1、 专题专题 26 相对相称相对相称对称分析法对称分析法 阅读与思考阅读与思考 当代美国数学家赫尔曼韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们 用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包 括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）. 对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主 要研究下面两种类型的对称： 1.代数中的对称式 如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的 本质反应的是多元多项式中字母地位
2、相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式 ba，ab表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决. 2.几何图形的对称 几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出 已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起 来，容易找到解题途径. 例题与求解例题与求解 【例【例 l】如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是边 AB，BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是 . (荆门市中考试题) 解题思路解题思路：作 M
3、关于 AC 的对称点 M ，连 MN 交 AC 于点 P，则 PM+PN 的值最小. NM B CA D P 【例【例 2】已知a，b均为正数，且2ba，求 W=14 22 ba 的最小值. （北京市竞赛试题） 解题思路解题思路：用代数的方法求 W 的最小值较繁， 22 ba 的几何意义是以 a，b 为边的直角三角形 的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出 W 的最小值. 【例【例 3】已知111 22 abba ，求证：1 22 ba （四川省竞赛试题） 解题思路解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有 理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理
4、化因式，本例可获得简证 【例【例 4】 如图，凸四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，且 ACBD，已知 OAOC，OBOD， 求证：BCADABCD . （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以 AC 为对称轴，将部分图形翻折 O DB C A 【例【例 5】如图，矩形 ABCD 中，AB20 厘米，BC10 厘米，若在 AC、AB 上各取一点 M，N，使 BM MN 的值最小，求这个最小值. （北京市竞赛试题） 解题思路解题思路：要使 BMMN 的值最小，应该设法将折线 BMMN 拉直，不妨从
5、作出 B 点关于 AC 的 对称点入手. CD AB M N 能力训练能力训练 1.如图，六边形 ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若AFCBCF 0 150，则 AFEBCD 的大小是 . (武汉市中考试题) D E F A B C DA B C E A B O P (第 1 题图) （第 2 题图） （第 3 题图） 2.如图，矩形纸片 ABCD 中，AB2，点 E 在 BC 上，且 AEEC，若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在 AC 上，则 AC 的长是 . (济南市中考试题) 3. 如图，AOB 0 45，P 是AOB 内一点，PO10，Q，P 分别是
6、OA、OB 上的动点，则PQR 周 长最小值是 . 4. 比 6 )56( 大的最小整数是 . （西安交通大学少年班入学试题） 5.如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 3， E 在 BC 上， 且 BE2， P 在 BD 上， 则 PEPC 的最小值为 （ ） . A32 B13 C14 D15 6. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有( ) . A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (南京市中考试题) 7.如图，一个牧童在小河南 4 英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西 8 英里北 7 英里 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离
7、是（ ）. A)1854( 英里 B16 英里 C17 英里 D18 英里 （美国中学生竞赛试题） BC AD P E M C A BP (第 5 题图) （第 7 题图） （第 8 题图） 8.如图，等边ABC 的边长为 2，M 为 AB 中点，P 为 BC 上的点，设 PAPM 的最大值和最小值分别为 S 和 L，则 22 LS 等于（ ） A24 B34 C23 D33 9.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示， 图中字母表示相应的度数，已知c= 0 60， 求ed 与x的值. （江苏省竞赛试题） 110 x e ba ff d cc 10. 求代数式 9)12(4 22 xx
8、的最小值. （ “希望杯”邀请赛试题） 11. 在一平直河岸l同侧有A B，两个村庄，A B，到l的距离分别是3km和2km，kmABa(1)a 现 计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水 方案设计方案设计 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图 1 是方案一的示意图，设该方案中管道长度为 1 d， 且 1 (km)dPBBA（其中BPl于点P） ；图 2 是方案二的示意图，设该方案中管道长度为 2 d，且 2 (km)dPAPB（其中点 A 与点A关于l对称，A B与l交于点P） 观察计算观察计算 （1）在方案一中， 1 d km（用含a的式子表示） ； （2）在方案二中，组
9、长小宇为了计算 2 d的长，作了如图 13-3 所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计 算， 2 d km（用含a的式子表示） 探索归纳探索归纳 （1） 当4a时，比较大小： 12 _dd（填“” 、 “”或“” ） ； 当6a时，比较大小： 12 _dd（填“” 、 “”或“” ） ； （2）对a（当1a 时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案 二？ (河北省中考试题) A B P l l A B P A C 图 1 图 2 l A B P A C 图 3 K 12如图，已知平面直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为 A（2，3） ，B（4，1） （1）若 P
10、（x，0）是x轴上的一个动点，当PAB 的周长最短时，求x的值； （2）若 C（a，0） ，D（3a，0）是x轴上的两个动点，当四边形 ABDC 的周长最短时，求 a 的值； （3）设 M，N 分别为x轴和 y 轴上的动点，问：是否存在这样的点 M（m，0） 、N（0，n） ，使四边 形 ABMN 的周长最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由 x y O B A 13.在ABC 中，BAC45 ，ADBC 于 D，将ABD 沿 AB 所在的直线折叠，使点 D 落在点 E 处； 将ACD 沿 AC 所在的直线折叠，使点 D 落在点 F 处，分别延长 EB、FC 使其交于点 M （1）
11、判断四边形 AEMF 的形状，并给予证明； （2）若 BD1，CD2，试求四边形 AEMF 的面积 CB D A (宁夏中考试题) 14. 阅读下列材料： 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形 ABCD 中，AD8cm，AB6cm，现有一动点 P 按下列方式在矩 形内运动：它从 A 点出发，沿着 AB 边夹角为 45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变 运动方向，沿着与这条边夹角为 45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当 P 点碰到 BC 边，沿着 BC 边夹角为 45的方向作直线运动，当 P 点碰到 CD 边，再沿着与 CD 边夹角为 45的方向作直线运动如图 1
12、所示，问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与 D 点重 合时所经过的路线的总长是多少？ 小贝的思考是这样开始的：如图 2，将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠，得到矩形 A1B1CD，由轴对称的 知识，发现 P2P3P2E，P1AP1E 请你参考小贝的思路解决下列问题： (1) P 点第一次与 D 点重合前与边相碰 次， P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路 径的总长是 cm (2) 进一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD、AB 的长，且满足 ADAB，动点 P 从 A 点出发，按照阅 读材料中动点的运动方式， 并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上 若 P 点第 一次与 B 点重合前与边相碰 7 次，则 AB：AD 的值为
