1、最值定位法解决双参不等式恒成立问题 例题 已知函数 f(x)1 2ln xmx，g(x)x a x(a0) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若 m 1 2e2，对x1，x22,2e 2都有 g(x 1)f(x2)成立，求实数 a 的取值范围 解 (1)因为 f(x)1 2ln xmx，x0， 所以 f(x) 1 2xm， 当 m0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增 当 m0 时，由 f(x)0 得 x 1 2m； 由 fx0， x0 得 0x 1 2m； 由 fx0 得 x 1 2m. 所以 f(x)在 0， 1 2m 上单调递增，在 1 2m， 上单调递减 综上所述，当
2、 m0 时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间； 当 m0 时，f(x)的单调递增区间为 0， 1 2m ，单调递减区间为 1 2m， . (2)若 m 1 2e2，则 f(x) 1 2ln x 1 2e2x. 对x1，x22,2e2都有 g(x1)f(x2)成立， 等价于对x2,2e2都有 g(x)minf(x)max， 由(1)知在2,2e2上 f(x)的最大值为 f(e2)1 2， 又 g(x)1 a x20(a0)，x2,2e 2，所以函数 g(x)在2,2e2上是增函数，所以 g(x) min g(2)2a 2. 由 2a 2 1 2，得 a3，又 a0，所以 a(0,
3、3， 所以实数 a 的取值范围为(0,3 【解题小结】 (一)思路受阻分析 本题(2)中不会或不能准确地将已知条件“x1， x22,2e2都有 g(x1)f(x2)成立”进行 转化，而导致无法求解此题 (二)技法关键点拨 1最值定位法解双参不等式恒成立问题的思路 (1)通过不等式两端的最值进行定位，转化为不等式两端函数的最值之间的不等式，列 出参数所满足的不等式，从而求解参数的取值范围 (2)有关两个函数在各自指定范围内的不等式恒成立问题，这里两个函数在指定范围内 的自变量是没有关联的，这类不等式的恒成立问题就应该通过最值进行定位，对于任意的 x1a，b，x2m，n，不等式 f(x1)g(x2
4、)恒成立，等价于 f(x)min(xa，b)g(x)max(x m，n)，列出参数所满足的不等式，便可求出参数的取值范围 2常见的双变量不等式恒成立问题的类型 (1)对于任意的 x1a，b，总存在 x2m，n，使得 f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max. (2)对于任意的 x1a，b，总存在 x2m，n，使得 f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min. (3)若存在 x1a，b，对任意的 x2m，n，使得 f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min. (4)若存在 x1a，b，对任意的 x2m，n，使得 f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max. (5)对于任意的 x1a，b，x2m，n，使得 f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min. (6)对于任意的 x1a，b，x2m，n，使得 f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max.
