1、专题专题07 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 阅读与思考阅读与思考 一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次 方程根的性质等而获解. 现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面： 1.求代数式的值； 2.列二次方程解应用题. 从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列一元二次方程解应用题没有区别，通 常都要经过设、 列、 解、 答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系. 特别需要注意的是， 列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实 际问题的根，必须舍去. 例题与求解例题与求解
2、 【例例1】 甲、 乙两地分别在河的上、 下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在 11时于 途中相遇，一天乙地的船因故晚发了 40 分钟，结果两船在上午 11 时 15 分在途中相遇，已知甲地开出 的船在静水中的速度数值为 44 千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度千米/时数值的 平方，则的值为_.（安徽省竞赛试题） 解题思路：解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程. 【例例2】 自然数n满足 1616 2 47 2 2222 2 nn nnnn ，这样的n的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 （江苏省竞赛试题） 解题思
3、路：解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程. 【例例3】 如图，在平面直角坐标系中，直线1xy与3 4 3 xy交于点 A，分别交x轴于点 B和点 C，点D 是直线AC 上的一个动点. （1）求点A，B，C 的坐标； （2）当CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标.（太原市中考试题） 解题思路：解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论. y x B C A O 【例例4】 如图，已知在 RtABC中，C90，AC3，BC4，点E在直角边 AC 上（点 E与 A，C 两点均不重合）. （1）若点 F在斜边AB 上，且 EF平分 RtABC的周长，设 AEx，试用x的
4、代数式表示 S AEF ； （2）若点 F在折线 ABC 上移动，试问：是否存在直线 EF 将 RtABC 的周长和面积同时平分？若存在 直线EF，则求出 AE 的长；若不存在直线 EF，请说明理由. （常州市中考试题） 解题思路： 解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线 EF，将线段的计算转化 为解方程. 【例例5】 某公司投资新建了一商场，共有商铺 30 间，据预测，当每间的年租金定为 10 万元时，可全部 租出. 每间的年租金每增加 5000元，少租出商铺 1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万 元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000元. （
5、1）当每间商铺的年租金定为 13 万元时，能租出多少间？ （2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益租金各种费用）为275 万元？ （绍兴市中考试题） 解题思路： 解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关 系. 【例例6】 已知：如图 1，在RtACB中，C90，AC4cm，BC3cm，点 P由点 B出发沿 BA 方向 向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2 cm/s .连结 PQ.若设运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQBC？
6、 （2）设AQP的面积为y（ 2 cm），求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段 PQ 恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的 值；若不存在，说明理由； （4）如图 2，连结 PC，并把PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四 边形 PQPC 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由. （青岛市中考试 题） 解题思路解题思路：对于（3），先求出 PQ 平分RtACB周长时t的值，再看求出t的值是否满足由面积关 系建立的方程. 图2图1 P A C B B C A Q P Q P 能力训练能力训练 A
7、A级级 1. 某工厂把 500 万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第 一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资 金的比）比第一年的利润率增加了 8%.如果第二年的利润为 112 万元，为求第一年的利润率，可设它为 x，那么所列方程为_. （济南市中考试题） 2. 如图，在长为 10cm、宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积 是原矩形面积的 80%，则所截去的小正方形的边长是_. （广东省中考试题） 3. 有一旅客携带了 30 千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津. 按民航
8、规定，旅客最多可免费携 带20 千克行李，超重部分每千克按飞机票价的 1.5%购买行李票，现该旅客买了 120 元的行李票，则他 的飞机票价格应是_. 4. 已知实数x、y满足3, 3 24 34 24 yy xx ，则 4 4 4 y x 的值为（ ） A.7 B. 2 131 C. 2 137 D. 5 5. 一个跳水运动员从 10 米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒） 的关系式是125tth，则运动员起跳到入水所用的时间是（ ） A. 5秒 B. 1 秒 C . 1秒 D. 2 秒 6. 某种出租车的收费标准时：起步价7 元（即行驶距离不超过 3 千米都需
9、付 7 元车费），超过 3 千米以 后，每增加 1 千米，加收 2.4 元（不足 1 千米按 1 千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车 费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米，那么x的最大值是（ ） A. 11 B. 8 C . 7 D.5 7. 如图，菱形ABCD 的边长为a，O 是对角线 AC 上的一点，且 OAa，OBOCOD1，则a（ ） A. 2 15 B. 2 15 C. 1 D.2 D C A B O 第2 题图 第 7题图 8. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批 270 台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用 A 型汽车若干辆刚好装完；用 B型汽
10、车不仅可少用 1辆，而且有一辆车差 30 台计算机才装满. （1）已知 B型汽车比A型汽车每辆车可多装 15 台，则 A，B两种型号的汽车各能装计算机多少台？ （2）已知 A型汽车的运费是每辆350 元，B型汽车的运费是每辆 400元。 若运送这批计算机用这两种型 号的汽车，其中 B 型汽车比 A 型汽车多用 1 辆，所用运费比单独用任何一种型号的汽车都要节省，按 这种方案需A，B两种型号的汽车各多少辆？运费多少元？ （四川省中考试题） 9. 某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A度，那么这个月这户只需交 10元 用电费；如果超过 A度，则这个月除了仍需交 10元用电费外
11、，超过部分还需按每度 100 A 元交费. 下表是一户居民 3月、4 月的用电情况和交费情况： 月份用电量（度）交电费（元） 3月80 25 4月45 10 根据上表的数据，电厂规定的 A（度）为多少？ （苏州市中考试题） 10. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染. 请你用学 过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被 感染的电脑会不会超过 700台？ （广东省中考试题） 11. 某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤，第一个月以单价 80 元销售，售出了 200 件；第二个 月如果
12、单价不变，预计仍可售出 200 件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价 每降低 1 元，可多售出 10 件，但最低单价应高于购进的价格，第二个月结束后，批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40元. 设第二个月单价降低x元. （1）填表（不需化简）： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元）8040 销售量（件）200 （2）如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ （南京市中考试题） B 级 级 1. 如图，梯子AB斜靠在墙上，ACB90，AB5m，BC4m，当点 B下滑到点 B时点A向左平移 到点A，设 BBx
13、，当x_时，点 B下滑的距离与点 A向左平移的距离相等. （徐州市中考试 题） 第2题图第1题图 A A B B C B A l 第3题图 30米 P 2. 如图，在 RtABC 中，C90，BC6cm，CA8cm，动点 P 从点 C 出发，以 2cm/s 的速度沿 CA，AB移到点B，则C 点出发_秒时，可使 ABCBCP SS 4 1 . 3. 甲、 乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过 P点回到起跑线 （如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑；用时少者胜.结果，甲同学由于心急， 掉了球，浪费了 6秒钟，乙同学则顺利跑完。 事后，乙同学说：
14、“我俩所用的全部时间的和为 50秒，捡 球过程不算在内时，甲的速度是我的 1.2 倍。”根据图文信息，请问哪位同学获胜？（江西省中考试 题） 4. 一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次购买铅笔 301 支以上（包括 301 支），可以按批发价付 款；购买 300 支以下（包括 300 支）只能按零售价付款.现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三年 级每人买 1 支，则只能按零售价付款，需用（ 1 2 m ）元（m为正整数，且 1 2 m 100）；如果多 买60支，则可以按批发价付款，同样需用（ 1 2 m ）元. （1）设这个学校初三年级共有x名学生，则x的取值范围是_；铅笔的零售价每支应
15、 为_元，批发价每支应为_元.（用含x，m，n的代数式表示） （2）若按批发价每购买 15 支，比按零售价每购 15 支少付款 1 元，试求这个学校初三年级共有多少名 学生，并确定m的值. 5. 在一次汽车比赛中，有三辆汽车在起点同时同向出发，其中第二辆车每小时辆车比第一辆车少走 5 公里，而比第三辆车多走 7.5公里；第二辆车到达终点比第一辆车迟 3 分钟，而比第三辆车早到 5分钟. 假设它们在路上都没停过. （1）比赛的路程是多少公里？ （2）第二辆车的速度是每小时多少公里？ （荆州市竞赛试 题） 6.象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘.记分办法是胜一盘得 1 分，和
16、一盘 各得0.5 分，负一盘得 0 分. 已知其中两名选手共得 8分，其他人的平均分为整数，参加此次比赛的选 手共有多少人？ （天津市竞赛试题） 7. 如图，有矩形地 ABCD 一块，要在中央修建一矩形 EFGH 花圃，使其面积为这块地面积地一半，且 花圃四周的道路宽相等.今无测量工具，只有无刻度的尺和够长的绳子一条，如何量出道路的宽度？ 8. 小明有5张人民币，面值合计 20 元. （1）小明的 5 张人民币的面值分别是_元、_元、_元、_元、_元. （2）小明来到水果店，称了x公斤苹果（x是整数），按标价应付y元，正好等于小明那 5 张人民币 中的2张面值之和；这时果筐里还剩 6公斤苹果，
17、店主便对小明说：“如果你把这剩下的也都买去，那 么连同刚才已经称的，一共就付 10元钱吧。 ”小明一算，这样相当于每公斤比原标价减少了0.5 元，本 着互利原则，便答允了，试求x和y. （江苏省竞赛试题） 9. 如图，等腰RtABC 的直角边 AB2，点 P、 Q 分别从 A、 C 两点同时出发，以相等的速度作直线运动. 已知点P沿射线AB运动，点Q 沿边 BC 的延长线运动，PQ 与直线 AC 相交于点D. （1）当 AP 的长为何值时， ABCPCQ SS ？ （2）作 PEAC 于点 E，当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度是否改变？证明你的结论. （荆门市中考试 题） E D A B C Q P 10. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出 500千克.经市场调查发现， 在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克.现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 11. 求满足下列条件的所有四位数：abcd:abcd(abcd) 2 ,其中数码c可以为0. （“新知杯”上海市竞赛试 题）
