1、 1 2020-2021 学年学年度高三年级第一学期期初调研度高三年级第一学期期初调研 数学数学 2020.9.2 一、单一、单项项选选择择题题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1记全集U ，集合 2 |16Ax x，集合|22 x Bx，则 UA B ( ). A 4,) B (1,4 C 1,4) D (1,4) 2已知 2 57 log 2,log 2,0.5aabc ，则, ,a b c的大小关系为( ). A bac B abc C c
2、ba D cab 3若 35 cos,sin, ,0, 54132 ，则cos 4 ( ). A 33 65 B 33 65 C 56 65 D 16 65 4我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配 23 艘驱逐舰，12 艘核潜艇. 船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队， 则不同的组建方法种数为( ). A30 B60 C90 D120 5函数 ( )2 sin(), (0, |)fxx 的部分图像如图所示，且 ( )f x 的图像过 , 1 ,1 2 AB 两点，为了得到 ( )2sing xx 的图像，只需将 ( )f x 的图像( ). A向右平移 5 6 B向
3、左平移 5 6 C向左平移 5 12 D向右平移 5 12 6 易经是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、 2 兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，-表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这 一卦的三根线中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的概率为( ). A 1 8 B 1 4 C 3 8 D 1 2 7设 12 ,F F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 1 F的直线l与 222 :O xya相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若 2 PFx 轴，则双曲线的 离心率等于( ). A 3 B2 C 2
4、2 D4 8 对于函数 ( )yf x ， 若存在区间 , a b， 当,x ab 时的值域为 ,(0)ka kb k ， 则称 ( )yf x 为k倍值函数.若( )2 x f xex是k倍值函数，则实数k的取值范围是( ). A 1,e B 2,e C 1 ,e e D 2 ,e e 二、多选题二、多选题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每个小题给出的选项中，有多项符合在每个小题给出的选项中，有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9下列说法正确
5、的是( ). A将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a 倍 B设有一个回归方程 35yx ，变量x增加 1 个单位时，y平均减少 5 个单位 C线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D在某项测量中，测量结果服从正态分布 2 (1,)(0)N，则 (1)0.5P 10已知抛物线 2 :2C ypx过点 (1,1)P ，则下列结论正确的是( ). A点P到抛物线焦点的距离为 3 2 B过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则 OPQ 的面积为 5 32 C过点P与抛物线相切的直线方程为 210 xy 3 D过点P作两条斜率互为相反数的直
6、线交抛物线于点 ,M N，则直线MN的斜率为定值 11在ABC中，已知 coscos2bCcBb，且 111 tantansinABC ，则( ). A , ,a b c成等比数列 B sin:sin:sin2:1:2ABC C若 4a ，则7 ABC S D , ,A B C成等差数列 12已知函数 ( )lnf xxx ，若 12 0 xx ，则下列选项正确的是( ). A 12 12 ( )() 0 f xf x xx B 1122 ()()xf xxf x C 2112 ()()x f xx f x D当 21 1 xx e 时， 11222112 ()()()()x f xx f x
7、x f xx f x 三、填空题三、填空题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13高二某班共有 60 名学生，其中女生有 20 名，三好学生占全班人数的 1 6 ，而且三好学 生 中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下， 选上的是三好学生的概率为_. 14曲线 ln1yxx 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为_. 15 已知P是边长为 2 的正六边形ABCDEF内的一点， 则AP AB 的取值范围是_. 16椭圆与双曲线有相同的焦点 12 (,0),( ,0)FcF c ，椭圆的一个短轴端点为B，直线
8、1 FB与双 曲线的一条渐近线平行.若椭圆与双曲线的离心率分别为 12 ,e e，则 1 2 e e _；且 22 12 3ee的最小值为_. 四、解答题四、解答题：本题共：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17(10 分)已知函数 2 ( )2 3sin cos2sin1f xxxx. (1)求函数 ( )f x 的单调递增区间； 4 (2)在ABC 中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若 ( )2,2 4 f ACc ，求ABC的 面积. 18(12 分)2020 年寒假是特殊的寒假
9、，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为 了研究学生在网上学习的情况， 某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查， 其 中男生与女生的人数之比为 11:13，其中男生 30 人对于线上教育满意，女生中有 15 名表示 对线上教育不满意. 满意 不满意 总计 男生 女生 合计 120 (1)完成 2x2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关” ； (2)从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再在 8 名学生 中抽取 3 名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为.求出的分布列及期望值 附公式及表 2 2 () ()(
10、)()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd. 5 )( 0 2 kKP 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 (12 分)已知椭圆C的中心在原点， 其焦点与双曲线 22 221xy的焦点重合， 点(0, 3)P 在椭圆C上，动直线 : l ykxm 交椭圆于不同两点, A B，且0OA OB (O为坐标原点). ()求椭圆的方程; (2)讨论 22 712mk是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 6 20(12 分
11、)已知函数 2 ( )f xxbxc，且 ( )0f x 的解集为 1,2 . (1)求函数 ( )f x 的解析式； (2)解关于x的不等式 ( )2(1),(0)mf xxmm ； (3)设 ( ) 31 ( )2f x x g x ，若对于任意的 12 , 2,1x x 都有 12 |()()|g xg xM ，求M的最小值 21(12 分)已知 2 21 ( )(ln ) x f xa xx x ，. (1)讨论 ( )f x 的单调性; (2)当 1a 时，证明 3 ( )( ) 2 f xfx 对于任意的 1,2x 成立， 22 (12分)已知点P是抛物线 2 1: 4Cyx的准线
12、上任意一点， 过点P作抛物线的两条切线PA、 PB，其中A、B为切点， 7 (1)证明:直线AB过定点，并求出定点的坐标; (2)若直线AB交椭圆 22 2: 1 43 xy C于C、D两点， 12 ,S S分别是,PABPCD 的面积,求 1 2 S S 的最小值. 参考答案参考答案 15 CACBC 68 CAB 9.BD 10.BCD 11.BC 12.CD 13. 1 8 14.2yx 15.( 2,6) 16.1,2 3 17.(1), 63 kkk (2) 33 2 18.(1) 满意 不满意 总计 男生 30 25 55 8 女生 50 15 65 合计 80 40 120 2
13、960 6.635 143 K ,可以可以 (2) 0 1 2 3 P 10 56 30 56 15 56 1 56 39 3 88 E 19.(1) 22 1 43 xy (2) 22 71212mk 20.(1) 2 ( )2f xxx (2) 0,1 0 12,11, 2 2 02,1, 2 32,1, m m m m m m m (3) min 15 16 M 21.(1) 0,(0,1)(1,) 0 12,(0,) 22 2 02,(0,1)(1,)(,) 22 32,(0,)(,1)(1,) a a a a aa a aa (2)原不等式等价于原不等式等价于 23 3125 ln0
14、 2 xx xxx ln1xx，令，令 11 ,1 2 t x ， 32 ( )23s tttt， 2 ( )623s ttt存在存在 0 1 ,1 2 t 使得使得 9 2 00 6230tt ， 13 , (1)2 22 ss ，所以，所以 23 3123 2xxx ，因为等号不同时取，所以，因为等号不同时取，所以 23 3125 ln0 2 xx xxx 22.(1)过焦点过焦点(1,0) (2)设倾斜角为设倾斜角为，则，则 2 1 2 2 2 4 134 sin 1 12 3 sin3 4cos SAB SCD 高三数学期初答案 一、单选题 1-4 CACD 5-8 CCAB 二、多选
15、题 9.BD 10.BCD 11.BC 12.CD 三、填空题 13. 1 8 14. 2yx 15.( )2,6 16.12 3 四、解答题 17解： （1） 2 2 3213f xsinxcosxsin x sin2xcos2x 2sin（2x 6 ） ，2 分 令 2k 2 2x 6 2k 2 ，kZ，解得k 6 xk 3 ，kZ， 函数f（x）的单调递增区间为：k 6 ，k 3 ，kZ4 分 （2）f（A）2sin（2A 6 ）2， sin（2A 6 ）1， 10 A（0，） ，2A 6 （ 6 ，11 6 ） ， 2A 62 ，解得A 3 ，6 分 C 4 ，c2， 由正弦定理 si
16、n ab sinAB ，可得 2 sin sin34 13 2 2 cB b sinC ，8 分 SABC 1 2 absinC 1 6 2 （1 3 ） 233 22 10 分 18解： （1）因为男生人数为： 11 12055 11 13 ，所以女生人数为120 5565， 于是可完成22列联表，如下： 满意 不满意 总计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 4 分 根据列联表中的数据，得到 2 K 的观测值 2 120 (30 1525 50)960 6.7136.635 55 65 80 40143 k ， 所以有 99%的把握认为对“线上教育是否
17、满意与性别有关”.6 分 （2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，依题可知的可能取值为0,1,2,3，并且服 从超几何分布， 3 35 3 8 0,1,2,3 kk C C Pkk C ，即 11 321 553 33 88 515 (0), (1) 2828 CC C PP CC , 123 533 33 88 151 (2), (3) 5656 C CC PP CC . 可得分布列为 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 可得 5151519 ( )0123 282856568 E .12 分 19. 解： （1）因为双曲线 22 221xy的焦点为1,
18、0，所以在椭圆C中1c， 设椭圆C的方程为 2 2 22 1 10 y x aa a ， 由点0, 3P在椭圆C上得 2 3 1 1a ，解得 2 42aa，则4 13b ， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy .4 分 （2） 22 712mk为定值，理由如下： 设 1122 ,A x yB x y，由 0OA OB 可知 1212 0 x xy y ， 联立方程组 222 22 3484120 1 43 ykxm kxmkxm xy ， 由 2222 644 344120m kkm 得 22 34mk，6 分 2 1212 22 8412 , 3434 kmm xxx x kk ，8
19、 分 由 1212 0 x xy y 及y kxm 得 1 212 0 x xkxmkxm ， 整理得 22 1212 10kx xkm xxm ， 12 将式代入上式可得 2 22 22 4128 10 3434 mkm kkmm kk ， 同时乘以 2 34k可化简得 2222222 14128340kmk mmm k ， 所以 22 712=12mk，即 22 712mk为定值.12 分 20解： （1）因为 ( )0f x 的解集为 1,2 ，所以 2 0 xbxc的根为1，2， 所以1b ，2c ，即1b ，2c ；所以 2 ( )2f xxx；2 分 （2） ( )2(1)mf x
20、xm ， 化简有 2 (2)2(1)m xxxm， 整理(2)(1)0mxx ， 所以当0m时，不等式的解集为( ,1) ， 当02m时，不等式的解集为 2 (,1), m ， 当2m 时，不等式的解集为( ,1)(1,)， 当2m 时，不等式的解集为 2 (,)1, m ，7 分 （3）因为 2,1x 时 2 ( )3123f xxxx ，根据二次函数的图像性质，有 2 ( )3123 4,0f xxxx ， 则有 2 ( ) 3123 ( )22 f xxxx g x ，所以， 1 ( ),1 16 g x ，9 分 因为对于任意的 12 , 2,1x x 都有 12 | ()()|g x
21、g xM ， 即求 12 | ( )()|Maxg xg xM ，转化为( )( ) MaxMin g xg xM，10 分 而( )(1)1 Max g xg， 1 ( )( 1) 16 Min g xg，所以， 此时可得 15 16 M ， 所以M的最小值为 15 16 .12 分 21.解： （1）的定义域为；1 分 13 2 233 22(2)(1) ( ) aaxx fxa xxxx . 当，时， ( )0fx ，单调递增； (1,),( )0 xfx时，单调递减. 当时， 3 (1)22 ( )()() a x fxxx xaa . ， ， 当或x时， ( )0fx ，单调递增；
22、当x时， ( )0fx ，单调递减； 时，在x 内，( )0fx ，单调递增； 时， ， 当或x时， ( )0fx ，单调递增； 当x时， ( )0fx ，单调递减.5 分 综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递 增； 当时，在内单调递增； 当，在内单调递增， 在内单调递减， 在内单调递增.6 14 分 （2）由（）知，时， 223 21122 ( )( )ln(1) x f xfxxx xxxx 23 312 ln1xx xxx ， 令，. 则 ( )( )( )( )f xfxg xh x ， 由 1 ( )0 x g x x 可得
23、，当且仅当时取得等号.8 分 又 2 4 326 ( ) xx h x x ， 设，则在x单调递减， 因为， 所以在上存在使得时，时， 所以函数 ( )h x 在上单调递增；在上单调递减， 由于，因此，当且仅当取得等号，10 分 所以 3 ( )( )(1)(2) 2 f xfxgh， 即 3 ( )( ) 2 f xfx对于任意的恒成立12 分 22.解： （1）证明：设点 11 ,A x y、 22 ,B x y， 则以A为切点的切线方程为 11 1 2 yyxx y ，即 11 2y yxx， 同理以B为切点的切线方程为 22 2y yxx ，2 分 两条切线均过点1,Pt， 11 22
24、 21 21 tyx tyx ，即 11 22 220 220 xty xty ， 所以，点A、B的坐标满足直线2 20 xty 的方程，4 分 所以，直线AB的方程为2 20 xty ， 15 在直线AB的方程中，令 0y ，可得1x ，所以，直线AB过定点1,0；6 分 （2）设点P到直线AB的距离为d，则 1 2 1 2 PAB PCD dAB ABS SCD d CD . 由题意可知，直线AB不与x轴重合，可设直线AB的方程为 1xmy ， 设 33 ,C x y、 44 ,D xy，由 2 4 1 yx xmy ，得 2 440ymy， 2 1610m 恒 成立， 由韦达定理得 12
25、 4yym ， 12 4y y ， 由弦长公式可得 2 222 121212 11441ABmyymyyy ym 8 分 由 22 1 43 1 xy xmy ，得 22 34690mymy ， 222 3636 3414410mmm 恒成立. 由韦达定理得 34 2 6 34 m yy m ， 34 2 9 34 y y m ， 由弦长公式得 2 2 22 343434 2 121 114 34 m CDmyymyyy y m . 10 分 2 2 2 2 2 41 3444 33312 1 34 PAB PCD m ABSm m SCDm m ， 当且仅当0m时，等号成立.12 分 因此， 1 2 S S 的最小值为 4 3 .
