1、 专题专题 07 分式的化简与求值分式的化简与求值 阅读与思考阅读与思考 给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值而分式的化简与求值是紧密相连 的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基 本策略 解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标又要抓住条件，既要根据目标变换条件又要 依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧: 1恰当引入参数； 2取倒数或利用倒数关系； 3拆项变形或拆分变形； 4整体代入； 5利用比例性质等 例题与求解例题与求解 【例【例 l】 已知 2 310aa ，则代数式 3 6
2、 1 a a 的值为 （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：目前不能求出a的值，但可以求出 1 3a a ，需要对所求代数式变形含“ 1 a a ” 【例【例 2】 已知一列数 1234567 ,a a a a a a a且 1 8a ， 7 5832a ， 356124 234567 aaaaaa aaaaaa ，则 5 a为（ ） A648 B832 C1168 D1944 （五城市联赛试题） 解题思路：解题思路：引入参数k，把 17 aa用k的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路 【例【例 3】 3 (0)xyza a 求 222 ()()()()()() ()()() xa
3、 yaya zaza xa xayaza （宣州竞赛试题） 解题思路：解题思路：观察发现，所求代数式是关于xayaza、的代数式，而条件可以拆成 xayaza、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程 【例【例 4】 已知1,2,3, xyyzzx xyyzzx 求x的值 （上海市竞赛试题） 解题思路：解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化 为简单的形式 【例【例 5】 不等于 0 的三个正整数, ,a b c满足 1111 abcabc ，求证：, ,a b c中至少有两个互为相 反数 解题思路：解题思路：, ,a b c中至少有两个互为
4、相反数，即要证明()()()0ab bc ca （北京市竞赛试题） 【例【例 6】 已知, ,a b c为正整数，满足如下两个条件：32;abc 1 4 bcacababc bcacab 求证：以,abc为三边长可以构成一个直角三角形 解题思路：解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答 （全国初中数学联赛试题） 能力训练能力训练 1若 abcd bcda ，则 abcd abcd 的值是 （ “希望杯”邀请赛试题） 2已知 2 1 31 x xx ，则 2 42 91 x xx （广东竞赛试题） 3若 222 1998,1999,2000axbxcx且24abc ，则 111cab abbca
5、cabc 的值为 （ “缙云杯”竞赛试题） 4已知 2323 25 xxyy xxyy ，则 11 xy 5如果 11 1,1ab bc ，那么 1 c a （ ） A1 B2 C 1 2 D 1 4 （ “新世纪杯”竞赛试题） 6设有理数, ,a b c都不为 0，且0abc ，则 222222222 111 bcacababc 的 值为（ ） A正数 B负数 C零 D不能确定 7已知4360,270(0)xyzxyzxyz，则 222 222 236 57 xyz xyz 的值为（ ） A0 B1 C2 D不能确定 8已知 2 1 1 x xmx ，则 3 633 1 x xm x 的值为
6、（ ） A1 B 3 1 3m C 2 1 32m D 2 1 31m 9设0abc ，求 222 222 222 abc abcbaccab 的值 10已知 111 xyz yzx 其中, ,x y z互不相等，求证 222 1x y z （天津市竞赛试题） 11设, ,a b c满足 1111 abcabc ， 求证 212121212121 1111 nnnnnn abcabc （n为自然数） （波兰竞赛试题） 12三角形三边长分别为, ,a b c （1）若 aabc bcbca ，求证：这个三角形是等腰三角形； （2）若 1111 abcabc ，判断这个三角形的形状并证明 13已知
7、1axbycz，求 444444 111111 111111abcxyz 的值 （ “华杯赛”试题） 14解下列方程（组） ： （1） 1827 2938 xxxx xxxx ； （江苏省竞赛试题） （2） 5968419221 19968 xxxx xxxx ； （ “五羊杯”竞赛试题） （3） 111 2 111 3 111 4 xyz yzx zxy （北京市竞赛试题） B 级 1设, ,a b c满足0abc ，0abc ，若 abc x abc ， 111111 ()()()yabc bccaab ，则23xyxy 2若0abc ，且 abbcca cab ，则 ()()()ab b
8、c ca abc 3设, ,a b c均为非零数，且2(),3(),4()abab bcbc acac，则abc 4已知, ,x y z满足1 xyz yzxzyx ，则 222 xyz yzxzyx 的值为 5设, ,a b c是三个互不相同的正数，已知 accb baba ，那么有（ ） A32bc B32ab C2bc D2ab 6如果0abc ， 111 4 abc ，那么 222 111 abc 的值为（ ） A3 B8 C16 D20 7已知 2 519910 xx，则代数式 42 (2)(1)1 (1)(2) xx xx 的值为（ ） A1996 B1997 C1998 D199
9、99 8若 615 325 xyxy yxyx ，则 22 22 456 23 xxyy xxyy 的值为（ ） A 9 2 B 9 4 C5 D6 （全国初中数学联赛试题） 9已知非零实数, ,a b c满足0abc （1）求证： 333 3abcabc； （2）求()() abbccacab cababbcca 的值 （北京市竞赛试题） 10已知 2 410aa ，且 42 32 1 3 22 ama amaa 求m的值 （北京市竞赛试题） 11完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍，乙单独做所需时间为甲、 丙两人合做所需时间的q倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做
10、所需时间的x倍， 求证： 2 1 pq x pq (10)pq （天津市竞赛试题） 12设 222222222 , 222 bcaacbbac ABC bcacab ，当3ABC时， 求证： 200220022002 3ABC （天津市竞赛试题） 13某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动 扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯） 如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨 1 级，且男孩 每分钟走动的级数是女孩的 2 倍已知男孩走了 27 级到达扶梯顶部，而女孩走了 18 级到达顶部 （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯 顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离） 求男孩第一 次追上女孩时走了多少级台阶？ （江苏省竞赛试题）
