定积分不等式的证明.pdf

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1、 定积分不等式 整理人:白朗 I.I.预备知识预备知识 我们经常会遇到积分形式的不等式, 这里称之为积分不等式积分不等式。 一般来说, 常常借助于积分方法来证之, 包括分部积分,利用积分的性质及第一、第二积分中值定理.主要依据是以下几个定理与结论: 定理定理 1 1. .设,且,则. 定理定理 2 2. .设,则. 定理定理 3 3. .设,且,则存在,使得 . 定理定理 4 4. .设为单调函数,则存在,使得 . 命题命题 1 1. .设在上单调减少,数列非负严格单调减少,则 . 命题命题 2 2. .设,则. 命题命题 3 3. .设,若与同序,即对,有 ,则. 这里给出命题命题 3 3

2、的证明:令,则由积分的性质可得 , , 由与同序知,. 两边积分,整理得. 同理可知,当反序时,不等号方向改变. 在证明过程中可能会使用不等式不等式、微、微( (积积) )分中值定理、重积分法、常数变易法分中值定理、重积分法、常数变易法,间或利用凹凸凹凸 性性(笔者于本文中提及的凸函数均指下凸,简单来说,指满足凸函数均指下凸,简单来说,指满足的函数的函数). 诚然,积分不等式题型丰富,内容广博,绝非笔者所能穷举.接下来我们将通过例题及解答的方式一同 探讨,或许会有优美的解法,或许在解题能力上会对大家有所裨益. I II.I.典型例题典型例题 1.设,求证:. 证:注意到. 于是,.两边取定积分

3、,可得 . 2.设,且,求证:. 证 1:,有. 由,有.两边积分即得所要的不等式. 证 2:. 3.设,且,求证:. 证:注意到.两边积分即得证. 4.设在上递增,且.求证:. 证 1:( 在 与 间). 因,故.将代入上式,并相加,有 .两边积分,得 .整理即证毕. 证 2:,则. 两边积分,得. 5.设,且.求证:. 证:令,则. 于是,.由,有 .即. 注:加以条件加以条件,我们可以得到:. 6.设处处二阶可导, 且,为连续函数.求证:. 证:显然,. 令,则. 故. 7.设,且.求证:. 证:记,当,. 因此,.同理,. 故. 8.设.令,求证:. 证 1:. 注意到,则 ,即. 证

4、 2:注意到 .因此,我们有 . 9.设.令,求证:. 证 1:由,有. 两边积分,得.于是,有 . 证 2:将分别在处泰勒展开,并相加,有 .两边积分,得 . 故. 10.求证:. 证:注意到,则 . 11.设增函数,求证:. 证 1: , 其中.故. 证 2: .故 . 12.设.求证:. 证:注意到,则. 于是,.同理,将在 处展开,可得. 13.设, 且.求证:. 证: . 14.设在上连续、递增,且.若,求证: . 证:记,则 同理,.两式相加,可得 .证毕. 15.设,求证:. 证:,若在内无零点,则不变号,即. 若,有,所以有 . 16.求证:. 证:. 17.设,且.求证:.

5、证:由于,不妨设,并记. 因,得. 于是,.因此, . 18.设 连续可导,且.求证:. 证:. 19.设,且.求证:. 证:注意到,即. 两边积分,得.整理即得证. 20.求证:. 证:左边. 21.求证:. 证:注意到,两边积分,得. 将泰勒展开,取,则 令,得. 22.设,且.求证:. 证: 显然, 则. 第二个等号成立是因与反序,故. 23.设是上的凸函数,存在且有界.求证:. 证:由题意,在递增有界,故可积.对,有 . 24.设,且分别在的某有限区间外为零.求证: . 证:记,其中, 则 . 25.设凹函数在上非负连续,且.求证:. 证:显然,.故 . 26.设,求证:. 证:取.对

6、,有 .于是, . 由 的任意性,可得. 27.设,求证:,且 是最佳的. 证:设,则 .设均非零.若两者异号,则 ,矛盾.因此,它们同号.进而知,或者,或者与同号. 于是,.两边积分,得 . 由此得. 故.取,得到等式,故常数 不能减小. 28.求证:. 证:考虑 .故. 29.设函数连续可微,且.求证:. 证 1:由,有.从而得 .整理即得证. 证 2:注意到. 于是,.同理,. 由知,. 30.设为凸函数,递减趋于 ,且.求证: . 证:显然,. . 其中. 于是,.另一方面,显然有 . .整理即得证. 穷举至此,粗略地挪列也应结束了.这些经典题目并非完全按照难度大小排序,故中间某题难于其他题 是极正常的.愿读者自己先做题目再参考答案,当然这些题目也可作为参考,以启示其他内容的学习. 如果想深入研讨一些积分不等式,可以参阅数学分析高等数学例题选解 、 常用不等式 、 数学分 析范例选解 、 解析不等式等文献. 参考文献:史济怀数学分析教程 、刘绍武数学分析方法选讲 、朱尧辰大学生数学竞赛题选解 、陈兆斗大学生数学竞 赛习题精讲 、网上的两份定积分不等式证明方法 、 博士家园数学分析解答库.

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