 点M是CO的中点,CM=CO=4=2. ACMDCN, =, CN=, BN=BC-CN=2-=. 22 CEAE 22 ( 15)5 10 22 CEBE 22 ( 15)36 15 1 2 1 2 CM CN AC CD CM CD AC 22 15 2 10 6 666 思路分析思路分析 (1)根据切线的判定定理,由1+BCO=90即可证明; (2)利用已知得出3=2,4=D,再利用相似三角形的判定方法即可证明; (3)根据已知得出OE的长,进而得出EC,AC,BC的长,由垂径定理可得出CD的长,利用(2)中相似三角形的 性质得出CN的长,可得结果.
