1、 专题 02 乘法公式 例 1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是 4 的倍数 例 2 （1）B xy（ 2 a4aa）（ 2 b8b16） 2 2a 2 4b0，xy （2）B 3 个等式相加得： 2 3a 2 1b 2 1c0，a3，b1，c1abc3 113 例 3 （1） 16 7 （2）4 （3）5050 例 4 71 8 提示：由 ab1， 2 a 2 b2 得 ab 1 2 ，利用 1n a 1n b （ n a n b） （ab) ab( 1n a 1n b )可分别求得 3 a 3 b 5 2 ， 4 a 4 b 7 2 ， 5 a 5 b19 4 ， 6 a 6 b 26
2、 4 ， 7 a 7 b 71 8 例 5 （1）设 n 为自然数，则 n（n1)(n2)(n3）1 2 2 31nn （2）由得，20002001200220031 2 4006001 例 6（1）设 . 3 , 2 , 1 333 222 cba cba cba 2 ，得 abbcac 2 1 ， 333 cba3abc（abc） （ 222 cbaabbcac） ， abc 3 1（ 333 cba） 3 1（abc） （ 222 cbaabbcac） 3 1 3 3 1 1 （2 2 1 ） 6 1 （2）将式两边平方，得, 4222 222222444 accbbacba 22222
3、2444 2224accbbacba 42)(2 2 cbaabcacbcab 42 1 6 1 2 2 1 2 6 25 A 级 10 或 6 226，28 32 440 534 60 7D 8A 9C 10.原有 136 或 904 名学生设 .1208 ,1208 2 2 mx mx m，n 均为正整数，且 mn， 得（mn） （mn）2405324 2 m， 2 n都是8的倍数， 则m， n能被4整除， mn， mn均能被4整除 得 4 60 nm nm 或 12 20 nm nm ， 28 12 n m 或 4 16 n m 8x 2 m120904 或 8x 2 m120136 1
4、1.因为 a 9 10 3 382 （ 9 101） （ 3 381） 999 999 99937 （ 2 38381） ， 而 999 999 9999111 111 1119337 037 03727371 001 00137（271 001 001） 所以 37|999 999 999，且 37|37（ 2 38381） ，因此 a 是 37 的倍数 12.第 2003 行式子为： 2 2 2 20042004200320032120042003 第 n 行式子为： 22 22 11nnnn 2 2 1nn证明略 B 级 11094 276 提示：由 13a9b3c 得 ab4，bc6，
5、ca10 313 4156 5D 6.C 提示： （xy） （xy）20097741 有 6 个正因数，分别是 1，7，41，49，287 和 2009， 因此对应的方程组为： . 1 , 7 ,41,49,287,2009, 1, 7,41,49,287,2009 ;2009,287,49,41, 7 , 1 ,2009,287,49,41, 7, 1 yx yx 故（x，y）共有 12 组不同的表示 7B 8C 9提示：不存在符合条件的整数对（m，n） ，因为 1954 不能被 4 整除 10设所求两位数为AB，由已知得 22 BAAB 2 k（k 为整数） ， 得 2 11 9.kABA
6、B而 88,0,ABAB 得 11 1 AB AB 或 11 1 AB AB 解得 6 5 A B 或 5 6 A B ，即所求两位数为 65，56 11. 设 2222 xyab xyab , 则由 2 ,得22xyab , 得 22 ()()xyab, 即xyab xyab或xyba 分别与xyab联立解得 xa yb 或 xb ya 2003200320032003 xyab 12. (1) 22 284786 , 22 20124 503504502, 故 28 和 2012 都是神秘数 （2） 22 (22)(2 )4(21),kkk为 4 的倍数 （3）神秘数是 4 的倍数， 但一定不是 8 的倍数. 22 (21)(21)8nnn,故两个连续奇数的平方 差不 是神秘数
