1、 中考数学 （北京专用） 5.4 简单空间图形的认识 北京中考题组 1.(2020北京,1,2分)如图是某几何体的三视图,该几何体是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体 答案答案 D 根据题中三视图可以判断该几何体是长方体.故选D. 2.(2018北京,1,2分)下列几何体中,是圆柱的为( ) 答案答案 A 选项A是圆柱,选项B是圆锥,选项C是四棱柱,选项D是四棱锥.故选A. 3.(2017北京,3,3分)下图是某个几何体的展开图,该几何体是( ) A.三棱柱 B.圆锥 C.四棱柱 D.圆柱 答案答案 A 三棱柱上下底面为三角形,侧面是三个矩形;圆锥的展开图由扇形和圆组成;四棱柱
2、上下底面 为四边形,侧面是四个矩形;圆柱的展开图由两个圆形和一个矩形组成.故选A. 4.(2016北京,5,3分)下图是某个几何体的三视图,该几何体是( ) A.圆锥 B.三棱锥 C.圆柱 D.三棱柱 答案答案 D 由主视图是矩形,知选项A,B不符合题意;由俯视图是三角形,知选项C不符合题意.故选D. 5.(2019北京,11,2分)在如图所示的几何体中,其三视图中有矩形的是 .(写出所有正确答案的序 号) 答案答案 解析解析 画出题图中各几何体的三视图(图略)可知三视图中有矩形的是长方体和圆柱. 教师专用题组 考点一 立体图形和展开图 1.(2020江西,5,3分)如图所示,正方体的展开图为
3、( ) 答案答案 A 动手操作可知选A. 2.(2019山西,3,3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与 “点”字所在面相对的面上的汉字是( ) A.青 B.春 C.梦 D.想 答案答案 B 正方体的展开图中隔一行或隔一列的两个面可能是相对面,题图中的“点”与“春”所在面 隔着“亮”“青”一列,因此“点”与“春”所在面是相对面,故选B. 3.(2017内蒙古包头,4,3分)将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开,展开后不能得到的平面图 形是( ) 答案答案 C 根据正方体表面展开图的特点知C不可能,故选C. 方法规律方法规律 常见的正方体的展开图有
4、以下几种形状: 4.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处 有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计). 答案答案 20 解析解析 如图,将圆柱侧面展开,延长AC至A,使AC=AC,连接AB,则线段AB的长为蚂蚁到蜂蜜的最短距离. 过B作BBAD,垂足为B.在RtABB中,BB=16,AB=14-5+3=12,所以AB=20, 即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm. 22 B BA B 22 1612 5.(2
5、017内蒙古呼和浩特,13,3分)下图是某几何体的三视图,根据图中数据,求得该几何体的表面积为 . 答案答案 (225+25) 2 解析解析 该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的几何体, 圆柱和圆锥的底面相同, 且底面半径为5,圆柱的高为20,圆锥的高为5, 该几何体的表面积=52+1020+55=(225+25). 22 思路分析思路分析 先判断出几何体的形状,再根据相关数据求表面积. 考点二 投影与视图 1.(2020内蒙古包头,6,3分)如图,将小立方块从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后,所得几 何体 ( ) A.主视图改变,左视图改变 B.俯视图不变,左视图改变 C.俯视图改变,
6、左视图改变 D.主视图不变,左视图不变 答案答案 C 主视图是从物体的正面看到的平面图形,把小立方块移走后,主视图不发生改变;俯视图是 从物体的上面看到的平面图形,把小立方块移走后,俯视图发生改变;左视图是从物体的左面看到的平 面图形,把小立方块移走后,左视图发生改变,故选C. 2.(2020贵州贵阳,6,3分)下列四幅图中,能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是( ) 答案答案 C 两棵树在同一时刻太阳光下的影子方向相同,树高和影长成正比,所以C选项正确.故选C. 3.(2019安徽,3,4分)一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置,它的俯视图是( ) 答案答案 C 俯视图是一个正方
7、形内有一个内切圆,且内切圆是看得见的,为实线,故选C. 4.(2019四川成都,2,3分)如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成的,它的左视图是( ) 答案答案 B 根据该几何体的特征可知其左视图为,故选B. 5.(2019江西,3,3分)如图是手提水果篮抽象的几何体,以箭头所指的方向为主视图方向,则它的俯视图为 ( ) 答案答案 A 由俯视图的定义易知选A. 6.(2019黑龙江齐齐哈尔,6,3分)如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视 图,则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案答案 B 结合主视图和俯视图可知这
8、个几何体共有2层,底层有4个小正方体,第2层最少有2个小正方 体.故搭建这个几何体的小正方体的个数最少是6.故选B. 7.(2018江西,3,3分)如图所示的几何体的左视图为( ) 答案答案 D 从左边看是上长下短等宽的两个矩形,矩形的公共边是虚线,故选D. 易错警示易错警示 注意视图中看不到但存在的线用虚线表示. 8.(2017安徽,3,4分)如图,一个放置在水平实验台上的锥形瓶,它的俯视图为( ) 答案答案 B 从上往下看只有B符合. A组 20182020年模拟基础题组 考点一 立体图形和展开图 1.(2020北京西城二模,3)如图是某个几何体的平面展开图,该几何体是( ) 答案答案 D
9、 通过展开图可知,几何体上、下底面为三角形,侧面为长方形.故选D. 2.(2020北京海淀二模,1)下面四个图形中,属于圆柱的侧面展开图的是( ) 答案答案 A 因为圆柱的侧面展开图为长方形,故选A. 3.(2020北京密云一模,6)如图,点A,B是正方体上的两个顶点,将正方体按图中所示方式展开,则在展开图 中B点的位置为( ) A.B1 B.B2 C.B3 D.B4 答案答案 B 点B在与点A所在正方形右侧相邻的正方形上,将这两个面展开,两个点恰好位于长方形的对 角线上,B2点符合题意,故选B. 4.(2020北京门头沟一模,3)某个几何体的展开图如图所示,该几何体是( ) A.三棱柱 B.
10、三棱锥 C.圆锥 D.圆柱 答案答案 D 圆柱的侧面展开图为长方形,两个底面都是圆,该几何体是圆柱.故选D. 5.(2020北京燕山二模,4)如图是某几何体的展开图,则该几何体是( ) A.四棱锥 B.三棱锥 C.四棱柱 D.长方体 答案答案 A 展开图有三角形,排除选项C、D,有正方形,排除选项B.故选A. 考点二 投影与视图 1.(2020北京朝阳一模,2)如图是某几何体的三视图,该几何体是( ) A.圆锥 B.球 C.长方体 D.圆柱 答案答案 D 由主视图是长方形,知选项A、B不符合题意;由俯视图是圆形,知选项C不符合题意.故选D. 2.(2020北京丰台一模,4)下列几何体的主视图和
11、俯视图完全相同的是( ) 答案答案 D 圆锥的主视图是等腰三角形,俯视图是含有圆心的圆,选项A不符合题意; 圆柱的主视图是矩形,俯视图是圆,选项B不符合题意; 三棱柱的主视图是并列两个矩形,俯视图是三角形,选项C不符合题意; 正方体主视图和俯视图都为正方形,选项D符合题意. 故选D. 3.(2020北京海淀一模,2)下列几何体中,主视图为矩形的是( ) 答案答案 B 圆锥的主视图是等腰三角形,不符合题意;长方体的主视图是矩形,符合题意;球的主视图是圆, 不符合题意;选项D中几何体的主视图是梯形,不符合题意.故选B. 4.(2020北京石景山一模,6)在下列几何体中,其三视图中没有矩形的是( )
12、 答案答案 C 长方体主视图,左视图,俯视图都是矩形; 圆柱的主视图是矩形,左视图是矩形,俯视图是圆; 圆锥的主视图、左视图是等腰三角形,俯视图是含有圆心的圆; 三棱柱的主视图是矩形、左视图是矩形,俯视图是三角形. 故选C. 5.(2019北京东城一模,1)下列立体图形中,主视图是圆的为( ) 答案答案 D 圆锥的主视图是三角形,圆柱的主视图是长方形,圆台的主视图是梯形,球的主视图是圆.故选 D. 6.(2018北京西城一模,4)下图是某个几何体的三视图,该几何体是( ) A.三棱柱 B.圆柱 C.六棱柱 D.圆锥 答案答案 C 由主视图和左视图可知,该几何体不是圆柱或圆锥; 俯视图是六边形,
13、所以该几何体为六棱柱. 故选C. 7.(2020北京密云一模,11)在如图所示的几何体中,其三视图中有三角形的是 .(写出所有正确答 案的序号) 答案答案 解析解析 圆柱的三视图分别是长方形,长方形,圆; 圆锥的三视图分别是三角形,三角形,含有圆心的圆; 直三棱柱的三视图分别是长方形,长方形,三角形; 球体的三视图均是圆.故选择. 8.(2020北京顺义一模,11)在如图所示的几何体中,主视图、左视图和俯视图完全相同的几何体是 .(写出所有正确答案的序号) 答案答案 解析解析 正方体的三视图分别为正方形,正方形,正方形; 圆柱的三视图分别为长方形、长方形、圆; 球的主视图、左视图、俯视图为三个
14、全等的圆. 主视图、左视图和俯视图完全相同的几何体是. B组 20182020年模拟提升题组 时间:10分钟 分值:10分 选择题(每小题2分,共10分) 1.(2019北京朝阳一模,3)下列几何体中,其三视图完全相同的是( ) 答案答案 D 圆柱的主视图、左视图是长方形,俯视图是圆;圆锥的主视图、左视图是三角形,俯视图是带 圆心的圆;三棱柱的主视图和左视图是长方形,俯视图是三角形;球的三个视图都是圆.故选D. 2.(2019北京房山二模,1)如图是某个几何体的展开图,该几何体是( ) A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.四棱锥 答案答案 D 四个三角形和一个四边形可以组成的图形为四棱锥.故选
15、D. 3.(2019北京西城二模,5)某个几何体的三视图如图所示,该几何体是( ) 答案答案 A 选项B的俯视图中间为矩形,不符合题意;选项C的主视图中的小矩形细长,不符合题意;选项D 的俯视图为两个圆,不符合题意.故选A. 4.(2018北京海淀一模,2)下图不可能是下面哪个几何体的三视图中的一个( ) 答案答案 C 根据三视图的定义可知,C选项中的几何体的三个视图均不满足.故选C. 5.(2018北京门头沟一模,3)下图是两个等直径的空心圆柱构成的T形管道,则其俯视图是(不考虑壁厚) ( ) 答案答案 B 该几何体的俯视图为一个长方形内嵌一个圆.故选B. 一、选择题(每小题4分,共32分)
16、 1.(2019北京密云一模,2)如图是某个几何体的侧面展开图,则该几何体为( ) A.棱柱 B.圆柱 C.棱锥 D.圆锥 答案答案 C 由展开图可知,从同一点出发引出五条线段,所以是锥体;展开图中没有圆弧,所以是棱锥.故选 C. 2.(2019河南,5)图是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图.关于平 移前后几何体的三视图,下列说法正确的是( ) A.主视图相同 B.左视图相同 C.俯视图相同 D.三种视图都不相同 答案答案 C 根据题图,图中几何体的特征可知,它们的俯视图的形状均为“”,即平移前 后几何体的俯视图相同.故选C. 3.(2015天津,7)在平面直角坐
17、标系中,把点P(-3,2)绕原点O顺时针旋转180,所得到的对应点P的坐标为 ( ) A.(3,2) B.(2,-3) C.(-3,-2) D.(3,-2) 答案答案 D 在平面直角坐标系中,任意一点A(x,y)绕原点O顺时针旋转180,所得到的对称点是A(-x,-y), 故点P(-3,2)关于原点的对称点是P(3,-2). 故选D. 4.(2017北京丰台一模,7)如图,比例规是一种画图工具,它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成,利用它可 以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使 OA=3OC,OB=3OD),然后张开两脚,使A,B两个尖端
18、分别在线段a的两个端点上,当CD=1.8 cm 时,AB的长 为( ) A.7.2 cm B.5.4 cm C.3.6 cm D.0.6 cm 答案答案 B 由OA=3OC,OB=3OD,AOB=COD, 可知AOBCOD. AB=3CD=5.4 cm.故选B. 5.素养题(2017甘肃兰州,13)如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭 的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的平台DE(DE=BC=0.5米,A,C,B三点共线),把一面镜子水平放置在 平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿着直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测 得GE=3米,
19、小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为( ) A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米 答案答案 A 由光线反射可知AGC=FGE, 又FEG=ACG=90, FEGACG, FEAC=EGCG, 1.6AC=315,AC=8米. BC=0.5米, AB=AC+BC=8.5米. 解题关键解题关键 本题考查了相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是判定FEG与ACG相似. 6.(2016河北,15)如图,ABC中,A=78,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪下,剪下的阴影三角形 与原三角形的是( ) 不相似 答案答案 C 选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角
20、对应相等,可得阴影三角形与原三 角形相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是23,且两边的夹角相等,所以两个三 角形也是相似的,故选C. 思路分析思路分析 本题应借助相似三角形的判定来解决. 解题关键解题关键 本题考查相似三角形的判定,熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键. 7.(2015四川绵阳,10)如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2米,且与灯柱BC 成120角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线 时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为( ) A.(11-2)米 B.(11
21、-2)米 C.(11-2)米 D.(11-4)米 232 33 答案答案 D 延长BC、OD交于点E, CDOD,DCB=120,E=30, B=90,OB=22=11米, EB=11 米, 在RtDCE中,CE=2DC=4米. BC=EB-CE=(11-4)米,故选D. 1 2 3 3 8.素养题(2017北京海淀二模,10)利用量角器可以制作“锐角正弦值速查卡”.制作方法如下:如图,设 OA=1,以O为圆心,分别以0.05,0.1,0.15,0.2,0.9,0.95为半径作半圆,再以OA为直径作M.利用“锐角正 弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值.例如:sin 600.87,sin
22、450.71.下列角度中正弦值最 接近0.94的是( ) A.70 B.50 C.40 D.30 答案答案 A 通过量角器可以发现,M和度数所在射线的交点的半圆半径即相应锐角的正弦值的近似 值.所以正弦值最接近0.94的是70,故选A. 二、填空题(每小题4分,共16分) 9.(2019北京西城一模,14)如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将矩形ABCD沿AE所在直线折叠,点D恰好 落在边BC上的点F处.若DE=5,FC=4,则AB的长为 . 答案答案 8 解析解析 由题意可知EF=DE=5, 由勾股定理可得EC=3, 所以AB=CD=8. 10.素养题(2018北京门头沟一模,15)图
23、1、图2的位置如图所示,如果将两图进行拼接(无覆盖),可以得到 一个矩形,请利用学过的变换(平移、旋转、轴对称)知识将图2进行移动,写出一种拼接成矩形的过程: . 答案答案 先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90,再将旋转后的图形向左平移5个单位(答案不唯一) 解析解析 本题需要将图形逆时针旋转90并通过上、下平移调整到合适的位置,再通过向左平移才能拼接. 答案不唯一,例如先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90,再将旋转后的图形向左平移5个单位. 11.如图,ABC与DEF位似,位似中心为点O,且ABC的面积等于DEF面积的,则ABDE= . 4 9 答案答案 23 解析解析 ABC与DEF位
24、似, ABCDEF,=. SABC=SDEF,=. =,=(舍负), 即ABDE=23. ABC DEF S S 2 AB DE 4 9 ABC DEF S S 4 9 2 AB DE 4 9 AB DE 2 3 12.素养题(2017北京平谷一模,15)如图,圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴 影(圆形).已知灯泡距离地面2.4 m,桌面距离地面0.8 m(桌面厚度不计算),若桌面的面积是1.2 m2,则地面 上的阴影面积是 m2. 答案答案 2.7 解析解析 如图,由题意可知,FG=0.8 m,AG=2.4 m, 易知ADEABC, =, 地面上的阴影面积=1.2=2.
25、7 m2. DE BC AF AG 2.40.8 2.4 2 3 2 2 3 三、解答题(第13、14题,每小题8分,第1518题,每小题9分,共52分) 13.(2016陕西,17)如图,已知ABC,BAC=90.请用尺规过点A作一条直线,使其将ABC分成两个相似 的三角形.(保留作图痕迹,不写作法) 解析解析 如图,直线AD即为所作.(5分) 14.(2015宁夏,20)在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-4),B(3,-2),C(6,-3). (1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1; (2)以M点为位似中心,在网格中画出A1B1C1的位似图形A2B2C2,使A2B
26、2C2与A1B1C1的相似比为21. 解析解析 (1)如图所示. (2)如图所示. 15.如图,正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称. 已知A,D1,D三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2). (1)求对称中心的坐标; (2)写出顶点B,C,B1,C1的坐标. 解析解析 (1)D和D1是对称点, 对称中心是线段DD1的中点. 对称中心的坐标是. (2)B(-2,4),C(-2,2),B1(2,1),C1(2,3). 5 0, 2 16.(2017北京怀柔二模,21)已知:如图,在四边形ABCD中,ABBD,ADBC,ADB=45,C=60,AB=. 求四边形ABC
27、D的周长. 6 解析解析 ABBD, ABD=90. 在RtABD中,ABD=90,ADB=45, DAB=45. DAB=ADB. 又AB=, AB=BD=, 由勾股定理得AD=2. ADBC, ADB=DBC=45. 过点D作DEBC,交BC于点E. 6 6 22 ABBD3 DEB=DEC=90. 在RtDEB中,DEB=90,DBC=45, BDE=45,sinDBC=. DBC=BDE,DE=. BE=DE=. 在RtDEC中,DEC=90,C=60. sin C=,tan C=, DE BD 3 3 DE CD DE CE CD=2,CE=1. BC=BE+CE=+1. 四边形AB
28、CD的周长=AB+BC+CD+AD=+1+2+2=+3+3. 3 63363 17.素养题(2017北京门头沟一模,26)在一节数学实践课上,老师出示了这样一道题, 如图1,在锐角三角形ABC中,A、B、C所对的边分别是a、b、c,请用a、c、B表示b2. 经过同学们的思考, 甲同学说:要将锐角三角形转化为直角三角形来解决,并且不能破坏B,因此可以经过点A,作ADBC于 点D,如图2,大家认同; 乙同学说:要想得到b2,要在RtABD或RtACD中解决; 丙同学说:那就要先求出AD= ,BD= ;(用含c,B的三角函数表示) 丁同学顺着他们的思路,求出b2=AD2+DC2= (提示:同角的正弦
29、与余弦的平方和为1). 请利用丁同学的结论解决如下问题: 如图3,在四边形ABCD中,B=D=90,BAD=60,AB=4,AD=5.求AC的长(补全图形,直接写出结果即 可). 图3 解析解析 AD=c sin B,BD=c cos B. b2=a2+c2-2ac cos B. 补全图形如图. 结果:AC=2. 7 18.素养题(2019湖北武汉,16)问题背景:如图1,将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE,DE与BC交于 点P,可推出结论:PA+PC=PE. 问题解决:如图2,在MNG中,MN=6,M=75,MG=4.点O是MNG内一点,则点O到MNG三个顶点 的距离和的最小值是多少? 图1 图2 2 解析解析 连接MO、NO、GO, 将MOG绕点M逆时针旋转60得到MOG, 连接OO,NG, 易得MOO为等边三角形, OM=OO, 则当N,O,O,G四点共线时,NO+MO+GO取到最小值, 且最小值为NG的长度. 过点G作GAMN,垂足为A, 可得AMG=45. MA=GA=4. NA=10. 由勾股定理可得NG=2. 故点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是2. 29 29
