1、专题专题21 21 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 阅读与思考阅读与思考 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，和四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆. 运用 与切线相关的知识，可以得到圆的外切三角形、圆的外切四边形的许多重要结论，这些结论在解与切线相 关问题时有广泛的应用. 1如图1，以I 为ABC 的内切圆，则有： （1）AE=AF=as，BF=BD=bs，CD=CE=cs； （2）B+DIF=C+DIE=A+EIF=180. 这里BC=a，CA=b，AB=c，s=（a+b+c）. 2如图2，设I 为 RtABC的内切圆，则有： （1）四边形IDCE 是正方形； （2）内切圆半
2、径r=. 3如图3，设O 为四边形ABCD 的内切圆，则有；AB+CD=AD+BC. r I F I O F E A B C D A B CD E D C B A 图1 图2 图 3 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 】 如图，在ABC 中，C=90，A 和B 的平分线相交于 P 点，又 PEAB 于 E 点.若 BC=2，AC=3，则 AEEB= . （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：P为 RtABC 内切圆的圆心，利用直角三角形内切圆的性质来解. P E BC A F O E B D C A 例 1题图 例 2 题图 【例【例2】如图，以正方形ABCD 的边 BC 为直径作
3、半圆 O，过点D 作直线切半圆于点 F，交 AB边于点 E，则三角形 ADE和直角梯形EBCD 周长之比为（ ） A3 4 B4 5 C5 6 D6 7 （杭州市中考试题） 解题思路：解题思路：本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为求出周长，需要引入字 母或赋值. 【例【例3】如图，已知ACE=CDE=90，点 B在 CE 上，CA=CB=CD，过 A、C、D 三点的圆交 AB于F. 求证：F是CDE 的内心. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：即要证 F为CDE 角平分线的交点，将问题转化为角相等问题的证明，充分运用与圆相 关的角的性质. F A BCE D
4、【例【例4】如图，不等边ABC内接于O，I 是其内心，且 AIOI. 求证：AB+AC=2BC. （四川省竞赛试题） 解题思路：解题思路：从外心、内心出发，添加辅助线，充分运用圆的性质，由角的关系导出线段的关系. I O A BC 【例【例5】 如图，已知 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，O、 O1、 O2分别是ABC、 ACD、 BCD 角平分 线的交点. 求证：（1）O1OCO2；（2）OC=O1O2. （武汉市选拔赛试题） 解题思路：解题思路：在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相 等.故通过证交角等于 90的方法得两线垂直，再用全等三角
5、形证两线段相等. O2 O1 O D B C A 【例【例6】如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与 AB 和BC 边相切于点 D 和 E，与 AC 边相 交于点F和G. 求DEF的度数. （浙江省竞赛试题） 解题思路：解题思路：若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本例的关键. G F A B E D C 能力训练能力训练 A A级级 1如图，I 是 RtABC 的内切圆，切点为 D、 E、 F，若 AF、 BE的长是方程 x213x+30=0 的两根，则 SABC的值是 . （泰州市中考试题） y x O O O B A B D A F C E P l F D M E B C A
6、 （第1题图） （第 2题图） （第 3题图） 2如图，RtABC中，C=90，BC=5，O 内切 RtABC 的三边 AB、 BC、 CA 于 D、 E、 F，半径r=2， 则AC= . （杭州市中考试题） 3如图，已知直线6xy与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 为 x 轴上可以移动的点，且点 P 在点 A 的左侧，PMx 轴，交直线6xy于点 M. 有一个动圆 O，它与 x 轴、直线 PM 和直线 6xy都相切，且在 x 轴上方.当O与 y 轴也相切时，点 P的坐标是 . （青岛市中考试题） 4如图，已知ABC的内切圆 O 与各边相切于 D、E、F，那么点 O 是DEF的
7、（ ） A三条中线的交点 B三条高的交点 C三条角平分线的交点 D三条边的垂直平分线的交点 （四川省中考题） O O F B D A F C E E A B D C （第4题图） （第 5 题图） 5如图，AD 是ABC的角平分线，O 过点 A且和 BC 相切于点 D，和AB、AC 分别交于点 E、F.若 BD=AE，且BE=a，CF=b，则 AF的长为（ ） Aa Ba Cb Db 6.若 090，那么以 sin、 cos、 tancot 为三边的ABC的内切圆半径 r 与外接圆半径 R之和是 （ ） （安徽省竞赛试题） A B C2sincos D 7如图，设AD 是ABC的中线，ABD、
8、 ADC 的外心分别为 E、 F，直线BE 与 CF 交于点 G. 若DG=BC，求证：ADG=2ACG. （“我爱数学”夏令营竞赛试题） 8如图，BC 是O 的直径，AB、AD 是O 的切线，切点分别为 B、P.过 C 点的切线与AD 交于点D. 连结AO、DO. （1）求证：ABOOCD； （2）若 AB、CD 是关于 x 的方程 x2（m1）x+（m1）2=0 的两个实数根，且 SABO+SOCD=20，求 m的值. y x O O B D C BC A F P G D N M A D E B C E A （第7 题图） （第8 题图） （第 9题图） 9如图，以坐标原点O 为圆心，6为
9、半径的圆交y 轴于 A、 B两点，AM、 BN 为O 的切线，D 为切线 AM 上的一点（D 与A不重合），DE 切O 于点E，与BN 交于点 C，且 ADBC. 设 AD=m，BC=n. （1）求mn的值； （2）若m，n是方程2t230t+k=0 的两根，求：COD 的面积； CD 所在直线的解析式；切 点E的坐标. （辽宁省中考题） 10如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，其中O1，O2，On为 n 个（n2）相等 的圆，O1与O2相外切，O2与O3相外切，On1与On相外切，O1，O2，On都与 AB 相切，且O1与AC 相切，On与BC 相切.求这些等圆的半径 r（用
10、 n 表示）. （河北省竞赛试题） A4 A3 A2 A1 I3 I2 I1 On C F O2O1 G BA （第10题图） （第 11题图） 11如图，四边形 A1A2A3A4内接于一圆，A1A2A3、A2A3A4、A3A4A1的内心分别是 I1、I2、I3.求证： （1）A2、I1、I2、A3四点共圆； （2）I1I2I3=90. （四川省竞赛试题） B B级级 1如图，ACBC，BC=a，AC=b，O 的半径为 r，那么满足关系式 r=的图形是 .（把正确 的所有图形的序号填在横线上） O OO B B B A C O A C A C C B A 2已知在ABC中，C=90，AC=4，
11、BC=3，CD 为 AB上的高. O1、O2分别为ACD、BCD 的内 心，则O1O2= . （太原市竞赛试题） 3如图，半圆与两直角边相切，且圆心 O 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 上.若直角三角形面积为 S， 斜边长为c，则半圆的半径r= . （五城市联赛试题） 4已知：如图，以定线段AB为直径作半圆 O，P为半圆上任意一点（异于 A、 B），过点 P作半圆O 的切线分别交过A、 B两点的切线于 D、 C，AC、 BD 相交于 N 点，连接 ON、 NP下列结论：四边形ANPD 是梯形；ON=NP； DPPC 为定值； PA为NPD 的平分线其中一定成立的是（） A B C D O
12、O B D B D B A C P O DN A C E C A O B D A E C （第 3题图） （第 4题图） （第 5 题图） （第 6题图） 5如图，半圆 O 的直径在梯形 ABCD 的底边 AB 上，且与其余三边 BC、CD、DA 相切，若 BC=2，DA=3，则AB 的长（ ） A等于4 B等于 5 C等于6 D不能确定 （全国初中数学联赛试题） 6如图，在矩形 ABCD 中，连结 AC.如果 O 为ABC 的内心，过 O 作 OEAD 于点 E，作 OFCD 于 F，则矩形 OFDE 的面积与矩形 ABCD 的面积的比值为（ ） A B C D不能确定，与 AB、BC 的长
13、度有关 （学习报公开赛试题） 7一条直线DE 平分ABC的周长，同时直线DE 又平分了ABC 的面积. 求证：直线DE 经过ABC 的内切圆圆心 O. （全国初中数学联赛试题） 8如图，AB、 BC、 CD 分别与圆相切于 E、 F、 G，AB=BC=CD. 连结 AC 与 BD 相交于点 P，连结 PF. 求 证：PFBC. （江苏省竞赛试题） S R H B D BA F C P G A E C （第8题图） （第 9 题图） 9如图，在ABC 中，CH 为高，R、S 分别为ACH 和BCH 的内切圆与 CH 的切点.若 AB=1995，AC=1994，BC=1993，则RS 可表示成，其
14、中m，n是互质的正整数.求 m+n 的值. （美国中学生数学邀请赛试题） 10如图，ABC 的三边满足关系式BC=（AB+AC），O、 I 分别为ABC 的外心、 内心.BAC的外角 平分线交O 于 E，AI的延长线交O 于 D，DE 交 BC 于H. 求证：（1）AI=BD；（2）OI=AE. （湖北省选拔赛试题） P K O L M D H y x O B D C B E A C P l O E N M A D E C B A （第 10题图） （第11 题图） （第 12 题图） 11如图，在平面直角坐标系中，A、 B两点的坐标分别为A（2，0）、 B（8，0）.以AB为直径的半 圆P与y 轴交于点M，以AB 为一边作正方形ABCD. （1）求C、M两点的坐标； （2）连接CM，试判断直线 CM 是否与P相切？说明你的理由； （3）在x轴上是否存在一点 Q，使得QMC 的周长最小？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请 说明理由 （南宁市中考试题） 12如图，O 是等边ABC 的内切圆，与 AB、 AC 两边分别切于D、 E两点，连结DE. 点 P是劣弧 上的一个动点（不与 D、E重合），过点 P作 PMAB 于 M，PNAC 于 N，PKBC 于 K，PK 交DE 于L 点. 求证： （1）PL2=PMPN； （2）=+. （黄石二中理科实验班自主招生考试试题）
