1、 专题 15 从全等到相似 例 1 8 例 2 C 提示：分PADPBC，PADCBP 两种情况讨论。 例 3 提示：连接 PC，则 BP=CP，只要证明 2 CPPE PF即可。 例 4 （1）若垂足 H 在线段 AB 上，如图 1，由 222 AHCHAC， 222 BHCHBC, 得 2222 BHAHBCAC，即 22 ()()BHAHBHAHBCAC， 22 BCAC AB BHAH ， 又 由 2 2 A CA H B CB H ， 得 22 2 BCACBHAH BCBH ， 222 BCACBC BHAHBH ，由得 2 BC AB BH ，即 ABBC BCBH ，又B 是A
2、BC 和CBH 的公共角，ABCCHB，ACB=CHB=90 ，A+B=90 （2）若垂足 H 在 BA 的延长线上，如图 2，作边 CA 关于 CH 的对称线段 CA ，由（1）的 结论知AB=90 ，而A=180 -A，代入上式得A-B=90 ，综上所述（1） （2） ， 有A+B=90 或A-B=90 。 例 5 （1）在 RtABC 中，ACB=90 ，CD 是 AB 上的中线， 1 2 CDAB，CD=BD， BCE=ABC，BECD，BEC=90 ，BEC=ACB，BCEABC，E 是ABC 的自相似点。 （2）作图略。作法如下： （）在ABC 内，作CBD=A， （）在ACB 内
3、，作 BCE=ABC，BD 交 CE 于点 P，则 P 为ABC 的自相似点。连接 PB，PC，P 是ABC 的内心， 11 , 22 PBCABCPCBACB，P 为ABC 的自相似点，BCP ABC，PBC=A，BCP=ABC=2PBC=2A，ACB=2BCP=4A，A+ ABC+ACB=180 ，A+2A+4A=180 ， 180 7 A ,三角形的三个内角的度数分 别为180 360720 , 777 。 例 6 （1）AP=2t,DQ=t,QA=6-t，当 AQ=AP 时，即 6-t=2t，解得 t=2（秒）时，QAP 为等 腰直角三角形。 （2）SQAPC=S QAC +S APC
4、 =(36-6t)+6t=36(cm2)，在 P、Q 两点移动过程中，四边形 QAPC 的面 积始终保持不变当 QAAP ABBC 时，QAPABC，由 62 126 tt ，得 t=1.2(秒)；当 QAAP BCAB 时，PAQABC，由 62 612 tt ，得 t=3(秒) A 级 1. 25 4 2.2 或 4.5 3. 4.不一定 1 垂直 相等 5.A 6.A 7.C 提示：由B FCABC 得 B FFC ABBC ， 或由FB CABC 得 B FB C ABBC ， 8.C 9. 5， 2 1n 略 正确， 选取证明或选取证明 10.提示： 延长 AC 到 D， 使 CD=
5、BC， 连结 BD， 证明ABCADB 11.提示： 由ACEBCD， 得EAC=ACB，故 AEBC 由ACEBCD，得EAC=B=ACB，故 AE BC 12.提示：延长 BD 至点 P，使 DP=BD，连结 AB，CP，由 2 2 ABBE BPBC ，又 PBC=45 +ABC=ABE， 得ABEPBC， 有 A EA B P CB P ， 2 2 AEPC 同理ADFAPC， 2 2 DFPC，故 AE=DF由ADFAPC，得ADF=APC，由ABEPBC，得 BAE=CPB于是DAE+ADF=45 +BAE +ADF=45 +CPB+APC=90 故 AE DF B 级 1. 2
6、提示： 1 4 EADJ， 2 3 EBDJ， 3 2 EACJ 2. 8 3 或 6 3. 16 3 cm 4.A 5.D 6.D 7. 14 5 提示：作 BB AC，CC AB，DD AC，垂足分别为 B 、C 、 D ，易证BOB DOD ，有 BOBB ODDD ，又 BBAB CCAC ，又由 RtBCC RtADD ，得 BCCC ADDD 8. 提示：BF=BD=AD，ABFEBA 9. 提示：略 如图 所示，延长 BA 至 D，得 AD=AC，则CAB=D+1=2D ，又CAB=2B，D= 1=B， 1=B， D=D， ADCCDB， DCAD DBDC ， 即 DC2=AD
7、 DB， 故 a2=b(b+c) 10.22.5 过 D 作 DGCA， 与 BE 的延长线相交于点 G， 与 AB 相交于点 H， 则DEB DEG，BE=GE= 1 2 GB，又GBHFDH，得 GB=FD，故 BE= 1 2 FD 如图，过点 D A B C D a a c b 1 第 9 题图 作 DGCA， 与 BE 的延长线相交于点 G， 与 AB 相交于点 H， 同理可证DEBDEG， BE= 1 2 GB，BHD=GHB=90 ，EBF=HDF，GBHFDH， GBBH FDDH ，即 2 BEBH FDDH 又DG CA，BHDBAC， BHDH BACA ，即 BHBA k
8、 DHCA 2 BEBH FDDH 2 BEk FD 11.如图 1，连结 PC，折痕 MN 垂直于 PC，AC=BC，AP=BP，MNAB， 1 CMACPA CNBCPB 当点 P 不是边 AB 的中点时，PA CM PBCN 仍然成立 如图 2， 连结 PC， 则 MNPC，过点 P 作 PEAC 于 E，则 PEBC， PAAE PBEC A=B=45 ，APE= B=45 ，AE=PEMCN=90 ，CPMN，ECP=MNCMCNPEC， 得 CMCN PEEC 故 CMPEAE CNECEC ，从而 PACM PBCN 12.在 PF 上取点 G，使 GF=FM，CGDM，又取 CA 的中点 L，连结 GC，GN，LE，LF， 则 LE，LF 分别为ABC，ACD 的中位线，有 LFAD，LECB，得GCN=FLE， CGPCCN LFPLLE 故CNGLEF，NGEF，于是 FK 为MNG 的中位线，故 K 是 MN 的中点 第 11 题图 C M N A B P 图 1 图 2 C M N A B P E 第 10 题图 A B D C E G H F A F D E B C P M N G L 第 12 题图 K
