1、 专题专题 20 20 直线与圆的位置关系（直线与圆的位置关系（1 1） 阅读与思考阅读与思考 圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、 相切、 相交三种位置关系.直线与圆相 切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、 切割线定理等. 证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有： 1.利用定义，判断直线和圆只有一个公共点； 2.当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂 直； 3.当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于
2、半径. 熟悉如下基本图形和以上基本结论. 例题与求解例题与求解 【例【例 1】如图，已知 AB 为O 的直径，CB 切O 于点 B，CD 切O 于点 D，交 BA 的延长线于 E. 若 AB3，DE2，则 BC 的长为( ) （青岛市中考试题） A2 B3 C3.5 D4 E C AB O D D C B O A 例 1 题图 例 2 题图 解题思路：解题思路：本例包含了切线相关的丰富性质，从 C 点看可应用切线长定理，从 E 点看可应用切割线定 理，又 EC 为O 的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔. 【例【例 2】如图，O 是ABC 的外接圆，已知ACB45，ABC120，O 的半径为
3、 1. (1) 求弦 AC，AB 的长; (2) 若 P 为 CB 的延长线上一点，试确定 P 点的位置，使 PA 与O 相切，并证明你的结论. （哈尔滨市中考试题） 解题思路：解题思路：第(2)题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得 PB 与 BC，或 PC 与 BC 的关系，或 求得 PB 或 PC 的长，点 P 的位置即可确定. 【例【例 3】已知ABC 是O 的内接三角形，BT 为O 的切线，B 为切点，P 为直线 AB 上一点.过点 P 作 BC 的平行线交 BT 于点 E，交直线 AC 于点 F. (1) 当点 P 在线段 AB 上时(如图)，求证：PAPBPEPF； (2)
4、当点 P 为线段 BA 的延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立， 请说明理由. （北京市中考试题） P O O C T TB A C F E B A 解题思路：解题思路：本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、 比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论. 【例【例 4】已知：如图 1，把矩形纸片 ABCD 折叠，使得顶点 A 与边 DC 上的动点 P 重合（P 不与点 D， C 重合） ，MN 为折痕，点 M，N 分别在边 BC，AD 上.连接 AP，MP，AM，AP 与 MN 相较于点 F，O 过 点 M，C，P
5、. (1) 请你在图 1 中作出O（不写作法，保留作图痕迹） ； (2) AF AN与 AP AD是否相等？请说明理由； (3) 随着点 P 的运动，若O 与 AM 相切于点 M 时，O 又与 AD 相切于点 H.设 AB 为 4，请你通过 计算，画出这时的图形（图 2、图 3 供参考）. （宜昌市中考试题） F FF A D B C A D C B AD C B M N M P N O M P N O 解题思路：解题思路：对于(3)，只依靠 AB 的长不能画出图形，需求出关键的量，因为C90，O 过点 M， C，P，故将画出矩形的条件转化为求出 CP（或 MP）的长.当矩形确定后，依据线段
6、CP 的长，就可确定 P 点的位置. 【例【例 5】如图，已知ABC 内接于O，AD，BD 为O 的切线，作 DEBC，交 AC 于点 E，连接 EO 并 延长交 BC 于点 F.求证：BFFC. （太原市竞赛试题） 解解题思路：题思路：要证明 BFFC，只需证 FOBC 即可，连接 OA，OB，OD，将问题转化为证明DAO EFC. O D A BC E F 【例【例 6】如图，在等腰ABC 中，已知 ABAC，C 的平分线与 AB 交于点 P，M 是ABC 的内切I 与 边 BC 的切点，作 MDAC，交I 于点 D，求证：PD 是I 的切线. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路
7、：设I 切 AB 于点 S，连接 IM，IS，ID，直接证明PDI90困难，不妨证明PDI PSI，即证明PISPID. I A B C P D M S 能力训练能力训练 A 级级 1. PA， PB 切O 于 A， B， APB78， 点 C 是O 上异于 A， B 的任意一点， 则ACB_. 2.如图，以ABC 的边 AB 为直径作O 交 BC 于点 D，过点 D 作O 的切线交 AC 于点 E.要使 DE AC，则ABC 的边必须满足的条件是_. （武汉市中考试题） D O C A B E O P A B C 第 2 题图 第 3 题图 3. 如图，PA 切O 于点 A，C 是AB上任意
8、一点，PAB62，则C 的度数是_. （荆门市中考试题） 4.直角梯形 ABCD 中，ADBC，B90，ADBCDC.若腰 DC 上有一点 P，使 APBP，则这 样的点（ ） A不存在 B只有一个 C只有两个 D有无数个 5如图，已知 AB 是O 的直径，CD，CB 是O 的切线，D，B 为切点，OC 交O 于点 E，AE 的 延长线交 BC 于点 F，连接 AD，BD，给出以下四个结论：ADOC；E 为CDB 的内心；FCFE. 其中正确的结论是 ( ) A B C D 6如图，ABCD 为O 的内接四边形，AC 平分BAD 并与 BD 相交于 E 点，CF 切O 于点 C 并与 AD 的
9、延长线相交于点 F.图中的四个三角形CAF,ABC,ABD,BEC，其中一定相似的是 （ ） (连云港市中考试题) A B C D E O C A B D F E O D F B A C O E A B C 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 7如图，ABC 内接于O，AE 切O 于点 A，BCAE (1) 求证：ABC 是等腰三角形； (2) 设 AB=10cm，BC=8cm，点 P 是射线 AE 上的点，若以 A，P，C 为顶点的三角形与ABC 相似， 问这样的点有几个? (南昌市中考试题) 8如图，RtABC 中，C90，以 AC 为直径的O 交斜边 AB 于点 E，ODAB 求证
10、：(1) ED 是O 的切线； (2) 2DE2BEOD. E O B A C D 9如图，在ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的边，且 a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2 4(c2)(c+4)x 的两个根. 点 D 在 AB 上，以 BD 为直径的O 切 AC 于点 E (1) 求证：ABC 是直角三角形； (2) 若 tanA3 4时，求 AE 的长. (内蒙古中考试题) D O A C B E 10如图，在 RtABC 中，ABC90，以 AB 为直径作O 交 AC 边于点 D，E 是边 BC 中点，连 接 DE. (1) 求证：直线 DE 是O 的切线； (2) 连接 O
11、C 交 DE 于点 F，若 OFCF，求 tanACO 的值 (武汉市中考试题) FD O C A B E 11如图，O 的半径 r25，四边形 ABCD 内接于O，ACBD 于点 H，P 为 CA 延长线上一点， 且PDAABD (1) 试判断 PD 与O 的位置关系，并说明理由； (2) 若 tanADB3 4，PA 4 33 3 AH，求 BD 的长； (3) 在(2)的条件下，求四边形 ABCD 的面积. (成都市中考试题) H O P B A D C B 级级 1如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，过点 C 的切线与 AD 的延长线交于点 E若DAB56， ABC64，则CED_.
12、 2如图，O 与矩形 ABCD 的边 AD，AB，BC 分别相切于点 E，F，G，P 是EG上的一点，则EPF _. （广州市中考试题） O B E A C D A BC D O F E G Q N M O A C B P 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 3如图，直线 AB，AC 与O 分别相切于点 B，C 两点，P 为圆上一点，P 到 AB，AC 的距离分别为 4cm，6cm，那么 P 到 BC 的距离为_cm. （全国初中数学联赛试题） 4如图，在 RtABC 中，A90，O 分别与 AB，AC 相切于点 E，F，圆心 O 在 BC 上，若 AB a，ACb，则O 的半径等于（
13、） Aab Bab 2 C ab ab D ab ab 5 如图， 在O 的内接ABC 中， ABC30， AC 的延长线与过点 B 的O 的切线相交于点 D 若 O 的半径 OC1，BDOC，则 CD 的长为( ) A1+ 3 3 B2 3 3 C 3 3 D 2 E O B C A F O DA C B F E O A D C B 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 6如图，O 的内接ABC 的外角ACE 的平分线交O 于点 DDFAC，垂足为 F，DEBC， 垂足为 E给出以下四个结论：CECF；ACBEDF；DE 是O 的切线；ADBD其 中正确的结论是( ) (苏州市中考试题)
14、 A B C D 7如图，已知 AC 切O 于点 C，CP 为O 的直径，AB 切O 于点 D，与 CP 的延长线交于点 B.若 ACPC. 求证：(1) BD2BP；(2) PC3BP. (天津市中考试题) P O B A C D 8.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，AB12cm，AD8cm，BC22cm，AB 为 O 的直径.动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动. P，Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停 止.设运动时间
15、为 t(s). (1) 当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形? (2) 当 t 为何值时，PQ 与O 相切? (呼和浩特市中考试题) O C DA B P Q 9.如图，已知在ABC 中，ABC90,O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的半圆与 AB 交于 点 E，与 AC 切于点 D，AD2，AE1.求证：SAOD，SBCD是方程 10 x251x540 的两个根. (河南 省中考试题) EO A C B D 10.如图，点 O 在APB 的平分线上，O 与 PA 相切于点 C. (1) 求证：直线 PB 与O 相切; (2) PO 的延长线与O 交于点 E，若O
16、的半径为 3，PC4，求弦 CE 的长.(武汉市中考试题) C O D A B E 11.如图，直线 y4 3x4 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 A，O过 A，O 两点. (1) 如图 1，若O交 AB 于点 C，当 O在 OA 上时，求弦 AC 的长; (2) 如图 2，当O与直线 l 相切于点 A 时，求圆心 O的坐标; (3) 当 OA 平分AOB 的外角时，请画出图形，并求O的半径的长. x y x y x y B A B A C B A OOO O O 12.如图，AB 是O 的直径，ABd，过点 A 作O 的切线并在其上取一点 C，使 ACAB，连接 OC 交O 于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 E. 求 AE 的长. (四川省竞赛试题) D O AE C B
