1、 专题专题 12 三角函数三角函数 例例 1 AC2BC2(19931992)(19931992)19931992AB2，AC2AB2BC2，得B 90，故原式(1992 1993) 2. 例例 2 AD227m，BC146m.解法一:延长 AD，BC 交于点 E，如图 1.在 Rt ABE 中，AB200m，A60，BEAB tanA200 3 (m)，AE AB cos60 200 0.5400(m).在 Rt CDE 中，CD100m.E90A30， CE2CD200(m.cotEDE CD，DECD cot30100 3 (m)，AD AEDE400100 3227(m)，BCBECE
2、200 3200146(m).解法 二:如图 2，过点 D 作矩形 ABEF.设 ADx.在 Rt AFD 中，DAF9060 30，DF1 2AD 1 2x，AF 3 2 x，在 Rt CED 中，CDE30，CE1 2 CD50(m)，DE 3 2 CD503(m)，DEDFAB.5031 2x200，解得 x400 100 3.AD400100 3227(m).BCCEAF，BCAFCE 3 2 (400100 3)50 200 3200146(m). 例例 3 10 3 3 5 提示：tanAENtanEAB EB AB. 例例 4 设 DEx(海里)，则客轮从 A 点出发到相遇之处
3、E 点的距离为 2x 海里.若 2x200， 则 x100，即 DE1 2AB，而从 D 点出发，货轮到相遇点 E 处的最短距离是 100 海里，所以 x100，即 2x200，故相遇处 E 点应在 CB 上，选 B. 设货轮从 出发点 D 到两船相遇处 E 共航行了 x 海里，如图，过 D 作 DFCB 于 F，连 DE，则 DEx，ABBE2x，DF100，EF3002x，由 x21002(300 2x)2，得 x200100 6 3 (海里). 例例 5 p，q 应满足以下条件： p24q0 sinAsinBp sinA sinBq 0sinA1 0sinB1 sin2Acos2A1 .
4、由此推得 p0 0q1 2 p22q1 ,先设方程 x2pxq0 的两个根为 ， ， 若 ， 满足 p 24q0 01，01 221 ，则 ， 必定是直角三角形的两个锐角的正弦;若 ， 不满 足条件式中任何一个，则结论是否定的. 例例 6 设 为直角三角形一锐角，则 sina c，cos b c.0sin1，0cos1当 n3 时， sinnsin2，cosncos2，于是 sinncosnsin2cos21，即(a c) n(b c) n1，故 anbncn. A 级 1.9 2. 5 1 提示：用换元法. 3.4 3 21 3 4. 11 6 5.A 6.B 7.A 8.B 9.在 Rt
5、DCE 中， CED60， DE76.sinCEDDC DE， DCDE sinCED38 3(厘米). 故垂直支架 CD 的长度为 38 3厘米. 设水箱半径 ODx 厘米， 则 OC(38 3x)厘米， AO(150 x)厘米.Rt OAC 中， BAC 30，AO2OC，即 150 x2(38 3x） ，解得 x15076 318.5218.5(厘米).故水箱 半径 OD 的长度为 18.5 厘米. 10.( 1 sin1)( 1 cos1)( 1 sincos2) 1sin sin 1cos cos 12sincos sincos ，0sin1， 0cos0,1 cos0,1sin s
6、in 1cos cos (sincos) 2 sincos 0，即 1 sin 1 cos 1 sincos4. 11.过 C 作 CEAB 交 BD 于 E，设 ACx，则 CB 2 1x ，CEBC tanCBE 2 1 3 x . 由DCEDAB，得 CDCE ADAB ，即 2 11 13 x x ，化简得（x2） （x32）0，解 得 x 3 2，即 AC 3 2. 12. P22，q1，x1,22 1.提示：tanAtanB () CDCDCD BDAD ADBDAD BD . B 级 1. 11 63 m kk 2. 7 4 3. 145cm2 4. 1 3 提示：延长 MN 交
7、 BC 的延长线于 T，设 MB 的中点为 O，连接 TO，则BAMTOB. 5. B 6. D 7.D 8. （1）如图，延长线段 BE，与 AC 相交于点 F，DEAF，BFCA37.在 Rt BCF 中，tanBFC BF CF ，CF 4.8 6.4 tan370.75 BC （米） ，DEAFACCF8 6.41.6（米）.故水平平台 DE 的长度为 1.6 米. （2）延长线段 DE，交 BC 于点 G.DG AC，BGMC90，四边形 MNCG 是矩形，CGMN3（米）.BC4.8 （米） ，BGBCCG1.8（米）.DGAC， 1.83 4.88 BEBG BFCB ， 5 3
8、 EF BE ， 而 ADEF，故 5 3 AD BE . 9. 18 提示： 222 abc， 3 sin 5 A . 10. 提示：（1） S=SEFGSFGH 1 sin 2 EG FH. （2）过 E，F，G，H 分别作正方形 ABCD 的垂线，得矩形 PQRT.设 ABCD 的边长为 a，PQ b，QRc，则 22 bka， 22 cla.由 SAEHSTHE，SBEFSPEF，SGFCS QFG， S DGH SRGH， 得SABCD SPQRT 2SEFGH， a2 bc 2S ， 即 22222 2akalaS. 2222 22 (4 )4klS ak lS， 由 （1） 知
9、2 2 sin S klS ， 22 24klklS.故 2 22 2 22 4 4 k lS a klS . 11. （1）S梯形ABCD56. （2）E，F 分别是 BC，DC 的中点，设运动时间为 x 秒，则 S EFC 22 22 4(5)10 55 xxx ，当 x5 时，SEFC面积最大，最大值为 10. 12. （1）折冬天太阳最低时，甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，那么图中 CD 的长 度就是甲楼的影子在乙楼上的高度.设 CEAB 于点 E， 则AEC90， ACE30， EC 20 米，AEECtanACE20tan3011.6（米） ，CDEBABAE4.4（米）. （2）设点 A 的影子落在地面上某点 C，则ACB30，AB16 米， BCABcot3027.7 （米） ，故要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要 27.7 米. 第 8 题图
