1、 专题 13 旋转变换 （录入：王云峰录入：王云峰） 阅读与思考阅读与思考 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定 点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角 旋转变换不改变图形的形状和大小通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同 样大小的角度旋转变换前后的图形有下列性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角； （3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心 例题与求解例题与求解 【例 1】如图，边长为 1 的正A1B1C1的中心为 O，将正A1B1C1绕中心
2、O 旋转到A2B2C2，使得 A2B2丄 B1C1，则两个三角形的公共部分（即六边形 ABCDEF）的面积为 （ “新知杯”上海市竞赛试题） 解题思路解题思路：S六边形ABCDEF 2222 3 A B CB CD SS ，解题的关键是寻找 CB1，CB2，CD，C1D 之间的关系 【例 2】如图，已知 AOB， COD 都是等腰直角三角形，AOBCQD90 ，N，M，Q，P 分 别为 AB，CB，CD，AD 的中点 求证：四边形 NMQP 为正方形 解题思路解题思路：连结 BD，AC，并延长 AC 交于点 E，则 OAC 可以看作是由 OBD 绕点 O 逆时针旋转 90 得到的，且AED90
3、 ，这是证明本例的关键 A B C D E F O 1 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2 C Q A B C D E M N O P 【例 3】如图，巳知在ABC 中，ABAC，P 为形内一点，且APBAPC 求证：PBPC （北京市竞赛试题） 解题思路解题思路： 以 A 为中心， 将APB 旋转一个BAC， 使 AB 边与 AC 边重合， 这时APB 到了APC 的位置 【例 4】点 B，C，E 在同一直线上，点 A，D 在直线 CE 的同侧，ABAC，ECED，BAC CED，直线 AE，BD 交于点 F （1）如图 1，若BAC60 ，则AFB；如图 2，若BAC90 ，则AFB；
4、 （2）如图 3，若BAC，则AFB（用含的式子表示） ； （3）将图 3 中的 ABC 绕点 C 旋转（点 F 不与点 A，B 重合） ，得图 4 或图 5在图 4 中，AFB 与的数量关系是；在图 5 中，AFB 与的数量关系是 请你任选其中一个结论证明 （武汉市中考试题） 解题思路解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：ABCEDC，BCD ACE，这是解本例的关键 A BC P P A BC D E F 图 1 A BC D E F 图 2 A BC D E F 图 3 A B C D E F 图 4 A B C D E F 图 5 Q 【例 5】如图，已知凸五边
5、形 ABCDE 中，ABBCCDDEEA，ABC2DBE 求证：ABC60 （北京市竞赛试题） 解题思路解题思路：将 ABE 以 B 为旋转中心顺时针旋转ABC，使得 AB 与 BC 重合，落在 CBE位置， 则 ABECBE，AECE，BEBE，CBEABE 【例 6】如图，已知正方形 ABCD 内一动点 E 到 A，B，C 三点的距离之和的最小值为26，求此正 方形的边长 （广东省竞赛试题） 解题思路解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时 E 点的位置，通过旋转变 换，把 EA，EB，EC 连结起来 能力训练能力训练 A 级 1如图，巳知正方形 ABCD 中，点
6、E 在边 DC 上，DE2，EC1，把线段 AE 绕点 A 旋转，使点 E 落 在直线 BC 上的点 F 处，则 F，C 两点的距离为 （上海市中考试题） 2如图，P 是正ABC 内的一点，且 PA6，PB8，PC10若将PAC 绕点 A 逆时针旋转后， 得到PAB，则点 P 与点 P之间的距离为，APB （青岛市中考试题） 3如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD2，BC3，BCD45 将 CD 以点 D 为中心逆时针旋转 90 至 ED，连结 AE，则 ADE 的面积是 A BC D 第 1 题 A B C P P 第 2 题 A BC D E 第 3 题 A B C D
7、E E A BC D E 4如图，在 Rt ABC 中，已知C90 ，B50 ，点 D 在边 BC 上，BD2CD把 ABC 绕着 点 D 逆时针旋转m（0m180）度后， 如果点 B 恰好落在初始 Rt ABC 的边上， 那么m （上海市中考试题） 5如图，将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 60 至 ABCD的位置，则这两个正 方形重叠部分的面积是 （全国初中数学联赛试题） 6如图，在 Rt ABC 中，A90 ，AB6cm，AC8cm以斜边 BC 上距离点 B6cm 的点 P 为 中心，把这个三角形按逆时针方向旋转 90 至 DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分
8、的面积为 （黄冈市竞赛试题） 7如图，将 ABC 绕点 C（0，1）旋转 180 得到 ABC，设点 A的坐标为（a，b） ，则点 A 的坐标为（ ） A （a，b） B （a，1b ） C （a，1b ） D （a，2b ） （河南省中考试题） 8如图，已知 P 是等边ABC 内部一点，APBBPCCPA567则以 PA，PB，PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（ ） A234 B345 C456 D不能确定 （全国初中数学通讯赛试题） 9如图，在 ABC 中，BAC120 ，P 是 ABC 内一点，则（ ） APAPBPCABAC BPAPBPCABAC CPAPBPCAB
9、AC DPARBPC 与 ABAC 的大小关系不确定 （武汉市竞赛试题） A B C D 第 4 题 A B C D B C D 第 5 题 AB C D E F G H K P 第 6 题 x y O A B C B A 第 7 题 A BC P 第 8 题 A BC P 第 9 题 10已知：如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA 到点 F，OD 到点 E，使 OF2OA， OE2OD连结 EF，将FOE 绕点 O 逆时针旋转角得到FOE（如图 2） （1）探究 AE 与 BF的数量关系，并给予证明； （2）当30 时，求证： AOE为直角三角形 （南通市中考试题） 11
10、在ABC 和DEF 中，ABAC，DEDF，BACEDF，点 M，N 分别是 BE，CF 的中点 （1）若点 A 与点 D 重合，点 E，F 分别在 AB，AC 上（如图 1） ，则 AM 与 AN 的数量关系是 ，MAN 与的数量关系是； （2）将图 1 中的DEF 绕点 A（D）旋转（如图 2） ，第（1）问的两个结论是否仍成立？若成立， 请证明；若不成立，请说明理由 A BC D EF O 图 1 A B C D E F O 图 2 A B C( )D E F M N 图1 A B C( )D E F M N 图 2 B 级 1如图， ABC 是边长为 1 的等边三角形， BDC 是顶角
11、BDC120 的等腰三角形，MDN 60 ，则 AMN 的周长 （重庆市竞赛试题） 2如图，在等腰 Rt ABC 的斜边 AB 上取两点 M，N，使MCN45 ，记 AMm，MNx，BN n，则以线段x，m，n为边长的三角形的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D随x，m，n的变化而变化 （安徽省竞赛试题） 3如图，直线y 4 4 3 x与x轴，y轴分别交于 A，B 两点，把 AOB 绕点 A 顺时针旋转 90 后 得到 AOB，则点 B的坐标是（ ） A （3，4） B （4，5） C （7，4） D （7，3） （丽水市中考试题） 4如图，正方形 ABCD 中，已知 A
12、B3，点分别在 BC，CD 上，且BAE30 ，DAF15 ， 求 AEF 的面积 （ “希望杯”邀请赛试题） 5 （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD60 ，BCD120 求证：BCDCAC； （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABBC，ABC60 ，P 为四边形 ABCD 内一点，且APD 120 ，求证：PAPDPCBD （江苏省竞赛试题） A BC D M N 第 1 题 AB C MN 第 2 题 x y O 第 3 题 A B C D E F 第 4 题 A B C D 图 A B C D P 图 第 5 题 6如图，在 ABC 中，ABAC，BAC120
13、 ， ADE 是正三角形，点 D 在边 BC 上，已知 BD DC23，当 ABC 的面积是 50cm2时，求 ADE 的面积 （日本数学奥林匹克试题） 7如图，已知 O 是锐角三角形 ABC 内一点，AQBBOCCOA120 ，P 是 ABC 内任一 点求证：PAPBPCOAOBOC （杭州市竞赛试题） 8 （1）如图 1，已知正方形 ABCD 和正方形 CGEF（CGBC） ，B，C，G 在同一条直线上，M 为 线段 AE 的中点探究：线段 MD，MF 的关系； （2）如图 2，若将正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转 45 ，使得正方形 CGEF 的对角线 CE 在正方形 ABCD 的
14、边 BC 的延长线上，M 为 AE 的中点试问： （1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由 （3）如图 3，若将正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转，M 为 AE 的中点试问：第（1）问中探究 的结论是否成立？ （大连市竞赛试题） A BC D E 第 6 题 AB C O P 第 7 题 A B C D E F G M 图 1 A B C D E F G M 图 2 A B C D E F G M 图 3 9已知正方形 ABCD 和等腰 Rt BEF，BEEF，BEF90 按图 1 的位置，使点 F 在 BC 上， 取 DF 的中点 G，连结 EG，CG （1）探
15、索 EG，CG 的数量关系和位置关系并证明； （2）将图中 BEF 绕点 B 顺时针旋转 45 ，再连结 DF，取 DF 中点 G（如图 2） ，第（1）问中的结 论是否仍然成立？请你证明； （3）将图 1 中BEF 绕点 B 转动任意角度（在 0 90 之间） ，再连结 DF，取 DF 的中点 G（如图 3） ，第（1）问中的结论是否仍成立？不必证明 10 在平面直角坐标系中， 已知 O 为坐标原点， 点 A （3， 0） ， B （0， 4） 以点 A 为旋转中心， 把 ABO 顺时针旋转，得 ACD记旋转角为，ABO 为 （1）如图 1，当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时，求点 D 的坐标； （2）如图 2，当旋转后满足 BCx轴时，求与之间的数量关系； （3）当旋转后满足AOD时，求直线 CD 的解析式 （天津市中考试题） 11如图，在 ABC 中，BAC60 ，AB2AD，点 P 在 ABC 内，且 PA3，PB5，PC 2，求 ABC 的面积 （ “ 数学周报杯”全国初中数学竞赛试题） A B C D E F G 图 3 A BC D E F G 图 2 图 1 A BC D E F G A C D O y x 图 1 B A C D O y x 图 2 B 第10题 A BC P 第 11 题
