1、 中考数学 （福建丏用） 第二章 方程（组）与不等式（组） 2.1 整式方程 20162020年全国中考题组 考点一 一元一次方程 1.(2020重庆A卷,7,4分)解一元一次方程(x+1)=1-x时,去分母正确的是( ) A.3(x+1)=1-2x B.2(x+1)=1-3x C.2(x+1)=6-3x D.3(x+1)=6-2x 1 2 1 3 答案答案 D 去分母是方程两边同乘最简公分母6,所以D正确,故选D. 易错警示易错警示 方程两边同乘一个不为0的数时,每一项都应该乘这个数. 2.(2019福建,8,4分)增删算法统宗记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问君每
2、日读多少?”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部孟子,每天阅读的字数是前一天的两倍,问 他每天各读多少个字?已知孟子一书共有34 685个字,设他第一天读x个字,则下面所列方程正确的 是( ) A.x+2x+4x=34 685 B.x+2x+3x=34 685 C.x+2x+2x=34 685 D.x+x+x=34 685 1 2 1 4 答案答案 A 由题意知第二天读2x个字,第三天读4x个字,则x+2x+4x=34 685.故选A. 解题关键解题关键 本题考查了一元一次方程的应用.解题的关键是找出等量关系,并能用含未知数的代数式表 示出第二天,第三天的读字量. 3.(2016南平,9,
3、4分)闽北某村原有林地120公顷,旱地60公顷,为适应产业结构调整,需把一部分旱地改造 为林地,改造后,旱地面积占林地面积的20%,设把x公顷旱地改造为林地,则可列方程为( ) A.60-x=20%(120+x) B.60+x=20%120 C.120-x=20%(60+x) D.60-x=20%120 答案答案 A 根据题意可得60-x=20%(120+x). 4.(2016福州,22,8分)某班去看演出,甲种票每张24元,乙种票每张18元.如果35名学生购票恰好用去750元, 甲乙两种票各买了多少张? 解析解析 设甲种票买了x张,则乙种票买了(35-x)张. 由题意,得24x+18(35-
4、x)=750, 解得x=20.35-x=15. 答:甲种票买了20张,乙种票买了15张. 5.(2017湖北武汉,17,8分)解方程4x-3=2(x-1). 解析解析 去括号,得4x-3=2x-2, 移项,得4x-2x=3-2, 合并同类项,得2x=1, 系数化为1,得x=. 1 2 方法规律方法规律 解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 6.(2020福建,20,8分)某公司经营甲、乙两种特产,其中甲特产每吨成本价为10万元,销售价为10.5万元;乙 特产每吨成本价为1万元,销售价为1.2万元.由于受有关条件限制,该公司每月这两种特产的销售量之和 都是10
5、0吨,且甲特产的销售量都不超过20吨. (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元,问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各 多少吨? (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润. 解析解析 本题考查一元一次方程、一次函数的性质等基础知识,考查运算能力、应用意识,考查函数与方 程思想. (1)设这个月该公司销售甲特产x吨,则销售乙特产(100-x)吨. 依题意,得10 x+(100-x)=235, 解得x=15,则100-x=85. 经检验x=15符合题意. 所以,这个月该公司销售甲特产15吨,乙特产85吨. (2)设一个月销售甲特产m吨,公司获得的总利润为w万元, 则
6、销售乙特产(100-m)吨,且0m20. w=(10.5-10)m+(1.2-1)(100-m)=0.3m+20. 因为0.30,所以w随着m的增大而增大. 又因为0m20, 所以当m=20时,公司获得的总利润最大,为26万元. 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元. 一题多解一题多解 (1)设这个月该公司销售甲特产x吨,乙特产y吨, 依题意,得解得 x=1520,符合题意, 这个月该公司销售甲特产15吨,乙特产85吨. 100, 10235, xy xy 15, 85. x y 7.(2019重庆A卷,24,10分)某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅,50平
7、方米住宅套数是80平 方米住宅套数的2倍.物管公司每月月底按每平方米2元收取当月物管费,该小区全部住宅都入住且每户 均按时全额缴纳物管费. (1)该小区每月可收取物管费90 000元,问该小区共有多少套80平方米的住宅? (2)为建设“资源节约型社会”,该小区物管公司5月初推出活动一:“垃圾分类送礼物”,50平方米和80 平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动.为提高大家的积极性,6月份准备把活动一升级为活动 二:“垃圾分类抵扣物管费”,同时终止活动一.经调查与测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参 加活动二的住户会大幅增加,这样,6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动
8、的同户型户数 的基础上将增加2a%,每户物管费将会减少a%;6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动 的同户型户数的基础上将增加6a%,每户物管费将会减少a%.这样,参加活动的这部分住户6月份总共 缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%,求a的值. 3 10 1 4 5 18 解析解析 (1)设该小区共有x套80平方米的住宅,则有2x套50平方米的住宅,根据题意,得280 x+2502x= 90 000, 解这个方程,得x=250. 答:该小区共有250套80平方米的住宅.(4分) (2)6月份参加活动的50平方米这部分住户将减少的物管费是50040%(1+2a%)502
9、a%=20 000(1+ 2a%)a%(元), 6月份参加活动的80平方米这部分住户将减少的物管费是25020%(1+6a%)802a%=8 000(1+6a%) a%(元), 6月份参加活动的这部分住户将减少的物管费是50040%(1+2a%)502+25020%(1+6a%)802 a%(元), 3 10 3 10 1 4 1 4 5 18 即20 000(1+2a%)+8 000(1+6a%)a%(元). 根据题意,得20 000(1+2a%)a%+8 000(1+6a%)a%=20 000(1+2a%)+8 000(1+6a%)a%.(8 分) 设a%=m,化简,得2m2-m=0. 解
10、这个方程,得m1=,m2=0(舍). a=50. 答:a的值是50.(10分) 5 18 3 10 1 4 5 18 1 2 解题关键解题关键 本题数据较多,分清楚题目中的数量关系,根据等量关系列出方程是解题的关键. 考点二 一元二次方程 1.(2016厦门,2,4分)方程x2-2x=0的根是( ) A.x1=x2=0 B.x1=x2=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2 答案答案 C 易知x(x-2)=0,x=0或x-2=0,x1=0,x2=2.故选C. 2.(2016莆田,7,4分)关于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情况是( ) A.没有实数根 B.只有一个实数根
11、 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 答案答案 D =a2-41(-1)=a2+44,方程有两个不相等的实数根. 3.(2020广东广州,9,3分)直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 答案答案 D 直线y=x+a不经过第二象限,a0. 当a=0时,方程为2x+1=0,只有一个实数解; 当a0, 方程有两个解. 故方程有1个解或2个解.故选D. 易错警示易错警示 本题易将a=0的情况漏掉,从而错选C. 4.(2020辽宁营口,8,3分)一元二次方程x2-5x+6=0的解为( ) A.x1
12、=2,x2=-3 B.x1=-2,x2=3 C.x1=-2,x2=-3 D.x1=2,x2=3 答案答案 D 将方程x2-5x+6=0配方得-+6=0,整理得=,所以x=,解得x1=2,x2=3.故选 D. 2 5 2 x 25 4 2 5 2 x 1 4 5 2 1 2 一题多解一题多解 本题也可以使用十字相乘法.原方程可化为(x-2)(x-3)=0,所以x1=2,x2=3. 5.(2016福州,12,3分)下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是( ) A.a0 B.a=0 C.c0 D.c=0 答案答案 D 若一元二次方程ax2-4x+c=0有实数根, 则
13、=(-4)2-4ac=16-4ac0,且a0. ac4,且a0. A.若a0,则当a=1,c=5时,ac=54,故此选项不符合题意; B.a=0不符合一元二次方程的定义,故此选项不符合题意; C.若c0,则当a=1,c=5时,ac=54,故此选项不符合题意; D.若c=0,则ac=04, 故此选项符合题意.故选D. 易错警示易错警示 方程的根的情况应根据根的判别式进行判断,不能盲目求解. 6.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x= -1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( ) A.
14、不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根 答案答案 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以c值应 该为5,原方程为x2+4x+5=0,=42-415=-40, 当b2-4ac0时,方程有实数根, x+=, 当b2-4ac0时,x1=,x2=, x1 x2= b a c a b a 2 2 b a c a 2 2 b a 2 2 b x a 2 2 4 4 bac a 2 b a 2 4 2 bac a 2 4 2 bbac a 2 4 2 bbac a 22 2 (4) (4)
15、 4 bbacbbac a =; 当b2-4ac=0时,x1=x2=-, x1 x2=. 综上,证得x1 x2=. 22 2 (4) 4 bbac a 2 4 4 ac a c a 2 b a 2 2 b a 2 2 4 b a 2 4 4 ac a c a c a 解题关键解题关键 正确解决本题的关键是要通过求根公式进行验证,同时要具有计算含字母系数的方程的能 力. 教师丏用题组 考点一 一元一次方程 1.(2016广西南宁,10,3分)超市店庆促销,某种书包原价每个x元,第一次降价打“八折”,第二次降价每个 又减10元,经两次降价后售价为90元,则可列方程为( ) A.0.8x-10=90
16、 B.0.08x-10=90 C.90-0.8x=10 D.x-0.8x-10=90 答案答案 A 每个书包原价是x元,则第一次打八折后的价格是0.8x元,第二次降价10元后的价格是(0.8x-10) 元,故可列方程为0.8x-10=90.故选A. 2.(2018内蒙古呼和浩特,13,3分)文具店销售某种笔袋,每个18元,小华去购买这种笔袋,结账时店员说: “如果你再多买一个就可以打九折,价钱比现在便宜36元.”小华说:“那就多买一个吧,谢谢.”根据两 人的对话可知,小华结账时实际付款 元. 答案答案 486 解析解析 设小华计划买x个笔袋,则可列方程为18x-180.9(x+1)=36,解得
17、x=29.故小华结账时实际付款18 0.930=486(元). 3.(2020吉林,10,3分)我国古代数学著作算学启蒙中有这样一个数学问题,其大意是:跑得快的马每天 走240里,跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天,快马几天可以追上慢马?设快马x天可以追上慢马,根据 题意,可列方程为 . 答案答案 (240-150)x=15012 解析解析 根据“跑得快的马每天走240里,跑得慢的马每天走150里,慢马先走12天,快马x天追上慢马”,可 列方程为(240-150)x=15012. 方法总结方法总结 列方程(组)解应用题,关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的等量关系.一般来说, 有
18、几个未知量,就列几个方程.在列方程时注意: (1)方程两边表示的是同类量;(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等. 考点二 一元二次方程 1.(2020新疆,5,5分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是( ) A.x2-x+=0 B.x2+2x+4=0 C.x2-x+2=0 D.x2-2x=0 1 4 答案答案 D 一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式=b2-4ac0, A选项中,=(-1)2-41=1-1=0,方程有两个相等的实数根; B选项中,=22-414=-120,方程无实数根; C选项中,=(-1)2-412=-70,方程有两个不相等的实数根,故选D.
19、 1 4 2.(2019河南,6,3分)一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 答案答案 A 将一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3整理得,x2-2x-4=0,=b2-4ac=200,所以此一元二次方程有两 个不相等的实数根,故选A. 3.(2019内蒙古呼和浩特,8,3分)若x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,则-4+17的值为( ) A.-2 B.6 C.-4 D.4 3 2 x 2 1 x 答案答案 A x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,
20、x1+x2=-1,=-x1+3,=-x2+3.-4+17= x2(-x2+3)-4(-x1+3)+17=-+3x2+4x1-12+17=4(x1+x2)+2=-4+2=-2,故选A. 2 1 x 2 2 x 3 2 x 2 1 x 2 2 x 4.(2018安徽,7,4分)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为( ) A.-1 B.1 C.-2或2 D.-3或1 答案答案 A 原方程可化为x2+(a+1)x=0,由题意得=(a+1)2=0,解得a=-1,故选A. 5.(2019山西,8,3分)一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为( ) A.(x+2
21、)2=3 B.(x+2)2=5 C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5 答案答案 D x2-4x-1=0,(x2-4x+4)-4-1=0,(x-2)2=5,故选D. 6.(2018新疆乌鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每 间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元 的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,则有( ) A.(180+x-20)=10 890 B.(x-20)=10 890 C.x-5020=10 890 D.(x+180)-5020
22、=10 890 50 10 x 180 50 10 x 180 50 10 x 50 10 x 答案答案 B 当房价定为x元时,空闲的房间有间,所以有游客居住的房间有间,则宾馆 当天的利润为(x-20)元,故B正确. 180 10 x 180 50 10 x 180 50 10 x 思路分析思路分析 先求出房价定为x元时有游客居住的房间数,而每间房的利润就是房价减去支出的20元,从而 得出宾馆当天的利润,列等式即可. 7.(2017河北,19,4分)对于实数p,q,我们用符号minp,q表示p,q两数中较小的数,如min1,2=1.因此,min -,-= ;若min(x-1)2,x2=1,则x
23、= . 23 答案答案 -;2或-1 3 解析解析 -,min-,-=-.不妨令(x-1)2=x2,解得x=,当xx2,若min(x-1)2,x2 =1,显然x2=1,解得x=-1或x=1(舍);当x时,有(x-1)2x2,若min(x-1)2,x2=1,显然(x-1)2=1,解得x=2或x=0(舍). 综上,x=2或-1. 32233 1 2 1 2 1 2 A组 20182020年模拟基础题组 时间:60分钟 分值:80分 一、选择题（每小题4分，共12分） 1.(2020福州福清线上质检,5)如图表示解方程3-5x=2(2-x)的过程,其中依据“等式的性质”的步骤是 ( ) A. B.
24、C. D. 答案答案 D 是去括号,依据“去括号法则”;是移项,依据“等式的性质1”;是合并同类项,利用 “合并同类项法则”;是系数化为1,依据“等式的性质2”. 故选D. 解后反思解后反思 本题考查解一元一次方程,熟练掌握运算法则是解题关键. 2.(2020泉州二检,8)关于x的一元二次方程ax2+a=0根的情况是( ) A.有两个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不等的实数根 D.无实数根 答案答案 D 由题意知a0.ax2+a=0,=0-4a20时,方程有两个不相等的实数根,=0时,方程有两个 相等的实数根,0.(3分) 方程有两个不相等的实数根, x=(4分) = =(6分)
25、=3, 即x1=3+,x2=3-.(8分) 解法二:x2-6x=1,(1分) x2-6x+32=1+32,(3分) (x-3)2=10,(4分) 2 4 2 bbac a ( 6)40 2 1 640 2 10 1010 x-3=,(6分) x=3, 即x1=3+,x2=3-.(8分) 10 10 1010 10.(2019泉州二检,20)杨辉算法中有这么一道题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多 几何?”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步? 解析解析 设矩形田地的长为x步,则宽为(60-x)步.(1分) 依题意得x(60-x)
26、=864,(5分) 整理得x2-60 x+864=0, 解得x=36或x=24(不符合题意,舍去),(7分) 60-x=60-36=24, 36-24=12(步). 答:该矩形田地的长比宽多12步.(8分) 11.(2020厦门一检,21)梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用,被称为“沙漠植被之王”.新疆北部 某沙漠2016年有16万亩梭梭树,经过两年的人工种植和自然繁殖,2018年达到25万亩.按这两年的年平均 增长率,请估计2019年该沙漠梭梭树的面积. 解析解析 设这两年的年平均增长率为x, 依题意得16(1+x)2=25.(4分) 解得x1=-(不合题意,舍去),x2=.(6分) 所
27、以2019年该沙漠梭梭树的面积为25=31.25(万亩). 答:2019年该沙漠梭梭树的面积约为31.25万亩.(8分) 9 4 1 4 1 1 4 12.(2020福州福清线上质检,23)在两周内,某水果店标价为10元/斤的某种水果经过两次降价后的价格为 8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同. (1)求该水果每次降价的百分率; (2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 时间x(天) 1x9 9x15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量(斤) 80-3x 120-x 储存和损耗费用(元) 40+3x 3x2-
28、64x+400 已知该水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x天的利润为y元,求y与x(1x15)之间的函数解析式,并 求出第几天的销售利润最大. 解析解析 (1)设该水果每次降价的百分率是m,依题意得, 10(1-m)2=8.1,(3分) 解得m=10%或m=190%(不合题意,舍去), 答:该水果每次降价的百分率是10%.(5分) (2)当1x9时,第1次降价后的价格为10(1-10%)=9元,(6分) y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352,(7分) -17.70, y随x的增大而减小, 当x=1时,y有最大值,y最大=-17.7+352=334.3(元
29、),(8分) 当9x15时,第2次降价后的价格为8.1元, y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60 x+80=-3(x-10)2+380,(9分) -30,方程有两个不相等的实数根. 3 2 3.(2020福州一检,6)若抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2,则方程x2+bx=5的解是( ) A.x1=1,x2=5 B.x1=1,x2=-5 C.x1=-1,x2=5 D.x1=-1,x2=-5 答案答案 C 抛物线y=x2+bx的对称轴是直线x=2, -=-=2, b=-4, 方程为x2-4x=5, 即x2-4x-5=0, x=, x1=-1,x2
30、=5. 故选C. 2 b a2 b 41620 2 436 2 46 2 4.(2019漳州二检,9)若x=2是关于x的一元一次方程ax-2=b的解,则3b-6a+2的值是( ) A.-8 B.-4 C.8 D.4 答案答案 B x=2是关于x的方程ax-2=b的解, 2a-2=b,即b-2a=-2. 3b-6a+2=3(b-2a)+2=-6+2=-4.故选B. 5.(2019泉州晋江质检,9)若x2-2px+3q=0的两根分别是-3与5,则多项式2x2-4px+6q可以分解为( ) A.(x+3)(x-5) B.(x-3)(x+5) C.2(x+3)(x-5) D.2(x-3)(x+5) 答
31、案答案 C 本题考查用十字相乘法分解因式.根据题意可得 多项式2x2-4px+6q为2x2-4x-30,利用十字相乘法可得2(x+3)(x-5),故选C. 3 53 , 352 , q p 1, 5, p q 二、填空题（共4分） 6.(2019漳州二检,15)若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根,则x1+x2=-,x1x2=.已知m,n是方 程x2+2x-1=0的两个根,则m2n+mn2= . b a c a 答案答案 2 解析解析 由x2+2x-1=0可知a=1,b=2,c=-1, m+n=-2,mn=-1, m2n+mn2=mn(m+n)=-1(-2)=2, 故
32、答案为2. 三、解答题（共8分） 7.(2020南平一检,21)商场某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接春节,商场决定采取 适当的降价措施,增加盈利,减少库存.经市场调查发现,如果每件童装降价2元,那么平均每天就可多售出 4件. (1)如果平均每天销售这种童装盈利1 200元,那么每件童装应降价多少元? (2)当盈利最多时,每件童装应降价多少元? 解析解析 (1)设每件童装应降价x元.(1分) 根据题意,列方程得(40-x)=1 200,(2分) 解得x1=10,x2=20.(3分) 商场要减少库存,x=10舍去. 答:每件童装应降价20元.(4分) (2)设盈利为y元,每件童装应降价t元.(5分) 根据题意,得y=(20+2t)(40-t)=-2(t-15)2+1 250.(6分) 当t=15时,y有最大值,是1 250.(7分) 答:盈利最多时,每件童装应降价15元.(8分) 204 2 x
