1、几何复习正方形 当我们学习完了全等、勾股、相似，平移、对称、旋转，如果还想再加点料的话，不妨看看 正方形 正方形是一种既简单又复杂的图形，其图形本身很基本、简单，因而在此基础上可以作很多 复杂的变形与构造，我们所知的几何内容，一个都不缺本专题以近两年中考题为例，简单 了解关于正方形在中考题中的应用 一、正方形与对称 正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，关于对称可以考察对称的基本性质，也可以有 关于构造对称，而涉及到计算的，无非就是勾股或者三角函数 1（2019兰州）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方 形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕
2、DF交AC于点M， 则(OM ) E F O M C D A B A 1 2 B 2 2 C31 D21 【分析】由题意可得：DFEC， 易证DOMCOE，OM=OE=DE-DO=21 故选 D 【长度的计算勾股定理】 2（2019青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠， 点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF若 AD=4，则CF的长为 E F G C D A B 【分析】 E 点是 CD 中点， 1 2 2 DEDC，2 5AE ， 由折叠可知 AG=AB=4，2 54EG ， 设 CF=x，则4BFx，4FGx， 在 RtEFG 中， 2 2 222 2 54
3、4EFEGFGx， 在 RtCEF 中， 22222 2EFCECFx， 2 2 22 2 5442xx，解得：62 5x CF 的长为62 5 【对称性质对称点连线被对称轴垂直且平分】 3（2019天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为 12，E是边CD上一点，连接AE、 折叠该纸片， 使点A落在AE上的G点， 并使折痕经过点B， 得到折痕BF， 点F在AD 上，若5DE ，则GE的长为 E F G C D A B 【分析】 易证ADEBAF，AF=DE=5，BF=13， H B A D C G F E 记 AE 与 BF 交点为 H， 11 12530 22 ABF SAB AF， 又 1
4、1 1330 22 ABF SBF AHAH， 60 13 AH ， 120 13 AG ， 12049 13 1313 GE 故 GE 的长为 49 13 4（2019上海）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点 将ABE沿直线BE翻折， 点A落在点F处，联结DF，那么EDF的正切值是 E C D A B 【分析】如图，点 F 如图所示，连接 BF、DF、EF、AF，记 AF 与 BE 交点为 H， H F E C D A B 由对称可知 AFBE，点 H 是 AF 中点，又点 E 是 AD 中点，EH 是DF 边所对的中 位线，EHDF，EDF=AEB， tanEDF=tanAEB=2
5、 【构造对称将军饮马问题】 5（2019陕西）如图，在正方形ABCD中，8AB ，AC与BD交于点O，N是AO的 中点，点M在BC边上，且6BM P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值 为 O P M N C D A B 【分析】 作点 M 关于 BD 的对称点 M ，根据对称性可知 M 在 AB 上且2AM， 连接 PM ，则PMPM ，PMPNPMPNM N， B A D C N M P O MM O P M N C D A B 当 M 、N、P 共线时，此时PMPNM N，取到最大值 1 4 ANAM ACAB ， AMN ABC，即 AMN 是等腰直角三角形， 2M NAM，故 PM
6、-PN 的最大值为 2 6（2019安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且12AC ， 点P在正方形的边上，则满足9PEPF的点P的个数是( ) E F C D A B A0 B4 C6 D8 【分析】可以先考虑一边上点 P 的数量，再由对称性得所有点 P 的个数 考虑在 AD 上任取一点 P，所得 PE+PF 的最小值和最大值 先求 PE+PF 最小值：作点 E 关于直线 AD 的对称点 E ，连接 PE 、 AE ， P E B A D C F E 则 PE+PF=PEPF ，当 E 、P、F 共线时，取到最小值， 此时 22 4 59PEPFEFAEAF，显然PE
7、PF 9， 在 AD 上存在两个点 P 使得 PE+PF=9，在正方形的边上有 8 个这样的点 P， 故本题选 D 二、正方形与旋转 关于旋转，关注点在于绕哪个点旋转；是否是特殊角度对于正方形，可绕其中一顶点 旋转，可绕对角线交点旋转，大致如下： （1）绕顶点旋转的手拉手模型 G F E D C B A H （2）绕 O 点的等腰直角共点旋转 G BA D C O F E 1（2017南充）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕 点C旋转，给出下列结论：BEDG；BEDG； 2222 22DEBGab，其 中正确结论是 （填序号） A B C D E F G 【
8、分析】显然正确，下分析： 连接 BD、EG， 2222 22abBDEG，记 BE、DG 交点为 H 点， H A B C D E F G 222 BDBHDH， 222 EGEHGH， 222 DEDHEH， 222 BGBHGH， 2222 DEBGBDEG， 2222 22DEBGab 故正确的结论有 2（2019东营）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作 射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且90EOF，OC、EF交于点G给 出下列结论：COEDOF ；OGEFGC；四边形CEOF的面积为正方形 ABCD面积的 1 4 ； 22 DFBEOG OC其中
9、正确的是( ) E F G O M N CD AB A B C D 【分析】易证COEDOF， 故结论正确； EOF=ECF=90 ，O、E、C、F 四点共圆，COE=CFE， 又OGE=FGC，OGEFGC， 故结论正确； OECOFD， 1 4 OCDABCDCEOF SSS 正方形四边形 ， 故结论正确； 易证OGEOEC， OGOE OEOC ， 2 OEOG OC， 222 OEDFBE， 22 DFBEOG OC， 故结论错误 综上，选 B 3（2019葫芦岛）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA， 过点P作PEPA交BC的延长线于点E，过点E作EFBP于
10、点F，则下列结论中： PAPE；2CEPD； 1 2 BFPDBD； PEFADP SS 正确的是 （填写所有正确结论的序号） A B C D E F P 【分析】 （1）过点 P 分别作 PMBA、PNBE，交 BA 延长线于点 M，交 BE 边于点 N， M N P F E D C B A 易证PMAPNE，PA=PE故结论正确 （2）过点 P 作 PGBP 交 AD 延长线于点 G，易证PDG 是等腰直角三角形，PD=PG， 连接 GE，易证PDAPGE，PGE=PDA=135 ，DGE=90 ， 四边形 CDGE 是矩形，CF=DG，2DGPD，2CEPD G P F E D C B
11、A （3）考虑到 BF 与 PD 无法直接相减，可转化线段 2BEBF，2DGPD， 2 2 BEDGBCBD， 2 22 2 BFPDBD， 1 2 BFPDBD故结论正确 （4）易证PDAPGE，显然 PEGPEF SS， PDAPEF SS，故结论错误 G P F E D C B A 综上所述，正确的结论有 若已知旋转，寻找其中的全等或相似即可，而构造旋转，往往更考验对图形构造及旋转的理 解关于正方形的共点旋转，有如下结论： 在正方形 ABCD 中，点 P 是正方形内一点，若满足APD=135，则有 222 2PAPDPB 反之，若 222 2PAPDPB，则APD=135 （在旋转章节
12、中有过介绍） A B C D E P 4（2018烟台） 【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图 1，点P是正方形ABCD内一点，1PA， 2PB ，3PC 你能求出APB的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将BPC 绕点B逆时针旋转90，得到BP A，连接PP，求出APB的度数； 思路二：将APB 绕点B顺时针旋转90，得到CP B，连接PP，求出APB的度数 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程 【类比探究】 如图 2，若点P是正方形ABCD外一点，3PA ，1PB ，11PC ，求APB的度数 图1图2 P C D A B P C D
13、 A B 【分析】 （1）思路 1：如图，PBP是等腰直角三角形，45BPP， 22 2PPPB，又 AP=1，3APCP，APP是直角三角形， APP=90，9045135APB ， P B A D C P 思路 2：类似 （2）过点 B 作BPBP，且满足BPBP，连接P A、PP， P C D A B PP B A D C P 易证ABPCBP，即相当于将CBP 绕点 B 逆时针旋转 90， 11APCP，22PPPB，又 AB=3， 故APP是直角三角形，90APP， 在等腰直角BPP中，45BPP，APB=45 5（2018襄阳）如图（1） ，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，
14、GEBC，垂足 为点E，GFCD，垂足为点F （1）证明与推断： 求证：四边形CEGF是正方形； 推断： AG BE 的值为 : （2）探究与证明： 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角(045 )，如图（2）所示，试探究 线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示， 延长CG交AD于点H若6AG ，2 2GH ，则BC 图1图2图3 H B A D C G F E B A D C G F E E F G C D A B 【分析】 （1）GFC=GEC=ECF=90，四边形 CEGF 是矩形， 又
15、 CG 平分ECF，GF=GE，矩形 ECFG 是正方形 过点 G 作 GHAB 交 AB 于点 H，则 GH=EB， 2 AG HG ，2 AG BE H B A D C G F E （2）连接 CG， B A D C G F E 易证CEBCGA， 2 AGAC BEBC （3）过点 H 分别作 HM、HN 垂直 AG、AC，M、N 是垂足， M N E F G C D A B H 2 2HG ，2MHMG，又 AG=6，AM=4，2 5AH ，tanAHM=2， AHN=45，10ANHN， CHN=AHM，tanCHN=2，2 10CN ，3 10AC ， 3 5BC 三、反相似手拉手
16、模型 在上一个例题中不难得出这样一个图形： E F G C D A B 若连接两个正方形的对角线， 则会有一组旋转型相似， 这里其实利用的是等腰直角三角形直 角边与斜边的比例关系，可将图形简化如下： B A C G E 连接起对角线，转化成等腰直角三角形，则还另有结论 如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFG 共顶点 C，连接 CA、CF，取 AF 中点 M 连接 ME、MD，则有：MD=ME，MEME M E F G C D A B 连接 MB、MG，则有：MB=MG，MBMG B A D C G F E M 在说这个证明之前，我们要说说一个模型：反相似手拉手模型（苏州学而思徐杰老师取名）
17、 手拉手模型：四线共点、两两相等、夹角相等，即可构成一组旋转型全等，称之为手拉手模 型如图，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，即可得：ABDACE A B C D E 手拉手相似：改变全等的条件，即线段由相等变为成比例，AB:AC=AD:AE，BAC=DAE， 即可构成手拉手相似 当ABC 和ADE 为直角三角形，且BAC=DAE，可得ABEACE E D C B AA B C D E 反相似手拉手：将其中一个三角形“反”过来，故称反相似手拉手 A B C D E A B C D E F F E A B C D E D C B A 特别地，ABC 和ADE 是等腰直角三角形，则有 FC=
18、FE，FCFE 【例题】在ABC 中，分别以 AB、AC 为斜边分别向外侧作等腰直角ABD 和等腰直角 ACE，ADB=AEC=90 ，F 为 BC 边中点，连接 DF、EF，求证：DF=EF，DFEF F D A BC E 法 1（构造斜边中线与中位线） ： 分别取 AB、AC 边中点 M、N，连接 MD、MF、NF、NE， M NE CB A D F M 点为 AB 中点， 1 2 DMAB， N、F 分别为 AC 和 BC 中点， 1 2 NFAB，MD=NF 同理可证：MF=NE， MFAC，NFAB， BMF=BAC=CNF， DMF=90 +BMF=90 +CNF=FNE， 在DM
19、F 和FNE 中， DMFN DMFFNE MFNE DMFFNE（SAS） DF=EF MDF+BMF+DFM=90 ， DFM+MFN+NFE=90 ， 即DFE=90 DF=EF 且 DFEF 法 2（将反相似手拉手补充成手拉手全等模型） ： 作 AMAB 交 BD 的延长线于 M 点， 作 ANAC 交 CE 的延长线于 N 点， 连接 CM、 BN， M N E CB A D F 由题意得：ABM 和CAN 均为等腰直角三角形，AM=AB，AC=AN， MAB=CAN=90 ， MAC=MAB+BAC=CAN+BAC=BAN 在AMC 和ABN 中， AMAB MACBAN ACAN
20、 AMCABN（SAS） MC=BN 11 22 DFMCBNEF，即 DF=EF 又 MCBN， DFEF 法 3（倍长中线） ： 延长 DF 至点 G 使得 FG=FD，连接 CG、EG G E CB A D F 易证DFBGFC，易证EADECG（SAS） ， DE=GE，DEGE， DEG 是等腰直角三角形， DF=EF，DFEF 法 4（构造三垂直模型） ： 分别过点 A、B、C 向线段 DE 作垂线，垂足分别记为 H、M、N，作 DE 中点 G， 连接 FG G H M N E CB A D F 易证：AHDDMB，AHEENC， 可得 DM=AH=EN，BM=DH，CN=EH，
21、G 是 MN 中点，又 F 是 BC 中点 FG 是梯形 BCNM 的中位线， FGBMCN， FGMN， 111 222 FGBMCNDHEHDE DEF 是等腰直角三角形， DF=EF，DFEF 1（2019朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将ABC绕点A逆时针旋转 得AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD （1）如图 1，当45时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明） （2）如图 2，当4590时， （1）中的结论是否成立？请说明理由 （3）当360时，若4 2AB ，请直接写出点O经过的路径长 图1图2 B A D C F E O O E F C D A B 【
22、分析】 （1）OE=OD，OEOD 点 O 为 CF 中点， 1 2 OECF， 1 2 ODCF，OE=OD 又AC=AF，CAF=45 ，ACF=AFC=67.5 ， COE=45 ，DOF=45 ，DOE=90 ， OEOD （2）分别取 AC、CF 中点 M、N，连接 OM、DM、ON、EN， 易证OMDENO（SAS） ， OE=OD， DOE=DOM+EOM=OEN+EOM=90，OEOD N M O E F C D A B （3）瓜豆原理可解： F 点轨迹是以 A 为圆心，AC 为半径的圆， O 点始终为 CF 中点，取 AC 中点 Q，以点 Q 为圆心，QC 为半径作圆，即为点
23、 O 的轨 迹 故点 O 经过的路径长为8 Q O E F C D A B 2（2018十堰）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM （1）如图 1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置 关系，并直接写出结论； （2）如图 2，点E在DC的延长线上，点G在BC上， （1）中结论是否仍然成立？请证明你 的结论； （3）将图 1 中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若13AB ， 5CE ，请画出图形，并直接写出MF的长 图1图2 EF G M C D A B E F G M C D A B 【分析】 （1）延长
24、EM 交 AD 于点 N，易证ANMFEM， N B A D C M G F E AN=FE，DN=DE，DEN 是等腰直角三角形， 又 M 点是 EN 中点，MD=ME，MDME （2）延长 EM 交 DA 延长线于点 P，易证AMPFME， AP=EF=CE，DP=DE，DPE 是等腰直角三角形，又 M 点是 PE 中点， DE=ME，DMME P EF G M C D A B （3）法 1：延续前两小问思路， 延长 EM 至点 Q 使得 MQ=ME，连接 AQ、DQ，易证AMQFME， AQ=EF=EC，QAM=EFM， AQDE，QAD=ADE=ECD，又 AD=CD， QADECD，
25、 易证QDE 是等腰直角三角形，DME 是等腰直角三角形， 过点 M 作 MHDE 交 DE 于点 H，则 MH=6，FH=1， 37MF H H Q B A D CC D A B G F E E F G M M 图2图1 如图 2，同理可求， 22 611157MF 法 2：勾股定理 如下图 1，EC=5，DC=13，DE=12，DF=7， 535 7 1313 DH ， 134 13 AH ， 84 13 HF ， 图1图2 H H M M G F E E F G B A D CC D A B 勾股定理可得： 22 2 37AFAHHF， 1 37 2 MFAF 同理可得，图 2 中157MF 【小结】在正方形题设中，可更多考虑用倍长中线法
