1、 专题专题 11 双曲线双曲线 阅读与思考阅读与思考 形如(0) k yk x 的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻来 控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的 压强减小，从而使人不陷入泥中. 反比例函数的基本性质有： 1. 反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线， 双曲线向坐标轴无限延伸， 但不能与坐标轴相交； 2. k 的正负性，决定双曲线大致位置及 y 随 x 的变化情况； 3. 双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线yx及yx. 反比例函数与一次函数有着内在的联系. 如在作图时都
2、要经历列表、描点、连线的过程；研究它们 的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同. 反比例函数 k y x 中k的几何意义是：k等于双曲线上任意一点作x轴、 y 轴的垂线所得的矩形的面积，如图： （1） 1 2 AOB Sk ； （2） ACOB Sk 矩形 . 求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到. 求符合某种条件的点的坐标， 常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程 （组） ，解方程（组）求得相关点的坐标. 解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的 周密性. 反比例函数
3、是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析 问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识. 例题与求解例题与求解 【例 1】 （1）如图，已知双曲线(0) k yx x 经过矩形 OABC 边 AB 的中 点 F 且交 BC 于点 E，四边形 OEBF 的面积为 2，则k . （兰州市中考试题） y xO C B A F E y xO C B A （2）如图，P1OA1，P2A1A2都是等腰直角三角形，点 P1，P2在函 数 4 (0)yx x 的图象上，斜边 OA1，A1A2都在 x 轴上，则点 A2的坐标 是 . （南通市中考试题） 解题思路解题思路：
4、对于（1） ，通过连线，把相关图形的面积用 k 表示；对于（2） ，设 1 OAa， 12 A Ab， 把 A，C 两点坐标用 a，b 表示. 【例 2】如图，P 是函数 1 (0) 2 yx x 图象上一点，直线1yx 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，PMx 轴于 M，交 AB 于 E，PNy 轴于 N，交 AB 于 F，则AF BE的值为 . （北京市竞赛试题） 解题思路解题思路：设( , )P a b，把 AF，BE 用 a，b 的式子表示. 【例 3】如图，已知直线 1 2 yx与双曲线(0) k yx x 交于 A、B 两点，且点 A 的横坐标为 4. （1）求 k 的值；
5、（2）若双曲线(0) k yx x 上一点 C 的纵坐标为 8，求AOC 的面积； （3）过原点 O 的另一条直线 l 交(0) k yx x 于 P、Q 两点（P 点在第 一象限） ，若由点 A、B、P、Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的 坐标. （福州市中考试题） 解题思路解题思路：对于（2） ，有下列不同的解法： A C Ox y E A C Ox y E D D FE y xO C A 图 1 图 2 图 3 P2 P1 A2A1 y x O N P M F E y x O B A y x O C B A 对于（3） ，需要思考的是，四边形 APBQ 的形状，P 点与 A
6、 点有怎样的位置关系. 【例 4】 已知反比例函数 2 k y x 和一次函数21yx， 其中一次函数的图象经过( , )a b，(1,)abk 两点. （1）求反比例函数的解析式； （2）如图，已知 A 点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求 A 点坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在 x 轴上是否存在点 P，使AOP 为等腰 三角形？若存在，把符合条件的 P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由. 解题思路解题思路：对于（3） ，应分类讨论，并注意 A 点坐标隐含的信息. 【例 5】一次函数yaxb的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 M、N，与反比例函数 k y x 的图象相交
7、于点 A、B，过点 A 分别作 ACx 轴，AEy 轴，垂足分别为 C，E；过点 B 分别作 BFx 轴，BDy 轴，垂足分别为 F，D，AC 与 BD 交于点 K，连接 CD. （1）若点 A，B 在反比例函数 k y x 的图象的同一分支上，如图 1，试证明： AEDKCFBK SS 四边形四边形 ； ANBM. （2）若点 A，B 分别在反比例函数 k y x 的图象的不同分支上，如图 2，则 AN 与 BM 还相等吗？试 证明你的结论. x y A B C D E F M N O K K O N MF E D C B A y x 图 1 图 2 （威海市中考试题） 解题思路解题思路：对
8、于（1） ，通过连线证明面积相等，进而可证 ABDC，则四边形 ANDC，DCMB 为平 行四边形； （2）方法同（1）. y A xO 例 5 的拓展变化： 如图，点 M，N 在反比例函数 k y x 的图象上，过点 M 作 MEx 轴，过点 N 作 NFy 轴，垂足分 别为 E、F，则 MNEF. O N M F E C y x 【例 6】点(4 ,0 )A，(0,3)B与点 C 构成边长是 3，4，5 的直角三角形，如果点 C 在反比例函数 k y x 的图象上，求 k 可能取的一切值. （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思解题思路路：本题是与反比例函数相关的综合题，运用了代数化、勾股定理
9、、消元降次、分类讨论等 思想方法. 能力训练能力训练 A 级 1. 已知 2 3 (2) m ymx 是反比例函数，则m . 2. 若反比例函数 3k y x 的图象位于第二、四象限，则满足条件的正整数 k 的值是 . （沈阳市中考试题） 3. 已知双曲线 k y x 经过点( 1,3)，如果 11 (,)A a b， 22 (,)B a b两点在该双曲线上，且 12 0aa， 那么 1 b 2 b. （威海市中考试题） 4. 已知函数 2 1a y x （a 为常数）的图象上有三点 1 (3,)y， 2 ( 1,)y， 3 (2,)y，则 1 y， 2 y， 3 y的 大小关系是 . 5.
10、如图，一次函数与反比例函数相交于 A，B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的 x 的取值范围是 . （荆门市中考试题） 6. 如图， B为双曲线(0) k yx x 上一点， 直线AB平行于y轴交直线yx于点A， 若 22 4OBAB， 则k . （武汉市四月调考试题） -1 -1 2 2 A B y x y x A O B （第 5 题） （第 6 题） 7. 如图，直线ymx与双曲线 k y x 交于 A、B 两点，过点 A 作 AMx 轴于 M 点，连接 BM，若 2 ABM S ，则 k 的值是（ ） A.2 B.2m C.m D.4 （鄂州市中考试题） x y A B O
11、 C D E xM B A O y （第 7 题） （第 8 题） 8. 如图，反比例函数 4 y x 的图象与直线 1 3 yx 的交点为 A、B，过 A 作 y 轴的平行线与过 B 作 x 轴的平行线相交于点 C，则ABC 的面积为（ ） A.8 B.6 C.4 D.2 （深圳市中考试题） 9. 函数(0)ykxb k与(0) k yk x 在同一坐标系中的图象可能是（ ） y x O O x y O x yy x O （山西省中考试题） 10. 如图， RtABO 的顶点 A 是双曲线 k y x 与直线(1)yxk 在第四象限的交点，ABx 轴于 B，且 3 2 ABO S . （1）
12、求这两个函数的解析式； （2）求直线与双曲线的两个交点 A，C 的坐标和AOC 的面积. （黄冈市中考试题） 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 y 轴、x 轴分别交于点 A、点 B，与反比例函数 m y x 在第一象限的图象交于点(1,6)C、(3, )Dn，过 C 点作 CEy 轴于 E，过点 D 作 DFx 轴于 F. （1）求 m，n 的值； （2）求直线 AB 的函数解析式； （3）求证：AEC DFB. （温州市中考试题） x y C O B A F x y E D C O B A 12. 如图所示，已知双曲线(0,0) k ykx x 的图象上有两点 111 (,)
13、P x y， 222 (,)P xy，且 12 xx，分 别过 1 P， 2 P向 x 轴作垂线，垂足为 B，D，过 1 P， 2 P向 y 轴作垂线，垂足分 别为 A，C. （1）若记四边形 1 APBO和四边形 2 CP DO的面积分别为 1 S， 2 S，周长分 别为 1 C， 2 C，试比较 1 S和 2 S， 1 C和 2 C的大小； （2）若 P 是双曲线(0,0) k ykx x 上一点，分别过 P 向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 M，N. 试 问当 P 在何处时四边形 PMON 的周长最小，最小值为多少？ （黄冈市特长生选拔赛试题） B 级 1. 已知 12 yyy，且
14、1 y与 1 x 成反比例， 2 y与2x成反比例. 且当2x 时，7y ；当1x 时， 5y . 当2x 时，y . 2. 直线(0)yax a与双曲线 3 y x 交于 11 (,)A x y， 22 (,)B xy两点，则 1221 43x yx y . （荆门市中考试题） 3. 如图，过原点的直线与反比例函数 7 y x 的图象交于点 A，C，自点 A 和点 C 作 x 轴的垂线， 垂足分别为 B 和 D，则四边形 ABCD 的面积等于 . （北京市竞赛试题） P2 P1 C D x B A O y y x A O B C D y x A O B C D （第 3 题） （第 4 题）
15、 4. 已知函数1yx 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 C，B，与双曲线 k y x 交于点 A，D，若 ABCDBC，则 k 的值为 . （十堰市中考试题） 5. 两个反比例函数 k y x 和 1 y x 在第一象限内的图象如图所示，点 P 在 k y x 的图象上，PCx 轴于点 C，交 1 y x 的图象于点 A，PDy 轴于点 D，交 1 y x 的图象于点 B，当点 P 在 k y x 的图象上 运动时，有以下结论： ODB 与OCA 的面积相等； 四边形 PAOB 的面积不会发生变化； PA 与 PB 始终相等； 当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点.
16、其中一定正确的是 . （咸宁市中考试题） 6. 如图，正方形 OABC，ADEF 的顶点 A，D，C 在坐标轴上，点 F 在 AB 上，点 B，E 在函数 1 (0)yx x 的图象上，则点 E 的坐标是（ ） A. 5151 (,) 22 B. 35 35 (,) 22 C. 5151 (,) 22 D. 35 35 (,) 22 （绍兴市中考试题） 7. 如图，两个反比例函数 1 k y x 和 2 12 (0) k ykk x 在第一象限内的 图象依次是曲线 1 c和 2 c，设 P 点在 1 c上，PEx 轴于点 E，交 2 c于点 A， BP CO A x y c2 c1 E BP
17、D O A x y E y x AO B C D PDy 轴于点 D，交 2 c于点 B，则四边形 PAOB 的面积为（ ） A. 12 kk B. 12 kk C. 12 kk D. 1 2 k k （浙江省竞赛试题） 8. 等腰直角三角形 ABC 位于第一象限，2ABAC， 直角顶点 A 在 直线yx上，其中 A 点的横坐标为 1，且两条直角边 AB、AC 分别平行于 x轴、 y轴， 若双曲线(0) k yk x 与ABC有交点， 则k的取值范围是 （ ） A.12k B.13k C.14k D.14k （济南市中考试题） 9. 如图，正方形 OABC 的面积为 9，点 O 为坐标原点，点
18、 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点 B 在函 数(0,0) k ykx x 的图象上， 点( , )P m n是函数(0,0) k ykx x 的图象上的任意一点， 过点 P 分别 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E，F，并设矩形 OEPF 和正方形 OABC 不重合部分的面积为 S. C E y x AO B F P （1）求 B 点坐标和 k 的值； （2）当 9 2 S 时，求点 P 的坐标； （3）写出 S 关于 m 的函数关系式. （温州市中考试题） 10. 如图， 已知直线:33l yx 交 x 轴于 A， 交 y 轴于 B， P 为反比例函数 3 (0)yx x
19、上一点， C y x A O B 过 P 作 x 轴平行线交直线 l 于 E，过 P 作 y 轴平行线交直线 l 于 F. 求AE BF的值. E y xAO B F P 11. 已知一次函数yaxb与反比例函数 k y x 的图象交于点(2,3)M，( 4,)Nm. （1）求一次函数yaxb与反比例函数 k y x 的解析式； （2）求MON 的面积. （太原市竞赛试题） 12. 已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，且 1OAOB. 这条曲线是函数 1 2 y x 的图象在第一象限内的一个分支，点 P 是这条曲线上任意一点， 它的坐标是(
20、 , )a b，由点 P 向 x 轴、y 轴作垂线 PM，PN（垂足分别为 M，N） ，分别与直线 AB 相交于点 E 和点 F. N y x P (a,b) M F E B A O （1）设交点 E 和 F 都在线段 AB 上（如图） ，分别求 E，F 的坐标（用 a 的代数式表示 E 点坐标，用 b 的代数式表示 F 点坐标，只需写出答案，不要求写出计算过程） ； （2）求OEF 的面积（结果用 a，b 的代数式表示） ； （3）AOF 与BOE 是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相 似，请简要说明理由； （4）当点 P 在曲线上移动时，OEF 随之变动，指出在OEF 的三个内角中，是否有大小始终保 持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论. （上海市竞赛试题）
