1、 中考数学 （福建专用） 8.4 代数综合题 1.(2020北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a0)上任意两点,其中 x13,都有y1y2,求t的取值范围. 解析解析 (1)由抛物线的性质可知,只有当点M(x1,y1),N(x2,y2)关于抛物线的对称轴直线x=1对称时,才有y1=y2. x13,x1. 故当t时,只需讨论x2t的情况. 当x1t3,t, x1+x22t. 抛物线的对称轴为直线x=t,且x1t, t2t-x10, y1y2,符合题意. 当tx10, y13,都有y1时,令x1=,x2=t,此时x1+x23
2、,但y1y2,不符合题意. 综上所述,t的取值范围是t.(6分) 3 2 3 2 3 2 3 2 思路分析思路分析 本题第(2)问需要考虑抛物线的对称轴与x1,x2的关系,因为a0,所以越靠近对称轴,函数值越 小. 解题关键解题关键 解决本题的关键是借助x1+x23,x1,从而分t,t进行分类讨论. 3 2 3 2 3 2 2.已知抛物线y=x2+bx+c(bc0). (1)若该抛物线的顶点坐标为(c,b),求其解析式; (2)点A(m,n),B,C(m+6,n)在抛物线y=x2+bx+c上,求ABC的面积; (3)在(2)的条件下,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于D(x1,0),E(x2,
3、0)(x1x2)两点,且0x1+x23,求b的取值范围. 3 1, 8 mn 1 3 解析解析 (1)由题意得,抛物线的对称轴是x=-=c, b=-2c. 抛物线的解析式为y=x2-2cx+c. 抛物线过顶点(c,-2c), c2-2c2+c=-2c. 化简得c2-3c=0. 解得c1=0(不合题意,舍去),c2=3. b=-2c=-6. 抛物线的解析式为y=x2-6x+3. (2)由题意得抛物线的对称轴为直线x=m+3. 设抛物线的顶点为(m+3,k). 则抛物线的解析式为y=(x-m-3)2+k. 抛物线过A(m,n),B两点, 2 b 3 1, 8 mn 解得 SABC=ACn=65=1
4、5. (3)由(2)可知抛物线的解析式为y=(x-m-3)2-1. 令y=0,得(x-m-3)2-1=0. x1x2, x1=m+2,x2=m+4. 0x1+x23, 0m+2+(m+4)3. 解得-m-. 9, 3 4, 8 kn kn 1, 8, k n 1 2 5 8 1 2 1 3 1 3 5 2 1 4 -=m+3, -b0,h=1,当txt+3时,二次函数y1=a(x-h)2+2的最小值为2,求t的取值范围; (3)点P为抛物线的顶点,Q为抛物线与直线l的另一个交点,当1k3时,若线段PQ(不含端点P,Q)上至少 存在一个横坐标为整数的点,求a的取值范围. 解析解析 (1)证明:易
5、知抛物线y1=a(x-h)2+2的顶点坐标为(h,2).(2分) 当x=h时,y2=kh-kh+2=2, 直线l恒过抛物线C的顶点(h,2).(4分) (2)h=1, 抛物线的顶点坐标为(1,2). 当txt+3时,二次函数y1=a(x-1)2+2的最小值为2, t1t+3, -2t1.(9分) (3)线段PQ(不含端点P,Q)上至少存在一个横坐标为整数的点,有以下两种情况: 若a0,则x=h+1时,有y2y1, 即k(h+1)-kh+2a(h+1-h)2+2, ak. 1k3, 0a1.(12分) 若a0,则x=h-1时,有y2y1, k(h-1)-kh+2-k. 1k3, -3-k-1,
6、-1a0. 综上所述,a的取值范围是0a1或-1a0.(14分) 4.(2019泉州一检,24)如图,已知直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点B、A,点P是y轴上一动点,PQAB于 点Q,点A的坐标为(0,3). (1)求直线AB的解析式; (2)若=,求点P的坐标; (3)当点P在y轴负半轴上时,连接BP、OQ,分别取BP、OQ的中点E、F,连接EF交PQ于点G,当OQBP时, 求证:PB2=2PG PQ. 3 4 AQ AB 4 5 解析解析 (1)直线y=x+b过点A(0,3), b=3. 直线AB的解析式为y=x+3.(3分) (2)在y=x+3中, 令y=0,则x=-4, B(-4,
7、0). 在RtOAB中,OA=3,OB=4,由勾股定理得AB=5. =, AQ=AB=5=4.(4分) 当点Q在y轴的左侧时, PQAB,OBOA, 3 4 3 4 3 4 AQ AB 4 5 4 5 4 5 PQA=AOB=90, 又BAO=PAQ, PAQBAO, =, =,解得AP=. OP=-3=. 点P的坐标为.(6分) 当点Q在y轴的右侧时, 同可得AP=, OP=+3=, AQ AO AP AB 4 3 5 AP20 3 20 3 11 3 11 0, 3 20 3 20 3 29 3 点P的坐标为. 综上,点P的坐标为或.(8分) (3)证明:如图,连接QE、OE. 在RtBP
8、Q中,EQ是RtBPQ斜边BP上的中线, EQ=BP,同理,EO=BP. EQ=EO,即EQO是等腰三角形. 29 0, 3 11 0, 3 29 0, 3 1 2 1 2 又EF是EQO的中线, EFOQ.(9分) QFE=90. OQBP, GEP=QFE=90, GEP=PQB, 又BPQ=GPE, BPQGPE,(11分) =, PE PB=PG PQ, PE=PB,PB PB=PG PQ. PB2=2PG PQ.(13分) PE PQ PG PB 1 2 1 2 5.(2020三明二检,25)如图,抛物线y=x2+mx(m0)过点B,且与抛物线交于另一点D(点D与点A不重合),交y轴
9、于点C.过点C作CEAB交 x轴于点E. (i)若OBA=90,23,求k的取值范围; (ii)求证:DEy轴. CE AB 解析解析 (1)y=x2+mx=-, 点B的坐标为.(1分) 由x2+mx=0,得x=0或x=-m, A(-m,0). OA=-m.(2分) SOAB=OA |yB|= (-m)=-m3.(4分) (2)(i)作BFx轴于点F, 则AFB=EOC=90. 2 2 m x 2 4 m 2 , 24 mm 1 2 1 2 2 4 m1 8 CEAB, OEC=FAB, EOCAFB. =. 23, 23.(6分) OC BF CE AB CE AB OC BF 抛物线的顶点
10、坐标为B,OBA=90, OAB为等腰直角三角形. -=. m0, m=-2. B(1,-1). BF=1, 2OC3.(7分) 点C为直线y=kx+b与y轴的交点, 2-b0)过点B, k+b=-1, -b=k+1. 2 , 24 mm 2 m 2 4 m 2k+13, 1k0)过点B, -+b=-. b=-=, y=kx+. C.(10分) 由x2+mx=kx+,得 2 , 24 mm 2 mk 2 4 m 2 mk 2 4 m 2 2 4 mkm 2 2 4 mkm 2 2 0, 4 mkm 2 2 4 mkm x2+(m-k)x-=0, =(m-k)2+4=k20, 解得x1=-,x2
11、=, 点D不与点B重合, 点D的横坐标为.(11分) 设直线AB的表达式为y=px+q, 则解得 直线AB的表达式为y=-.(12分) 2 2 4 mkm 2 2 4 mkm 2 m2 2 km 2 2 km 2 0, , 24 pmq pmm q 2 , 2 , 2 m p m q 2 mx 2 2 m 直线CEAB,且过点C, 直线CE的表达式为y=-+. E.(13分) 点D和点E的横坐标相同. DEy轴.(14分) 2 mx 2 2 4 mkm 2 ,0 2 km 6.(2018莆田质检,25)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A、B两点,顶点为C,且ABC为等
12、腰直角三角形. (1)当A(-1,0),B(3,0)时,求a的值; (2)当b=-2a,a0). 把点B(3,0)代入可得a=. 1 2 1 2 图1 如图2,当C(1,2)时,可设y=a(x-1)2+2(a0). 把点B(3,0)代入可得a=-. 1 2 图2 综上所述,a=或-. 1 2 1 2 1 2 1 2 (2)(i)当b=-2a时,y=ax2-2ax+c=a(x-1)2+c-a. C(1,c-a), B(1+c-a,0). a(c-a)2+c-a=0, 即(c-a)(ac-a2+1)=0. c-a0, c=a-. y=a(x-1)2-. (ii)解法一:-1x3,a-. 整理得8a
13、21,-ay3在-1x3的范围内恒成立. a(x1-1)2-+a(x2-1)2-a(x3-1)2-, 整理得(x1-1)2+(x2-1)2-(x3-1)2. 等价于(x1-1)2+(x2-1)2-(x3-1)2的最大值小于. 1 4a a 1 a 2 4 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 1 a 2 1 a 当x1=x2=-1时,(x1-1)2+(x2-1)2取最大值8, 当x3=1时,(x3-1)2取最小值0. 此时(x1-1)2+(x2-1)2-(x3-1)2取最大值8. 8,整理得8a2-10. a0,-a0,xA,B=, b2-4bk0,xC,D=,(5分) 2 2
14、, , ykxaxa ykxbxb 1, , x yk 2 4 2 aaak k 2 4 2 bbbk k AB=,CD=.(6分) AB=CD, =, a2-4ak=b2-4bk, (a+b)(a-b)=4k(a-b), ab, a+b=4k. 又a2-4ak0,a2-a(a+b)0,得ab0. 故a+b=4k(ab0时, 若点C在点B的左侧,则AC=BC=BD,AB=CD, xC-xA=xB-xC, 2 4 | aak k 2 4 | bbk k 2 4 | aak k 2 4 | bbk k 2xC=xA+xB,(9分) 2=+, a-b=, (a-b)2=b2-4bk,又ab,整理得a2+b2-ab=0,(10分) 依题意b0,得-+1=0,=1-4=-3b,-16ab=a2-2ab+b2, 整理,得a2+14ab+b2=0,(13分) 依题意得b0,+14+1=0, 解得=-74. 由(2)得a+b=4k0且abb, a0b,且a-b, -1, =-7+4(舍去),则=-7-4. 2 4aak 2 a b a b a b 2 14144 2 3 a b a b 3 a b 3 当k0时,同理可得=-7-4. 综上所述,存在这样的函数y1,y2,使得B,C为线段AD的三等分点,且=-7-4.(14分) a b 3 a b 3
