1、 专题 25 平面几何的最值问题 例例 1 12 5 提示：当 CMAB 时，CM 值最小，CM 12 5 AC BC AB 例例 2 如图，BM MN的最小值为点B到AB的距离BF， BE4 5 AB BC AC cm， BB8 5cm， AE 2 222 204 58 5ABBEcm 在 ABB中，由 1 2 BBAE 1 2 ABBF，得 BF16cm故 BM MN 的最小值为 16cm 例例 3 由APDBPQ，得 APAD BPBQ ，即 BQ b axAD BP APx ，APBQx ab b x x ab x 22 ab xab x ，当且仅当 x ab x 即 xab时，上式等
2、号成立故当 AP ab时，APBQ 最小，其最小值为 2abb例例 4 22 1 25l， 2 2 l 49，l1l2，故要选择路线 l 较短 2 22 1 lhr， 2 2 2 2lhr， 222 12 44llrrh 当 r 2 4 4 h 时， 22 12 ll， 当 r 2 4 4 h 时， 22 12 ll， 当 r 2 4 4 h 时， 22 12 ll 例例 5 设 DNx，PNy，则 Sxy，由APQABF，得 41 242 y x 即 x102y， 代入 Sxy 得 Sxyy(102y)， 即 S2 2 525 22 y ， 因 3y4， 而 y 5 2 不在自变量 y 的取
3、值范围内，所以 y 5 2 不是极值点，当 y3 时，S(3)12，当 y4 时，S(4) 8，故 Smax12此时，钢板的最大利用率 2 12 1 42 1 2 80% 例例 6 设 PDx(x1)， 则 PC 2 1x ，由 RtPCDPAB，得 AB 2 1 1 CD PAx PC x ，令 yABSPAB，则 y 1 2 AB PA AB 2 1 21 x x ， 求 y 的 最 小 值 ， 有 下 列 不 同 思 路 ： 配 方 ： y 2 1212 24 2121 xx xx ， 当 12 21 x x ， 即当 x3 时， y 有最小值 4 运用基本不等式：y 12 22 21
4、x x 32 12 21 x x 24，当 1 2 x 2 1x ，即当 x3 时，y 有最小值 4. 借用判别式，去 分母， 得 x22 （1y） x12y0， 由4 （1y） 24 （12y） 4y （y4） 0， 得 y4， y 的最小值为 4. A 级级 1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大. 2. 8 3. 74 4.D 5. D 6. B 7. C 提示：当点 P 与点 D 重合时，四边形 ACBP 的周长最大. 8. （1）连结 ME，过 N 作 NFAB 于 F，可证明 RtEB ARtMNF，得 MFAEx. ME2AE2AM2，故 MB2x2AM2，即（2
5、AM）2x2AM2，AM1 1 4 x2，S 2 AMDN AD 2 AMAF 2AMAMMF2 AMAE2（1 1 4 x2）x 1 2 x2 x2. （2）S 1 2 （x22 x1） 5 2 1 2 （x1）2 5 2 .故当 AEx1 时，四边形 ADNM 的面积最大，此时最大值为 5 2 . 9. （1）BC长为 2 3 r .（2）提示：连结 BD. （3）过点 B 作 BMAD 于 M，由（2）知四 边形ABCD为等腰梯形， 从而BCAD2 AM2r2 AM.由BAMDAB， 得AM 2 AB AD 2 2 x r ，BC2r 2 x r .同理，EF2 r 2 x r .l4
6、x2（2 r 2 x r ） x r （xr）26 r （0 x2 r）.当 xr 时，l 取得最大值 6 r. 10. （1）APEADQ，AEPAQD，APEADQ.（2）由APEADQ， PDFADQ，S PEF 1 2 SPEQF，得 S PEF 1 3 x2x 1 3 （x 3 2 ）2 3 4 .故当 x 3 2 时，即 P 是 AD 的中点时，S PEF 取得最大值， （3）作 A 关于直线 BC 的对称点 A，连结 DA交 BC 于 Q，则这个 Q 点就是使ADQ 周长最小的点，此时 Q 是 BC 的中点. 11. （1） 点 P 恰好在 BC 上时， 由对称性知 MN 是AB
7、C 的中位线， 当 MN 1 2 BC3 时， 点 P 在 BC 上.（ 2）由已知得ABC 底边上的高 h 22 5 -34. 当 0 x3 时，如图 1，连结 AP 并延长交 BC 于点 D，AD 与 MN 交于点 O. 由AMNABC，得 AO 2 3 x，ySPMNSAMN 1 2 x 2 3 x 1 3 x2即 y 1 3 x2.当3 时，y 的值最大，最大值是 3.当 3x6 时，如图 2，设PMN 与 BC 相交于点 E，F，AP 与 BC相交于D.由中知AO 2 3 x， AP 4 3 x， PDAPAD 4 3 x4， PEFABC.， PEF ABC S S ( PD AD
8、 )2( 4 4 3 4 x )2，即 PEF ABC S S 2 -3) 9 x（ .S ABC 12，S PEF 4 3 （x3） 2.ySAMNS PEF 1 3 x2 4 3 （x3）2x28x12（x4）24.故当 x4 时， y 的最大值为 4.综上，当 x4 时，y 的值最大，最大值为 4. B 级级 1.8 82 32 提示：当CABACD90 时，四边形 ABCD 的面积达到最大值. 2. 0r1 提示：设 BCa，CAb，ABc，bc23（r1） ，又 1 2 bcsin60 S ABC 1 2 （abc）r，即 1 2 bc 3 2 1 2 2323（r1） r，. bc
9、4r（r2）. b，c 为方程 x223（r1）x4r（r2）0 的两个根，由0，得（r1）22.因 r0，r10， 故 r12，即 0r1. 3. 2 4 9 3 提示：过 P 作垂直于 OP 的弦 AB，此时弓形面积最小. 4. 1 3 提示： 设 AD AB x， 则 BD BA 1x CG CA ， ADG ABC S S x2， BDE ABC S S （1x） 2CFG ABC S S ， S梯形DEFG1x22（1x）23（x 2 3 ）2 1 3 . 5. 31 2 a 提示：当 OAOB 时，OC 的长最大. 6. C 7. （1）由 RtABPRtPCQ，得 BP CQ A
10、B CP ，即 x y 4 4x ，y 1 4 （x2）21（0 x4）.当 x2 时, y最大值1cm.（2）由 1 4 1 4 （x2）21，得 x（23）cm 或 （23）cm. 8. 当过 A， B 两点的圆与 x 轴正半轴相切时， 切点 C 为所求.作 ODA B 于 D.， OD 2 OB 2B D 2 2 () 2 ab 2 () 2 ab ab，ODab故点 C 坐标为（ab，0）. 9. （1）如图，延长 CB 到 L，使 BLDN，则 RtABLRtADN，得 ALAN，12， 又N2CNCMDNBMBLBMML，且 AMAM，NALDAB90 . AMNAML，故MANM
11、AL 90 2 45 . （2）设 CMx，CNy，MNz，则 222222 2,2,xyzxyz xyzxyz ，于是， （2yz）2y2z2.整理得 2y2（2z4）y （44z）0.y0，故4（z2）232（1z）0，即（z222） （z222） 0.又z0，故 z222，当且仅当 xy22时等号成立.由于 SAMNS AML 1 2 ML AB 1 2 MN 1 2 z ，因此，AMN 的面积的最小值为21. 10. （1） 提示： 证明ADFBAC. （2） AB15， BC9， ACB90 ， AC 22 ABBC 22 15912，CFAF6， 1 963270 2 yxxx B
12、C（定值） ，PBC 的周长最小，就是 PBPC 最小， 由（1）知，点 C 关于直线 DE 的对称点是点 A，所以 PBPCPBPA，故只要求 PBPA 最小显然当 P、A、B 三点共线时 PBPA 最小，此时 DPDE，PBPAAB 由（1） ，角ADFFAE，DFAACB90，得DAFABC EFBC，得 AEBE 1 2 AB15 2 ，EF 9 2 AFBCADAB，即 69AD15，AD 10RtADF 中，AD10，AF6，DF8DEDFFE8 9 2 25 2 当 x 25 2 时，PBC 的周长最小，此时 y129 2 11 （1）令 k1，得 yx2；令 k2，得 y2x6
13、，联立解得 x4，y2，故定点（4， 2） （2）取 x0，得 OB24k（k0） ，取 y0，得 OA 42 0 k k k 于是ABO 的面积 11 42 240 22 k SOA OBkk k ，化简得 2 8820kSk由 2 8640S 得 2 160SS，故 S16将 S16 代入上述方程，得 k 1 2 故当 k 1 2 ，S 值最小 12 （1）如图，延长 EF 交 AC 于点 D，DFBC，RtADFRtACB，AEACx， 2 22 2DExxyxyy， 2 2 2 xyyyxy x ， 2x2yxy 2 2xxyy， 两边平方整理得(x22x2)y2(x32x24x)y2x20解得 2 2 22 x y xx (yx 舍去) （2）由（1） 22 21 2 2 22 2 y x x 当且仅当 2 x x ，即2x 时，上式 等号成立故当2x 时，y 去最大值2 1
