1、 专题 05 一元二次方程的整数根 例 1 当 k=4 时，x=1；当 k=8 时，x=-2；当 k4 且 k8 时， 1 4 8 x k ， 2 8 4 x k ，可得 k=6 或 k=4,6,8 或 12 例 2 C 例 3 C 提示：方程变形为关于 x 的二次方程 22 2290 xyxy， 2 =7116 0y 且是 完全平方数，得,16 2 y4y, 4 1 1 1 y x , 4 3 2 2 y x , 4 1 3 3 y x , 4 3 4 4 y x . 例例 4 4 若0r，则 2 1 x不是整数；0r，设方程的两根为)(, 2121 xxxx，则 r r xx 2 21 ，
2、 r r xx 1 21 ，于是, 3 21 2)(2 2121 r r r r xxxx有 7) 12)(12( 21 xx，解得 4 1 2 1 x x 或 0 3 2 1 x x 则 3 1 r或1r. 例例5 5由0)()50(2- 22 yyxyx得0)992500(4)(4)50(4 22 yyyy, 即 0)992500(y,25y时,方程有实数解yyx99250050.由于)992500(y必须 是完全平方数,而完全平方数的末位数字可能为 0,1,4,5,6,9,故仅可取 25,此时30 x或, 20 x,故所求的四位数为 2025 或 3025. 例例 6 6 解法一:因a的
3、次数较低,故将方程整理为关a于的一次方程,得)6(2)2( 2 xax,显 然02 x,于是 2 )2( )6(2 x x a,a是正整数,1a,即1 )2( )6(2 2 x x ,化简得082 2 xx, 解得)2(24xx.当2 , 1 , 0 , 1, 3, 4x时,. 1 , 9 14 , 3 ,10, 6 , 1a a是正整数,故a的值为 1,3,6,10.解法二:) 18(4) 3(4124 2 aaaa为完全平方数,故) 18(4a为奇数的 平 方 . 令 2 ) 12() 18(ma,m是 正 整 数 , 则 2 2 mm a , 于 是 , 原 方 程 可 化 为 0) 3
4、)(2(4) 1(4) 1( 22 mmxmmxmm,即0) 3(2) 1(2)-m2mxmmx（,解 得 m x 4 2 1 , 1 4 2 2 m x, 4m或41 ）（m得4 , 2 , 1m或3 , 1m, 故a的 值 位 1,3,6,10. A A 级级 1. 3 994 2. 1 3. 1 4. 1 984 5. D 6. B 7. C 8.D 9. 当0k时 ， 则1x， 即0k为 所 求 ； 0k时 , 则 k xx k xx 1 1 1 1 21 21 , 得 3) 1)(1( 21 xx,由此可得1, 7 1 kk或. 10. 0n 提示:方程234 2 2 21 nnxx
5、,方程根为nn 1 , 22,注意讨论. 11. 4,10, 2a 12.由韦达定理，得 9 11 2 p qp，16)( 4 15 qppq，0qp，0pq，为 qp, 正 整 数 . 由 得 2 16)(6016qppq, 即4811516)154)(154( 22 qp, 故 13,37, 1 ,481154 37,13,481, 1154 q p ,得 13, 7 ,124, 4p ， 7 ,13, 4 ,124q ，代入，即只有 7,13qp 满 足条件. B B级级 1. 98 2. 49,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0. 3. 5 提示:当6k时,解得2x.当
6、9k时,解得3x.当96kk且时,解得 k x k x 9 6 , 9 9 21 . 当9, 3, 16k时 , 1 x是 整 数 ， 这 时3,15, 3 , 5 , 7k； 当 6, 3, 2, 19k时， 2 x是整数，这时3 ,15, 7 ,11, 8 ,10k.综上所述, 15, 9 , 7 , 6 , 3k时,原 方程的解为整数. 4. 6 11 提示:将原方程整理为关于a的二次方程, 017 22 xaax0328 2 x, )7(2 328 2 2 x xx a,讨论枚举. 5. 1,3,5 提示: a x 3 2 1 , a x 5 1 2 . 6. -2,或-6 7. A
7、提示:a与 a 1 时方程0920015 2 xx的两个不相等的实数根. 8. C 9. 解得 4 2 1 1 k x， 2 4 1 2 k x， 故 1 2 4 1 x k ， 1 4 2 2 x k) 1, 1( 21 xx， 消去k得，023 12 xxxx，即23 21 xx，求得 3 10 , 3 , 6k. 10.设两连续正偶数为2, kk,则有)2(2239 2 kkxx,即0)22(239 22 kkxx, x为有理数,则 2) 1(6565k为完全平方数, 令)0( 2 pp,15655113565) 1(6 2 2 kp 也即15655115) 1(6) 1(6kpkp,
8、于是得 5) 1(6 113) 1(6 kp kp ,或 1) 1(6 565) 1(6 kp kp 解得8k或46k,相应的方程的解 为2x或 9 41 x与17x或 9 130 x.总之,当2x或 17x时, 2239 2 xx恰 为两个整数 8 或 10,或者 46 或 48 的乘积. 11. 令 222 4npq(n为 非 负 数 ), 即 2 4)(pnqnq（. nqnq1 且 nqnq 与奇 偶 性 相 同 , 则 2 2 2 pnq nq , 2 4 pnq nq , pnq pnq 4 , pnq pnq 2 2 , 4 2 nq pnq ； 消去n分别得：1 2 pq，2
9、2 2 p q， 2 5p q ，pq2， 2 2 2 p q，对于第 1、3 种情形， 5, 2qp 对于第 2、5 种情形， 4, 2qp （不合 题意，舍去） ；对于第四种情形， p 为合数（舍去）.又当 5, 2qp 时，方程为 2, 2 1 , 0252 21 2 xxxx. 12. (1)2, 1 2 cbaabc,则cb,是一元二次方程012 22 aatt的两根, 故0)(4) 1(44 22 aaaa, 即 0) 1(aa , 又 0a且a为整数, 则1a,1cba. (2)由条件得0) 1( 2 kxkkx,又 原方程只有一组解,当0k时, 1, 0yx , 1 0 y x 符合条件,此时0k； 当0k时，01234) 1( 222 kkkk，解得1,( 3 1 21 kk舍），1 2 k， 即 012 2 xx ， 1, 1yx ， 1 1 y x ，符合条件，此时k=1。综上知：k=0，x=0， y=1 或 k=1，x=1，y=-1。
