1、 专题 23 面积的计算 阅阅 读读 与与 思思 考考 计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识： 1.常见图形的面积公式； 2等积定理：等底等高的两个三角形面积相等； 3.等比定理： (1) 同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积 之比等于等于对应底之比. (2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方. 熟悉下列基本图形、基本结论： S1 S4 S1 S2 S3 S1 S2 S3 S4 S2 S3 S1 S2 S3 S2S1 例例 题题 与与 求求 解解 【例【例 1】 如图， ABC 内三个三
2、角形的面积分别为 5， 8， 10， 四边形 AEFD 的面积为x， 则x_. （黄冈市竞赛试题） 解题思路：解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口. 【例【例 2】如图，在ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且 BDCE，BD4，CE6， 那么ABC 的面积等于 ( ) (全国初中数学联赛) A12 B14 C16 D18 解题思路：解题思路：由中点想到三角形中位线，这样ABC 与四边形 BCDE 面积存在一定的关系. 例 2 图 D A B C E 例 1 图 10 8 5 F A B C D E 【例【例 3】如图，依次延长四边形
3、 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 至 E，F，G，H，使BE AB CF BC DG CD AH DA m，若 S四边形EFGH2S四边形ABCD，求m的值. 解题思路：解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于 m的方程. 【例【例 4】如图，P，Q 是矩形 ABCD 的边 BC 和 CD 延长线上的两点，PA 与 CQ 相交于点 E，且PAD QAD，求证：S矩形ABCDS APQ. 解题思路：解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起 来，促使问题的转化. 【例【例 5】如图，在 Rt A
4、BC 中，A90 ，AB8，AC6，若动点 D 从点 B 出发，沿线段 BA 运动 到点 A 为止，移动速度为每秒 2 个单位长度. 过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E，设动点 D 运动的时间为x 秒，AE 的长为 y. (1) 求出 y 关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2) 当x为何值时， BDE 的面积 S 有最大值，最大值为多少？ (江西省中考试题) 解题思路：解题思路：对于(1)利用 ADEABC 可得 y 与x的关系式；对于(2)先写出 S 关于x的函数关系式， 再求最大值. 例 5 图 A BC DE 例 4 图 E Q A BP C D 例 3 图 B
5、C D E F G H A 【例【例 6】如图，设 P 为 ABC 内任意一点，直线 AP，BP，CP 交 BC，CA，AB 于点 D，E，F. 求证：(1) PD AD PE BE PF CF1； (2)PA AD PB BE PC CF2 解题思路：解题思路：过点 A，P 分别作 BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系 起来，把PA AD 转化为面积比，利用面积法证明. 能 力 训 练 A 级 1如图，ABCD 中，AEBE12，S AEF6cm2，则 S CDF的值为_. (济南市中考试题) 2如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2 3cm，P 为正六边形内
6、任一点，则点 P 到各边距离之和为 _. 3如图，P 是边长为 8 的正方形 ABCD 外一点，PBPC， PBD 的面积等于 48，则 PBC 的面积 为_. (北京市竞赛试题) 4 如图， 已知 BOF， AOF， BOD， COE 的面积分别为 30， 40， 35， 84， 则 ABC 的面积为_. (浙江省竞赛试题) 5 如图， 已知 AD 是 Rt ABC 斜边 BC 上的高， DE 是 Rt ADC 斜边上的高， 如果 DCAD12， S DCE a，那么 S ABC等于 ( ) (金华市中考试题) A4a B9a C16a D25a 第 2 题图 A B C DE F 例 6
7、图 A B CD F E 第 1 题图 F A B C D E 第 3 题图 A B P C D 6如图，已知 M 是ABCD 边 AB 的中点，CM 交 BD 于点 E，则图中阴影部分面积与ABCD 的面 积之比为（ ） （山西省中考试题） A1 6 B 1 4 C 1 3 D 5 12 7如图， 在 ABC 中， DEBC， DE 分别交 AB， AC 于点 D， E， 若 S ADE2S DCE， 则S ADE S ABC等于( ) (浙江省宁波市中考试题) A1 4 B 1 2 C 2 3 D 4 9 8如图， ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB
8、 被截成三等分，则 图中阴影部分面积面积为（ ）cm2. (广东省竞赛试题) A4 B2 3 C3 3 D4 3 9如图，平面上有两个边长相等的正方形 ABCD 和 ABCD，且正方形 ABCD的顶点 A在正方形 ABCD 的中心，当正方形 ABCD绕 A 转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值. 这个结论 对吗？证明你的判断. （ “希望杯”邀请赛试题） 10 如图， 设凸四边形 ABCD 的一组对边 AB， CD 的中点分别为 K， M.求证： S四边形ABCDS ABMS DCK. 第 8 题图 H GF E A B C 第 5 题图 E D A B C 第 4 题图 O A B
9、C D E F 第 6 题图 E A B C D M 第 7 题图 A B C D E 第 9 题图 A B C D A B C D 11如图 1，AB，CD 是两条线段，M 是 AB 的中点，S DMC，S DAC，S DBC分别表示 DMC， DAC， DBC 的面积，当 ABCD 时，有 S DMCS DACS DBC 2 . (1) 如图 2，若图 1 中 AB 与 CD 不平行时，式是否成立？请说明理由. (2) 如图 3，若图 1 中 AB 与 CD 相交于点 O 时， 问 S DMC与 S DAC和 S DBC有何相等关系？试证明 你的结论. （安徽省中考试题） 图2图1图3 O
10、 B C B D A D C B A D C AM M M 12如图，在 ABC 中，ACB90 ，ABC30 ，将 ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，旋转角为 （0 180 ） ，得到 ABC. (1) 如图 1，当 ABCB时，设 AB与 CB 相交于点 D，证明： ACD 是等边三角形； (2) 如图 2， 连接 AA， BB， 设 ACA和 BCB的面积分别为 S ACA和 S BCB.求证： S ACAS BCB13. (3) 如图 3，设 AC 的中点为 E，AB的中点为 P，ACa，连接 EP，当 _时，EP 长度最大， 最大值是_. （安徽省中考试题） 图2 图1图3 D A C
11、B A B A C B A B A C B A B E P 第 10 题图 A B C D K M B 级 1如图，A 在线段 BG 上，ABCD 和 DEFG 都是正方形，面积分别为 7cm2和 11cm2，则 CDE 的面 积等于_cm2. （武汉市竞赛试题） 2如图，P 为正方形 ABCD 内一点，PAPB10，并且 P 到 CD 边的距离也等于 10，那么正方形 ABCD 的面积是_. (北京市竞赛试题) 3如图，四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，DC 上，DF FC1， CE BE2，若 ADF 的面积为 m，四 边形 AECF 的面积为 n (nm)，则四边形 ABC
12、D 的面积为_. (全国初中数学联赛试题) 4 如图， 图形 ABCD 中， ABCD， AC 和 BD 相交于点 O， 若 AC5， BD12， 中位线长为13 2 ， AOB 的面积为 S1， OCD 的面积为 S2，则 S1 S2_. (山东省竞赛试题) 5如图，分别延长 ABC 的三边 AB，BC，CA 至 A，B，C，使得 AA3AB，BB3BC，CC3AC， 若 S ABC1，则 S ABC等于 ( ). A18 B19 C24 D27 (山东省竞赛试题) 6如图，若 ABCD 是 2 2 的正方形，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 相交于点 I，BD 和
13、 AF 相交于点 H，那么四边形 BEIH 的面积是 ( ) A1 3 B5 2 C 7 15 D 8 15 (江苏省竞赛试题) 7如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的一点，F 是 CD 上的点，已知 S ABES ADF1 3SABCD，则 SAEF SCEF 的值等于 ( ) (北京市竞赛试题) A2 B3 C4 D5 第 6 题图 I H A B C D E F 第 4 题图 O A DC B 第 3 题图 AB C D F E 第 2 题图 AB C D P 第 1 题图 C BG D E F A 第 5 题图 A B C A C B 第 7 题图 A BC D E F 8(1
14、) 探究：如图 1，在ABCD 的形外分别作等腰直角三角形 ABF 和等腰直角三角形 ADE，FAB EAD90 ，连接 AC，EF. 在图中找一个与 FAE 全等的三角形，并加以证明. (2) 应用：以ABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图 2，连接 EF，GH，IJ，KL，若 ABCD 的面积为 5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为_. （长春市中考试题） 图1 图2 AD B C F E L K J IH G A D BC E F 9如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABADDC2cm，BC4cm，在等腰 PQR 中，QPR 120 ，底边 QR6cm， 点 B，C，
15、Q，R 在同一条直线 l 上，且 C，Q 两点重合，如果等腰 PQR 以 1cm/s 的速度沿直线 l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形 ABCD 与等腰 PQR 重合部分的面积记为 Scm2. (1) 当 t4 时，求 S 的值； (2) 当 4t10 时，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值. (广州市中考试题) 10有一根直尺的短边长为 2cm，长边长为 10cm，还有一块锐角为 45的直角三角纸板，它的斜边 长为 12cm， 如图 1 将直尺的短边 DE 放置与直角三角纸板的斜边 AB 重合， 且点 D 与点 A 重合 将直尺沿 AB 方向平移，如图 2，设平移的长为x
16、cm(0 x10)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的 面积 Scm2. (1) 当x0 时，S_，当10 x时，S_； (2) 当 0 x4 时，求 S 关于x的函数关系式； (3) 当 4x10 时，求 S 关于x的函数关系式，并求出 S 的最大值. (徐州市中考试题) 图1 图2 F GF (D)AB C AB C E DE 11如图，设 H 是等腰三角形 ABC 的三边上的高线的交点，在底边 BC 保持不变的情况下，让顶点 A 至底边 BC 的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形） ，这时 HBCABC SS 的值变大、变小、还是不变?证 第 9 题图 A D P BC(Q)R
17、明你的结论. (全国初中数学联赛试题) 12(1) 请你在图 1 中作一条直线，使它将矩形 ABCD 分成面积相等的两部分； (2) 如图 2，点 M 是矩形 ABCD 内一定点，请你在图 2 中过点 M 作一条直线，使它将矩形 ABCD 分成 面积相等的两部分； (3) 如图 3，在平面直角坐标系中，直角梯形 OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图， 其中 DCOB， OB6， BC4， CD4. 开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点 P(4， 2)处. 为 了方便驻区单位，准备过点 P 修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线 l 将直角梯形 OBCD 分成面积相等的两部分. 你认为直线 l 是否存在?若存在，求出直线 l 的表达式；若不存在，请说明 理由. (陕西省中考试题) x y 图1 图2图3 O AB CDDC BA M DC P B 第 11 题图 H D E F A BC
