1、 专题 21、专题 22录入：江阴 夏建平 （QQ：705269007） 专题专题 22 22 与圆相关的比例线段与圆相关的比例线段 阅读与思考阅读与思考 比例线段是初中数学的一个核心问题. 我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们 可以利用相似三角形研究证明比例线段， 在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上， 在不同的图形中 又发展为新的形式. 在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系. 在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系. 相交弦定理、切割线定理及
2、其推论，它们之间有着密切的联系： 1从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系； 2从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式. 熟悉以下基本图形和以上基本结论. T P B D C B A P P A D C B A 例题与求解例题与求解 【例【例 1】如图，已知 AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 交于点 E，过点 A 作圆的切线与 CD 的延长线交于点 F.若 DE=3 4CE，AC=8 5，点 D 为 EF 的中点，则 AB= . （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：设法求出 AE、BE 的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等. D
3、 O C F E A B A O D E C 例 1 题图 例 2 题图 【例【例 2】如图，在 RtABC 中，C=90，AC=4，BC=3，以 BC 上一点 O 为圆心作O 与 AC、AB 都相切， 又O 与 BC 的另一个交点为 D，则线段 BD 的长为（ ） A1 B1 2 C 1 3 D 1 4 （武汉市中考试题） 解题思路：解题思路：由切割线定理知 BE2=BDBC，欲求 BD，应先求 BE. 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含 条件. 【例【例 3】如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是 AB 延长线上一点，CD 切半圆于 D，DEAB 于 E.已知 AE EB=4 1，CD
4、=2，求 BC 的长. （成都市中考试题） 解题思路：解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口. O A EB D C 【例【例 4】如图，AC 为O 的直径且 PAAC，BC 是O 的一条弦，直线 PB 交直线 AC 于点 D，DB DP= DC DO= 2 3. （1）求证：直线 PB 是O 的切线； （2）求 cosBCA 的值. （呼和浩特市中考试题） 解题思路：解题思路：对于（1） ，恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2） ，将问题转化为求线段的比值. P O A B D C 【例【例 5】如图，已知 AB 为O 的直径，C 为O 上一点.
5、延长 BC 至 D，使 CD=BC，CEAD 于 E，BF 交 O 于 F，AF 交 CE 于 P. 求证：PE=PC. （太原市竞赛试题） 解题思路：解题思路：易证 PC 为O 切线，则 PC2=PFPA，只需证明 PE2= PFPA. 证PEFPAE，作出常用辅 助线，突破相关角. P O A E F B D C 【例【例 6】如图，已知点 P 是O 外一点，PS、PT 是O 的两条切线. 过点 P 作O 的割线 PAB，交O 于 A、 B 两点，与 ST 交于点 C. 求证： 1 PC= 1 2（ 1 PA+ 1 PB）. （国家理科实验班招生试题） 解题思路：解题思路：利用切割线定理，
6、再由三角形相似即可证. TS P O A B 能力训练能力训练 A A 级级 1如图，PA 切O 于 A 点，PC 交O 于 B、C 两点，M 是 BC 上一点，且 PA=6，PB=BM=3，OM=2，则 O 的半径为 . （青岛市中考试题） 2 如图， 已知ABC 内接于O， 且 AB=AC， 直径 AD 交 BC 于点 E， F 是 OE 的中点.如果 BDCF， BC=2 5， 则 CD= . （四川省竞赛试题） M P O A B C E O P D C B AD C B A P OO A E F D C B （第 1 题图） （第 2 题图） （第 3 题图） （第 4 题图） 3如
7、图，AB 切O 于点 B，AD 交O 于点 C、D，OPCD 于点 P. 若 AB=4cm，AD=8cm，O 的半径为 5cm，则 OP= . （天津市中考试题） 4如图，已知O 的弦 AB、CD 相交于点 P，PA=4，PB=3，PC=6，EA 切O 于点 A，AE 与 CD 的延长线 交于点 E，AE=2 5，那么 PE 的长为 . （成都市中考试题） 5如图，在O 中，弦 AB 与半径 OC 相交于点 M，且 OM=MC，若 AM=1.5，BM=4，则 OC 的长为（ ） A2 6 B 6 C2 3 D2 2 （辽宁省中考试题） M D C B A C B A M P O O A C D
8、 B （第 5 题图） （第 6 题图） （第 7 题图） 6如图，两个同心圆，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 P，大圆的弦 CD 经过点 P，且 CD=13，PD=4，则两 圆组成的圆环的面积为（ ） A16 B36 C52 D81 （南京市中考试题） 7如图，两圆相交于 C、D，AB 为公切线，若 AB=12，CD=9，则 MD=（ ） A3 B3 3 C6 D6 3 8如图，O 的直径 AB=10，E 是 OB 上一点，弦 CD 过点 E，且 BE=2，DE=2 2，则弦心距 OF 为（ ） A1 B 2 C 7 D 3 （包头市中考试题） E O P D B A D C B A O O
9、 E A C E F DC B （第 8 题图） （第 9 题图） （第 10 题图） 9如图，已知在ABC 中，C=90，BE 是角平分线，DEBE 交 AB 于 D，O 是BDE 的外接圆. （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 AD=6，AE=6 2，求 DE 的长. （南京市中考试题） 10如图，PA 切O 于 A，割线 PBC 交O 于 B、C 两点，D 为 PC 的中点，连结 AD 并延长交O 于 E， 已知：BE2=DEEA. 求证：（1）PA=PD；（2）2BP2=ADDE. （天津市中考试题） 11如图，ABC 是直角三角形，点 D 在斜边 BC 上，BD=4DC.已知
10、O 过点 C 且与 AC 相交于 F，与 AB 相切于 AB 的中点 G.求证：ADBF. （全国初中数学联赛试题） G E A D C B O O F A E F D C B （第 11 题图） （第 12 题图） 12如图，已知 AB 是O 的直径，AC 切O 于点 A. 连结 CO 并延长交O 于点 D、E，连结 BD 并延 长交边 AC 于点 F. （1）求证：ADAC=DCEA； （2）若 AC=nAB（n 为正整数），求 tanCDF 的值. （太原市竞赛试题） B B 级级 1如图，两个同心圆，点 A 在大圆上，AXY 为小圆的割线，若 AXAY=8，则圆环的面积为（ ） A4
11、B8 C12 D16 （咸阳市中考试题） 2如图，P 为圆外一点，PA 切圆于 A，PA=8，直线 PCB 交圆于 C、B，且 PC=4，ADBC 于 D，ABC= ，ACB=. 连结 AB、AC，则sin sin的值等于（ ） A1 4 B 1 2 C2 D4 （黑龙江省中考试题） Y X P D B A DC B A OO F E A C （第 1 题图） （第 2 题图） （第 3 题图） 3如图，正方形 ABCD 内接于O，E 为 DC 的中点，直线 BE 交O 于点 F，若O 的半径为 2，则 BF 的长为（ ） A 2 3 B 2 2 C 5 56 D 5 54 （南京市中考试题）
12、 4如图，已知O 的半径为 12，锐角ABC 内接于O，BDAC 于点 D，OMAB 于点 M，则 sinCBD 的值等于（ ） AOM 的长 B2OM 的长 CCD 的长 D2 CD 的长 （武汉市中考试题） OP B AD C B A M P O O F E A C D C B （第 4 题图） （第 5 题图） （第 6 题图） 5如图，PC 为O 的切线，C 为切点，PAB 是过 O 点的割线，CDAB 于 D.若 tanB=1 2，PC=10cm，求 BCD 的面积. （北京市海淀区中考试题） 6如图，已知 CF 为O 的直径，CB 为O 的弦，CB 的延长线与过 F 的O 的切线交
13、于点 P. （1）若P=45，PF=10，求O 半径的长； （2）若 E 为 BC 上一点，且满足 PE2=PBPC，连结 FE 并延长交O 于点 A.求证：点 A 是 BC的中点. （济南市中考试题） 7已知 AC、AB 是O 的弦，ABAC. （1）如图 1，能否在 AB 上确定一点 E，使 AC2=AEAB?为什么？ （2）如图 2，在条件（1）的结论下延长 EC 到 P，连结 PB，如果 PB=PE，试判断 PB 与O 的位置关系并 说明理由； （3）在条件（2）的情况下，如果 E 是 PD 的中点，那么 C 是 PE 的中点吗？为什么？ （重庆市中考试题） 图2图1 P B A D
14、C B A P O E A C D C B （第 7 题图） （第 8 题图） 8如图，P 为O 外一点，PA 与O 切于 A，PBC 是O 的割线，ADPO 于 D，求证：PB BD= PC CD. （四川省竞赛试题） 9如图，正方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，且 OA 边和 AB 边所在的直线的解析式分别为：y= 4 3 x 和 y= 3 25 3 4 x.D、E 分别为边 OC 和 AB 的中点，P 为 OA 边上一动点（点 P 与点 O 不重合），连接 DE 和 CP， 其交点为 Q （1）求证：点 Q 为COP 的外心； （2）求正方形 OABC 的边长； （3）当Q 与 AB 相切时，求点 P 的坐标 （河北省中考试题） y x Q D O P B A D C B A P O O E A C E D C B （第 9 题图） （第 10 题图） （第 11 题图） 10如图，已知 BC 是半圆 O 的直径，D 是 AC的中点，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 E. （1）求证：ACBC=2BDCD； （2）若 AE=3，CD=2 5，求弦 AB 和直径 BC 的长. （天津市竞赛试题） 11如图，PA 是O 的切线，切点为 A，PBC 是O 的割线，ADOP，垂足为 D. 证明：AD2=BDCD. （全国初中数学联合竞赛试题）
