1、 数学试题数学试题 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。只有一项是符合题目要求的。 1 1“1,2m”是是“ln1m”成立的成立的（ ） A A充分非必要条件充分非必要条件 B B必要非充分条件必要非充分条件 C C充要条件充要条件 D D既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件 2 2函数函数 1 ( )lg 2x f xx的零点所在区间为的零点所在区间为（ ） A A (0,1) B B(1,2) C C (2,3) D D (3,4)
2、 3 3某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到 3 3 所乡镇所乡镇卫卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生生院进行对口支援，若每所乡镇卫生 院至少派院至少派 1 1 位专家，每位专家对口支援位专家，每位专家对口支援一一所医院，则选派方案有所医院，则选派方案有（ ） A.18A.18 种种 B.24B.24 种种 C.36C.36 种种 D.48D.48 种种 4 4若若Rx ，使得，使得(2)axx成立，则实数成立，则实数a的最大值为的最大值为（ ） A A2 2 B B2 C C1 D D0 5 5已知已知 cos (0) ( ) (1) 1(0) xx f x
3、f xx ，则，则 44 ( )() 33 ff的值为的值为（ ） A A1 B B 1 2 C C0 D D1 6 6已知函数已知函数( )f x的部分图象如图所示，则的部分图象如图所示，则( )f x的解析式可能为的解析式可能为（ ） A A sin| ( ) 2cos x f x x B B sinln | ( ) 2cos xx f x x C C cosln| ( ) 2cos xx f x x D D cos ( ) x f x x 7 7为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 3030 名学生参加环保知识竞赛，得分（名学生参加
4、环保知识竞赛，得分（10分制）的频分制）的频 数分布表如下：数分布表如下： 得分得分 3 4 5 6 7 8 9 10 O y x 频频数数 2 3 3 10 6 3 2 2 2 设得分的中位数设得分的中位数 e m，众数，众数 0 m，平均数，平均数x，下列关系正确的是，下列关系正确的是（ ） A A 0e mmx B B 0e mmx C C 0e mmx D D 0e mmx 8 8 已知函数 已知函数( )f x的定义域为的定义域为R， 且， 且(1)f x是偶是偶函数，函数，(1)f x是奇函数，是奇函数，( )f x在在 1,1 上上单单调递增，则调递增，则（ ） A A(0)(2
5、020)(2019)fff B B(0)(2019)(2020)fff C C(2020)(2019)(0)fff D D(2020)(0)(2019)fff 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项分。在每小题给出的四个选项中，中， 有多项符合题目要求。全部选对的得有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 9设全集设全集RU ，集合，集合 2 |,RAy yxx ，集合，集合 2 |20,RBx xxx，则，则 （ ） A
6、 AA AB=(0,1) B=(0,1) B B( 2,)AB C CA AB=(0,+B=(0,+) ) D D A AB=RB=R 1010已知函数已知函数 (0,0,0)f xAcosxA的图象的一个最高点为的图象的一个最高点为 ,3 12 ，与之相邻的一个对称中心为，与之相邻的一个对称中心为,0 6 ，将，将 f x的图象向右平移的图象向右平移 6 个单位长度得个单位长度得 到函数到函数 g x的图象，则（的图象，则（ ） A A g x为偶函数为偶函数 B B g x的一个单调递增区间为的一个单调递增区间为 5 , 12 12 C C g x为奇函数为奇函数 D D g x在在0,
7、2 上只有一个零点上只有一个零点 1111下列说法正确的是下列说法正确的是（ ） A.A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的后，方差也变为原来的a倍；倍； B.B.若四条线段的长度分别是若四条线段的长度分别是 1 1，3 3，5 5，7 7，从中任取，从中任取 3 3 条，则这条，则这 3 3 条线段能够成三角形的概条线段能够成三角形的概 率为率为 1 4 ； C.C.线性相关系数线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； D.D.设两个独立事
8、件设两个独立事件A和和B都不发生的概率为都不发生的概率为 1 9 ，A发生且发生且B不发生的概率与不发生的概率与B发生且发生且A 不发生的概率相同，则事件不发生的概率相同，则事件A发生的概率为发生的概率为 2 3 . . 1212定义：若函数定义：若函数 F x在区间在区间, a b上的值域为上的值域为, a b，则称，则称, a b是函数是函数 F x的“完美的“完美 区间” 另外， 定义区间” 另外， 定义, a b的 “复区间长度” 为的 “复区间长度” 为2 ba， 已知函数， 已知函数 2 1f xx 则 （ 则 （ ） A A00，11是是 f x的一个“完美区间”的一个“完美区间
9、” B B 15 15 , 22 是是 f x的一个“完美区间”的一个“完美区间” C C f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为35 D D f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为32 5 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1313 已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布 2 4,N， 若， 若20.3P， 则， 则6(2)P_ 1414 7 2 x x 的展开式中的展开式中x的系数为的系数为_._. 1515若若2
10、x是函数是函数 21 ( )(1) x f xxaxe 的极值点，则的极值点，则( )f x的极小值为的极小值为 1616已知函数已知函数 2 2 , ( ) ,. x xa f x xxa 若若1a ，则不等式，则不等式 ( )1f x 的解集为的解集为_； 若存在实数若存在实数b，使函数，使函数 ( )( )g xf xb 有两个零点，则实数有两个零点，则实数a的取值范围是的取值范围是 _. . （本题（本题第一个空第一个空2分，第二个空分，第二个空3分）分） 四、解答题：共四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17
11、(10 分分)已知已知 sin( 2) 5 5 ，(0，) (1)求求 sin 2 cos 3 2 sin cos 3 的值； 的值； (2)求求 cos(23 4 )的值的值 18 （本题本题 12 分分）设函数设函数 xx f xamb，其中，其中,a m bR （1）若若2a ， 1 2 b 且且 f x为 为 R 上偶函数，求实数上偶函数，求实数 m 的值；的值； （2）若若4a ，2b且且 f x在在 R 上有最小上有最小值，求实数值，求实数 m 的取值范围；的取值范围； （3） 0,1a， 1b ，解关于，解关于 x 的不等式的不等式 0f x 19 （本题本题 12 分分） “新
12、高考方案：“新高考方案：3 1 2 ”模式，其中统考科目： “”模式，其中统考科目： “3”指语文、数学、外”指语文、数学、外 语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣， “语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣， “1”指首先在在物理、历”指首先在在物理、历 史史 2 门科目中选择一门； “门科目中选择一门； “2”指再从思想政治、地理、化学、生物”指再从思想政治、地理、化学、生物 4 门科目中选择门科目中选择 2 门。门。 某校根据统某校根据统计选物理的学生占整个学生的计选物理的学生占整个学生的 3 4 ；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；并且在选物理的
13、条件下，选择地理的概率为 2 3 ；在选历史的条件下，选地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为 4 5 （1）求该校最终选地理的学生概率；求该校最终选地理的学生概率； （2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量 X 求随机变量求随机变量2X 的概率；的概率； 求求 X 的概率分布表以及数学期望的概率分布表以及数学期望 2020. .已知函数已知函数 2 232 4 f xsinxcos x （）求）求 f f（x x）的最小正周期和单调递减区间；）的最小正周期和单调递减区间； （）将函数将函数 f f（x x）的图象向右平移）的图象向右平
14、移 6 个单位，得到函数个单位，得到函数 g g（x x）的图象，求）的图象，求 g g（x x）在区间）在区间 4 4 ， 上的值域上的值域 21.21. 某种产品的质量按照其质量指标值某种产品的质量按照其质量指标值 M 进行等级划分，具体如下表：进行等级划分，具体如下表： 质量指标值质量指标值 M 80M 80110M 110M 等级等级 三等品三等品 二等品二等品 一等品一等品 现从某企业生产的这种产品中随机抽取了现从某企业生产的这种产品中随机抽取了 100 件作为件作为 样本，对其质量指标值样本，对其质量指标值 M 进行统计分析，得到如图所进行统计分析，得到如图所 示的频率分布直方图示
15、的频率分布直方图 （1）记）记 A 表示事件表示事件“一件这种产品为二等品或一等一件这种产品为二等品或一等 品品”， 试估计事件试估计事件 A 的概率；的概率； （2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三 等品的利润分别为等品的利润分别为 10 元、元、6 元、元、2 元，试估计该企业销售元，试估计该企业销售 10000 件该产品的利润；件该产品的利润； （3）根据该产品质量指标值）根据该产品质量指标值 M 的频率分布直方图，求质量指标值的频率分布直方图，求质量指标值 M 的中位数的的中位数的 估计值（精确到估计值（精确到 001） ） 22已
16、知函数：已知函数： 2 1 ln,e1 2 x f xxaxa g xx （I）当）当1,ex时，求时，求 f x的最小值；的最小值； （II）对于任意的）对于任意的 1 0,1x 都存在唯一的都存在唯一的 2 1,ex 使得使得 12 g xf x，求实数，求实数 a 的的 取值范围取值范围 数学试题数学试题答案答案 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。分。 1 1- -8: A B 8: A B C C C D C D B B D D B B 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 4 小题，
17、每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 9 9：ABAB； 1010：BD BD ； 1111：B BD D； 1212：ACAC 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.13. 0.40.4 14.14. 280280 15. 15. 1； 16. 16. （，（，0 0 （，（，2 2）（4 4，） 四、解答题：共四、解答题：共 7070 分分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.17.解解： (1)sin(1)sin( 2 2
18、) ) 5 5 5 5 ，(0(0，) cos cos 5 5 5 5 ，(0(0，)sin sin 2 2 5 5 5 5 . . sin 2 cos 3 2 sin cos 3 cos cos sin sin sin sin cos cos 1 1 3 3. .。 。5 5 分分 (2)cos (2)cos 5 5 5 5 ，sin sin 2 2 5 5 5 5 sin 2sin 24 4 5 5， ，cos 2cos 23 3 5 5. . cos(2cos(23 3 4 4 ) ) 2 2 2 2 cos 2cos 2 2 2 2 2 sin 2sin 2 2 2 1010 . .。
19、1010 分分 18.18.解： （解： （1 1） 1 2 2 x x f xm ，所以所以 11 1212 2 ffm m ， 所以所以1m，检验，此时检验，此时 1 2 2 x x f x ， 1 2 2 x x fx ， 所以所以 fxf x， f x为偶函数；为偶函数； 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 4 分分 （2 2） 42 xx f xm，令令20 x t ，所以，所以， 设设 2 g ttmt在在0,上有最小值，所以上有最小值，所以0 2 m ，m0m0； 。 。 。 。 。 。 。8 8 分分 （3 3） 0 xx f xamb，所以所以 xx amb
20、 ，所以所以 x x x aa m bb ， 因为因为0,1a，1b，所以所以0,1 a b （1 1） 0m即即 m m 0 0，解集为解集为 R R； （2 2）0m即即0m，解集为解集为,loga b m .12.12 分分. . 19.19.解： （解： （1 1）该校最终选地理的学生为事件）该校最终选地理的学生为事件A A， 32147 434510 P A ； 答：该校最终选地理的学生为答：该校最终选地理的学生为 7 10 ；. .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 6 分分 （2 2） 2 2 3 73441 2 10101000 P XC 3 327 0 10
21、1000 P X ， 12 1 3 73189 1 10101000 P XC ， 2 2 3 73441 2 10101000 P XC ， 3 3 3 7343 3 101000 P XC ， X X 0 0 1 1 2 2 3 3 P P 27 1000 189 1000 441 1000 343 1000 18944134321 1+23 10001000100010 E X 答：数学期望为答：数学期望为 21 10 。 。 。 。 。 。 。1212 分分 20.20. 解解 ：（ ） 函 数） 函 数 2 232 4 f xsinxcos x 1 1 coscos（ 2 2x x
22、2 ） 323221221 6 cos xcos xsin xcosx 所以函数的最小正周期为所以函数的最小正周期为 2 2 T ， 令令222 6 kxk （k kZ Z），整理得），整理得 1212 kxk （k kZ Z），）， 所以函数的单调递减区间为所以函数的单调递减区间为 5 1212 kk ， （k kZ Z） ） 。 。 。 。 。 。 。6 6 分分 （）将函数）将函数f f（x x）的图象向右平移）的图象向右平移 6 个单位，个单位， 得到函数得到函数g g（x x）2 2coscos（2 2x x 36 ）+1+1 221 6 cosx 的图象，的图象， 由于由于x x
23、4 4 ， ，所以，所以 2 2 363 x ，故，故 1 21 26 cosx ， 所以所以 00g g（x x）33，故函数，故函数值域为值域为00，33 。 。 。 。 。 。 。 。 。1212 分分 21.21.解解： （1 1）记）记 B B 表示事件表示事件“一件这种产品为二等品一件这种产品为二等品”，C C 表示事件表示事件“一件这种一件这种 产品为一等品产品为一等品”，则事件，则事件 B B，C C 互斥，互斥， 且 由 频 率 分 布 直 方 图 估 计且 由 频 率 分 布 直 方 图 估 计 ( )0.20.30.150.65P B ， ( )0.10.090.19P
24、C ， 又又 ( )()( )( )0.84P AP BCP BP C ， 所以所以事件事件A的概率估计为的概率估计为0.84 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 6 分分 （2 2）由（）由（1 1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19， 0.65， 故任取一件产品是三等品的概率估计值为故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16， 从而从而 1000010000 件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为 19001900，65006500，16001600 件
25、，件， 故利润估计为故利润估计为1900 10 6500 6 1600 261200 元元 （3 3）因为在产品质量指标值）因为在产品质量指标值 M M 的频率分布直方图中，的频率分布直方图中， 质量指标值质量指标值90M 的频率为的频率为0.06 0.1 0.20.360.5， 质量指标值质量指标值100M 的频率为的频率为0.06 0.1 02 0.30.660.5， 故质量指标值故质量指标值 M M 的中位数估计值为的中位数估计值为 0.50.36 9094.67 0.03 。 。 。 。 。 。 。 。 。1212 分分 22.22.解解： （I I） 2 xa fx x (1)(1)
26、1a 时，时， 1,e ,0,xfxf x 递增，递增， min 1 1 2 fxfa, , (2)(2) 2 ea 时，时， 1,e ,0,xfxf x递减，递减， 2 min e e2 2 f xfa， (3)(3) 2 1ea时，时， 1,xa 时 时 0,fxf x 递减，递减， ,exa 时 时 0,fxf x 递增，递增， 所以所以 min ln 22 aa f xfaa 综上，当综上，当 min 1 1 2 af xa，； 当当 2 min 1eln 22 aa af xa ， 当当 2 2 min e e2 2 af xa，。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
27、 。 。 。 。 。 。 。6 6 分分 （IIII）因为对于任意的）因为对于任意的 1 0,1x 都存在唯一的都存在唯一的 2 1,ex 使得使得 12 g xf x成成 立立, , 所以所以 ( )g x(0,1x 的值域是的值域是 ( )(1,e)f x x 的值域的子集的值域的子集. . 因为因为 e1, x g x 0,10,xg xg x ， 递增，递增， g x的值域为的值域为 0 ,10,e2gg （i i）当）当1a 时，时， f x在在 1,e上单调递增， 上单调递增， 又又 2 1e 1,e2 22 fa fa， 所以所以 ( )f x 在在1,e1,e上的值域为上的值域
28、为 2 1e ,2 22 aa, , 所以所以 2 1 0 2 e 2e2 2 a a 即即 1 1 2 a， （iiii）当）当 2 1ea时，因为时，因为 1,xa 时， 时， f x递减，递减， ,exa 时， 时， f x 递增，且递增，且 10,0ffa ， 所以只需所以只需 ee2f ， 即即 2 e 2e2 2 a，所以，所以 2 ee 11 42 a （iiiiii）当）当 2 ea 时，因为时，因为 f x在在1 e，上单调递减，且上单调递减，且 1 10 2 f xfa， 所以不合题意所以不合题意. . 综合以上，实数综合以上，实数a的取值范围是的取值范围是 2 1 e2e4 , 24 . .。 。 。 。 。 。 。 。 。1212
