1、第4章 频率特性分析与系统辨识第第4 4章章 频率特性分析与系统辨识频率特性分析与系统辨识4.1 频率特性4.2 频率特性的极坐标图4.3 频率特性的对数坐标图4.4 最小相位系统和非最小相位系统4.5 频率特性的特征量4.6 MATLAB在频率分析中的应用4.7 系统辨识习题第4章 频率特性分析与系统辨识时间响应分析即所谓的时域分析法，它是根据系统的微分方程，以拉氏变换为数学工具，直接解出系统的时间响应，然后根据响应的表达式及其曲线来分析系统的性能的。时域分析法具有直观、准确的优点，如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可以利用时域指标直接评估系统的性能。然而，实际系统往往都是高阶的，
2、要建立和求解高阶系统的微分方程则比较困难，系统的性能指标与参数的关系也难于确定。另外，时域分析法对于一些难以建模的系统更是无能为力。第4章 频率特性分析与系统辨识本章介绍的频域分析法，是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，又称为频率响应法。频域分析法不必求解系统微分方程，根据传递函数即可判断系统的稳定性等一系列性能。对于一些难以通过分析法建立系统模型的系统，还可以通过实验的方法确定系统模型。它是一种成熟而应用广泛的自动控制系统分析方法。第4章 频率特性分析与系统辨识相对于时域法，频域法有许多优点。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统的稳定性及稳定性储备。其
3、次，若线性系统的阶次较高，在时域中分析系统的性能就比较困难，而在频域中分析就比较容易和方便。而且由系统的频率特性所确定的频域指标和系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。第4章 频率特性分析与系统辨识此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。这对于某些难以用分析方法建立微分方程或传递函数的元件（或系统）来说，具有重要的意义。因此，频域法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重要内容。第4章 频率特性分析与系统辨识4.1 频率特性频率特性一、频率特性的概念一、频率特性的概念对于一个稳定的
4、线性定常系统来说，在谐波信号作用下，其响应分为瞬态响应和稳态响应两部分。根据微分方程解理论，线性定常系统在谐波信号作用下的稳态响应也是一个谐波信号，且其角频率与输入谐波信号的角频率相同，振幅和相位则一般不同于输入信号的振幅和相位，而是随角频率的改变而改变。第4章 频率特性分析与系统辨识下面以RC电路为例，说明频率特性的基本概念。如图4-1所示，设该电路的输入、输出电压分别为ui(t)和uo(t)，容易求得其传递函数为第4章 频率特性分析与系统辨识图4-1 RC电路第4章 频率特性分析与系统辨识式中，T=RC为RC电路的时间常数。若给电路输入一个振幅为Xi、频率为的正弦信号，即ui(t)=Xi
5、sint (4-1)则(4-2)11)()()(ioTssUsUsG22ii)(sXsU第4章 频率特性分析与系统辨识当初始条件为零时，输出电压的拉氏变换为对式(4-3)取拉氏反变换，得输入ui(t)引起的响应uo(t)为(4-3)22iio11)()()(sXTssUsGsU)arctansin(1e1)(22i22ioTtTXTTXsuTt第4章 频率特性分析与系统辨识上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。随着时间的推移，即当t时，瞬态分量迅速衰减到零，因而系统的稳态输出为 如果系统的输入信号为余弦信号，也能得出相似的结果。(4-4)arctansin(1)(22iosTtTXtu第
6、4章 频率特性分析与系统辨识由以上分析可知：(1)RC电路在谐波信号ui(t)作用下，系统输出的稳态响应仍是一个与输入信号同频率的谐波信号；(2)输出稳态谐波信号的幅值正比于输入正弦信号幅值，其比值为，是输入谐波信号频率的非线性函数；(3)输出稳态谐波信号的相位滞后于输入信号相位，滞后量为arctanT，显然它也是输入谐波信号频率的非线性函数，且与输入谐波信号的幅值Xi无关。221/1T第4章 频率特性分析与系统辨识事实上，对于一般的线性定常系统，上述结论仍然是成立的。也就是说，线性定常系统在谐波信号xi(t)=Xi sint作用下，系统的稳态输出（即频率响应）xo(t)=Xo sin(t+j
7、)也一定是同频率的谐波信号，只是幅值和相位角有所变化。如果对输出、输入谐波信号的幅值比Xo/Xi和相角差j作进一步的研究，则不难发现它们仅仅是的函数。定义稳态输出振幅与输入振幅之比为系统的幅频特性，并用A()表示，即(4-5)oi()()XAX第4章 频率特性分析与系统辨识稳态输出相位对输入相位的相位差称为系统的相频特性，用j()表示。幅频特性及相频特性统称为系统的频率特性，记作A()j()或A()ej()。于是RC电路的幅频特性、相频特性和频率特性分别为o22i()1()1XAXT()arctanTj 第4章 频率特性分析与系统辨识 显然，频率特性为的复变函数，其幅值为A()，相位为j()。
8、在系统结构参数给定的情况下，A()和j()仅仅是的函数，反映出线性系统在不同频率下的响应特性()arctan221()ee1TATj 第4章 频率特性分析与系统辨识二、频率特性与传递函数的关系二、频率特性与传递函数的关系设系统的输入信号、输出信号分别为xi(t)和xo(t)，其拉氏变换分别为Xi(s)和Xo(s)，系统的传递函数为式中,Si(i=1,2,n)为系统的开环极点，即系统特征方程的根。11o1010112i10()()()mmmmmmmmnnnnnnXsb sbsbb sbsbG sa ssssssXsa sasanm第4章 频率特性分析与系统辨识在输入正弦信号的作用下，可得输出信号
9、的拉氏变换为 ii22XXss 110ioi2212()()()mmmmnnb sbsbXXsG s Xsa sssssss第4章 频率特性分析与系统辨识为方便讨论，并且不失一般性，设所有极点都是互不相同的实数，则有：式中,ki（i=1,2,n）、a、a*（a*为a的共轭复数）为待定系数。对上式取拉氏反变换，可得系统的输出为t0(4-6)*12o12(j)(j)()()()nnkkkaaXsssssssss 12j*jo12eeeeentts ts ts tnxtaakkk第4章 频率特性分析与系统辨识对稳定系统而言，系统的特征根均具有负实部，所以上式中的瞬态分量在t时，将衰减到0，即。因此系
10、统输出信号xo(t)的稳态值为其中，系数a和a*可用如下公式计算：(4-9)(4-7)(4-8)lime0is titk j*josolimeetttxtxtaa ii22jjj2jsXXaG ssGs ii*22jjj2jsXXaG ssGs第4章 频率特性分析与系统辨识G(j)是复数，可写为 G(j)=|G(j)|ejG(j)=A()ejj()(4-10)G(j)与G(j)共轭，故有G(j)=A()ejj()(4-11)第4章 频率特性分析与系统辨识将式(4-10)、(4-11)分别代入式(4-8)、(4-9)，得再将a和a*代入式(4-7)，则有(4-12)(4-13)(4-14)ij(
11、)()e2jXaA j i*j()X()e2aAjj j()josiiiee()2j()sin()jsinjttxtAXAXtGXtG j j j 第4章 频率特性分析与系统辨识根据频率特性的定义，由式(4-14)可直接写出线性系统的幅频特性和相频特性为 所以系统的频率特性为|G(j)|eG(j)=G(j)。所以频率特性和传递函数的关系为G(j)=G(s)|s=j (4-16)即传递函数的复变量s用j代替后，就相应变为频率特性。(4-15)oi()()(j)()(j)XAGXG j 第4章 频率特性分析与系统辨识即传递函数的复变量s用j代替后，就相应变为频率特性。频率特性和传递函数以及微分方程
12、一样，也表征了系统的运动规律，因此频率特性也是描述线性控制系统的数学模型形式之一。微分方程是时间域的数学模型，传递函数是复数域的数学模型，频率特性则是频率域的数学模型。它们都反映了系统的固有特性，一个系统可以用这三种不同的数学模型来描述，知道其中一种数学模型便可求出另一种数学模型。它们三者之间的关系可用图4-2表示。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-2 系统的微分方程、传递函数和频率特性之间的关系第4章 频率特性分析与系统辨识三、频率特性的表示法三、频率特性的表示法频率特性是一复变函数，故它可以采用各种复数表示法：G(j)=|G(j)|ejG(j)=A()ejj()(4-17)除了用式(4-
13、17)的指数形式描述以外，频率特性G(j)还可用实部和虚部的形式来描述，即G(j)=ReG(j)+ImG(j)=u()+jv()(4-18)第4章 频率特性分析与系统辨识式中，u()=ReG(j),是频率特性的实部，称为实频特性；v()=ImG(j),是频率特性的虚部，称为虚频特性。由图4-3所示的几何关系知，幅频、相频特性与实频、虚频特性之间的关系为22()()()Auv()()arctan()vuj()()cos()uAj()()sin()vAj(4-19)(4-20)(4-21)(4-22)第4章 频率特性分析与系统辨识 频域分析方法就是通过分析系统的A()、j()、u()、v()与输入
14、信号频率的关系，从而建立系统的结构参数与系统性能的关系的分析方法。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-3 G(j)在复平面上的表示第4章 频率特性分析与系统辨识 4.2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图一、系统频率特性的极坐标图一、系统频率特性的极坐标图Nyquist图图除了数学表达式外，在工程分析和设计中，通常把频率特性画成曲线，从这些频率特性曲线出发进行研究。常用的频率特性曲线有幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线等。第4章 频率特性分析与系统辨识频率特性的极坐标图，即幅相频率特性曲线图，又称为Nyquist图（奈奎斯特图），简称奈氏图。显然，频率特性G(j)=A()ejj()可以看做是
15、极坐标中的一个矢量，这里A()表示矢量的长度；j()表示极坐标与矢量间的夹角。在极坐标系上，令由小到大取值，即从0变化时，计算相应的幅值A()和相角j()，并在G(j)平面上逐点根据A()和j()与的关系描点画图，则G(j)矢量的终端将会描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率的特性曲线，频率特性的幅值A()及相位j()与频率之间的关系都包含在这条曲线之中。第4章 频率特性分析与系统辨识系统开环Nyquist图是系统频域分析的依据。一般系统都是由典型环节组成的，掌握典型环节的幅相特性是绘制开环系统幅相特性曲线的基础。第4章 频率特性分析与系统辨识二、典型环节的二、典型环节的Nyquist图图1.比
16、例环节比例环节比例环节的传递函数为G(s)=K (4-23)其频率特性为G(j)=K=Kej0=K+j0 (4-24)第4章 频率特性分析与系统辨识由式(4-24)有幅频特性 A()=|G(j)|=K相频特性 j()=G(j)=0实频特性 u()=K虚频特性 v()=0即比例环节的实频特性恒为K；虚频特性恒为0；幅频特性A()=K；相频特性j()=0。所以，比例环节的Nyquist图是G(j)平面实轴上的一个点，其坐标为(K,j)，如图4-4所示。它表明比例环节稳态谐波响应的振幅是输入信号的K倍，且响应与输入同相位。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-4 比例环节的Nyquist图第4章 频率
17、特性分析与系统辨识2.积分环节积分环节积分环节的传递函数为其频率特性为(4-25)(4-26)1()G ssj90111(j)e0jjG第4章 频率特性分析与系统辨识显然，根据式(4-26)有幅频特性 A()=1/相频特性 j()=90实频特性 u()=0虚频特性 v()=1/积分环节的幅频特性与成反比。当=0时，G(j)的幅值由0，相频特性恒为90。积分环节频率特性的Nyquist图是虚轴的下半轴，从j处出发，沿负虚轴逐渐趋于坐标原点，如图4-5所示。显然，积分环节具有恒定的相位滞后。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-5 积分环节的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识3.微分环节
18、微分环节微分环节的传递函数为G(s)=s (4-27)其频率特性为G(j)=j=ej90=0+j(4-28)第4章 频率特性分析与系统辨识故有幅频特性 A()=相频特性 j()=90实频特性 u()=0虚频特性 v()=微分环节的幅频特性与成正比。当=0时，G(j)的幅值由0，相频特性恒为90。微分环节频率特性的Nyquist图是虚轴的上半轴，从G(j)平面的原点起始，沿虚轴逐渐趋于无穷远处，如图4-6所示。显然，微分环节具有恒定的相位超前。90111()0jG jejj第4章 频率特性分析与系统辨识图4-6 微分环节的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识4.惯性环节惯性环节惯性环节
19、的传递函数为 其频率特性为(4-29)(4-30)1()1G sTsjarctan222222111(j)ej1j111TTGTTTT第4章 频率特性分析与系统辨识由式(4-30)得惯性环节的幅频、相频、实频和虚频特性分别为幅频特性 相频特性 j()=arctanT实频特性 虚频特性 221()1AT221()1uT22()1TvT 第4章 频率特性分析与系统辨识所以：(1)当=0时，A()=1，j()=0，u()=1，v()=0;(2)当=1/T时，j()=45，u()=1/2，v()=1/2;(3)当=时，A()=0，j()=90，u()=0，v()=0。()2/2A第4章 频率特性分析与
20、系统辨识可以证明，当=0时，惯性环节频率特性的Nyquist图是一个位于正实轴下,以(1/2，j0)为圆心、1/2为半径的半圆，如图4-7所示。证明如下：设 其中(4-31)(4-32)221j1(j)j1j1TGXYTT2211XT221TYTXT 第4章 频率特性分析与系统辨识图4-7 惯性环节的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识由式(4-32)可得将式(4-33)代入式(4-31)整理后可得 式(4-34)表明：惯性环节频率特性的Nyquist图符合圆的方程，圆心在实轴上1/2处，半径为1/2。从式(4-32)还可看出，X为正值时，Y只能取负值，这意味着曲线限于实轴的下方，是
21、个半圆。(4-33)(4-34)YTX 2221122XY第4章 频率特性分析与系统辨识5.一阶微分环节（导前环节）一阶微分环节（导前环节）一阶微分环节的传递函数为G(s)=Ts+1 (4-35)其频率特性为(4-36)22jarctan(j)1j1eTGTT 第4章 频率特性分析与系统辨识由式（4-36）得一阶微分环节的幅频、相频、实频和虚频特性分别为幅频特性 相频特性 j()=arctanT实频特性 u()=1虚频特性 v()=T22()1AT第4章 频率特性分析与系统辨识所以:(1)当=0时，A()=0，j()=0,u()=1，v()=0;(2)当=1/T时，j()=45，u()=1，v
22、()=1;(3)当=时，A()=，j()=90，u()=1，v()=。一阶微分环节的实频特性为常数1，虚频特性与成正比，其频率特性的Nyquist图如图4-8所示。()2A第4章 频率特性分析与系统辨识图4-8 一阶微分环节的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识6.振荡环节振荡环节振荡环节的传递函数为式中，n=1/T为无阻尼固有频率；为阻尼比。振荡环节相应的频率特性为(4-37)(4-38)2n2222nn1()01212G sT sT ss2n22nn(j)j2G 第4章 频率特性分析与系统辨识将式(4-38)分子分母同除以，并令/n=，得(4-39)2n222jarctan122
23、222222222221(j)(1)j21e(1)421j(1)4(1)4G 第4章 频率特性分析与系统辨识由式(4-39)得振荡环节的幅频、相频、实频和虚频特性分别为幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性22221()(1)4A 22()arctan1j 222221()(1)4u 22222()(1)4v 第4章 频率特性分析与系统辨识所以:(1)当=0，即=0时，A()=1，j()=0，u()=1，v()=0;(2)当=1，即=n时，j()=90，u()=0，;(3)当=，即=时，A()=0，j()=180，u()=0，v()=0。1()2v 1()2A第4章 频率特性分析与系统辨识当由
24、0变化时，根据以上分析便可求得相应频率下振荡环节的幅频、相频、实频和虚频特性，其频率特性的Nyquist图如图4-9所示。振荡环节频率特性的Nyquist图始于点（1，j0），而终于点(0，j0)，曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率n，此时的幅值为。二阶振荡环节Nyquist图的形状与值有关，图4-10所示为取不同值时的Nyquist曲线。12第4章 频率特性分析与系统辨识图4-9 振荡环节的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识图4-10 取不同值时二阶振荡环节的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识由图4-11可看出，值较小时，随=0变化，G(j)的幅值A()先增加，
25、然后再逐渐衰减，直至0。A()达到极大值时对应的幅值称为谐振峰值，记为Mr，对应的频率称为谐振频率，记为r。Mr、r可用下列方法求得。由得r()0A 2r12第4章 频率特性分析与系统辨识图4-11 振荡环节的幅频图第4章 频率特性分析与系统辨识或从而可求得00.707(4-40)(4-41)2rn12rr21()21MA2r12()arctan j 第4章 频率特性分析与系统辨识由式(4-40)知：当23。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-12 二阶微分环节的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识8.延时环节延时环节延时环节的传递函数为G(s)=es (4-44)相应的频率特性为G
26、(j)=ej=cos+j sin (4-45)第4章 频率特性分析与系统辨识故有幅频特性 A()=1相频特性 j()=实频特性 uv=cos虚频特性 v()=sin其幅相特性曲线是圆心在原点的单位圆（如图4-13所示），值越大，其相角滞后量越大。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-13 延时环节的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识三、绘制频率特性三、绘制频率特性Nyquist图的一般步骤图的一般步骤要绘制准确的频率特性Nyquist图，一般可以借助于计算机，以一定的频率间隔逐点计算G(j)的实部与虚部或幅值与相角，并描绘在极坐标图中。有时只需要绘制概略的频率特性Nyquist图，概
27、略的频率特性Nyquist图应保持其曲线的重要特性，并且在要研究的点附近有足够的准确性。绘制频率特性概略Nyquist图的一般步骤如下：第4章 频率特性分析与系统辨识(1)在系统传递函数中令s=j，写出系统的频率特性GK(j)。(2)写出系统的幅频特性A()、相频特性j()、实频特性u()和虚频特性v()。(3)令=0，求开环幅相曲线的起点，即求=0时,A()、j()、u()和v()的值。(4)令=，求开环幅相曲线的终点，即=时，A()、j()、u()和v()的值。(5)如果特性曲线跨过了几个象限，则它必定与实轴或虚轴有交点。令u()=0,求出，然后代入v()的表达式求得Nyquist曲线与虚
28、轴的交点；令v()=0,求出，然后代入u()的表达式求得Nyquist曲线与实轴的交点。第4章 频率特性分析与系统辨识(6)对于二阶振荡环节（或二阶系统）,还要求=n时的A()、j()、u()和v()的值。若此环节（或系统）的阻尼比00.707，则还要计算谐振频率r，谐振峰值Mr及=r时的u()和v()。(7)在00 K1211KGsT sT sK1221212222222221212j1j1j1 j1111KGTTKTTK TTTTTT第4章 频率特性分析与系统辨识显然，该系统由比例环节和两个惯性环节串联组成，其幅频、相频、实频和虚频特性分别为幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性 2222
29、1211KATT 12arctanarctanTT j 2122222121()11KTTuTT12222212()11K TTvTT 第4章 频率特性分析与系统辨识所以(1)当=0时，A()=K，j()=0，u()=K，v()=0;(2)当=时，A()=0，j()=180，u()=0，v()=0;(3)令u()=0，得 此时，j()=90,u()=0,。由以上可描绘出系统的Nyquist图，如图4-14所示。121,TT1 212(),K TTATT1212()K TTvTT 第4章 频率特性分析与系统辨识图4-14 例4-1的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识例例4-2 系统的
30、传递函数为，试绘制其Nyquist图。解解：系统的传递函数为显然，该系统由比例环节、积分环节和惯性环节串联组成，其幅频、相频、实频和虚频特性分别为幅频特性)1()(TssKsG)1(j1 j11j1)j1(j)j(2222TKTKTTKTKG221)(TKA第4章 频率特性分析与系统辨识相频特性 j()=90arctanT实频特性 虚频特性 221)(TKTu)1()(22TKv第4章 频率特性分析与系统辨识所以(1)当=0时，A()=，j()=90，u()=KT，v()=;(2)当=时，A()=0，j()=180，u()=0，v()=0。由以上可描绘出系统的Nyquist图，如图4-15所示
31、。此曲线的低频段将沿一条渐近线趋于无穷远处，这条渐近线是过点（KT，j0），平行于虚轴的直线，如图中虚线所示。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-15 例4-2的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识例例4-3 系统的传递函数为试绘制其Nyquist图。解解：系统的频率特性为)1)(1()(212sTsTsKsG)1)(1()(j)1)(1()1()j1)(j1()(j)j(2222212212222212221212TTTTKTTTTKTTKG第4章 频率特性分析与系统辨识显然，该系统由一个比例环节、两个积分环节和两个惯性环节串联组成，其幅频、相频、实频和虚频特性分别为幅频特性 相频
32、特性 j()=180arctanT1arctanT2实频特性 虚频特性 )1)(1()1()(2222212221TTTTKu)1)(1()1()(222221221TTTTKv222221211)(TTKA第4章 频率特性分析与系统辨识所以(1)当=0时，A()=，j()=180，u()=，v()=;(2)令u()=0，可求得当时，Nyquist曲线与虚轴有交点，即211TT270)(,)()(212/321jTTTTKA212/321)()(,0)(TTTTKuj第4章 频率特性分析与系统辨识 (3)当=时，A()=0，j()=360，u()=0，v()=0。由以上可描绘出系统的Nyqui
33、st图，如图4-16所示。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-16 例4-3的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识四、系统开环频率特性四、系统开环频率特性Nyquist图的一般形状图的一般形状当系统在s平面的右半平面不存在零、极点时，系统开环传递函数一般可以写为系统的频率特性为(4-46)nm(4-47)nmvnjjvmiisTssKsHsGsG11K)1()1()()()(vnjjvmiiTKG11K)j1()j()j1()j(第4章 频率特性分析与系统辨识系统的幅频特性A()、相频特性j()为vnjivmiiTKA1212)(1)(1)(90arctanarctan)(11vTv
34、njimiij第4章 频率特性分析与系统辨识所以,系统开环频率特性Nyquist图的一般形状如下：（1）当=0时，求开环幅相曲线的起点。对于0型系统，v=0，GK(j0)=K0，A()=K，j()=0，Nyquist曲线的起始点是一个在正实轴上有限值的点(K,j0)；第4章 频率特性分析与系统辨识对于型系统，v=1，A()=，j()=90，在低频段，Nyquist曲线渐近于与负实轴平行的直线;对于型系统，v=2，A()=，j()=180，在低频段，G(j)负实部是比虚部除数更高的无穷大。开环幅相曲线的起点如图4-17所示。（2）当时，求开环幅相曲线的终点。若nm，则A()=0；若n=m，则A(
35、)=常数，j()=(mn)90。开环幅相曲线的终点如图4-18所示。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-17 开环幅相曲线起点第4章 频率特性分析与系统辨识图4-18 开环幅相曲线终点第4章 频率特性分析与系统辨识综上所述，系统开环Nyquist曲线起点G(j0)完全由K，v确定，而终点G(j)则由nm来确定。(4-49)mn mnnmnGvvvKG )(90m )(900)j(0 900 0)0 j(常数(4-48)第4章 频率特性分析与系统辨识例例4-4 单位反馈系统的开环传递函数GK(s)为分别概略绘出当系统型别v=0,1,2,3时的开环幅相特性。)1)(1()(21KsTsTsKsGv
36、第4章 频率特性分析与系统辨识解解：v=0时，系统开环频率特性为当=0时，A()=K，j()=0；当=时，A()=0，j()=(mn)90=180。由此可以概略绘出GK(j)的Nyquist曲线如图4-19中曲线G0所示。)1j)(1j()j(21KTTKG第4章 频率特性分析与系统辨识图4-19 延迟环节的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识v=1时，系统开环频率特性为当=0时，A()=，j()=90；当=时，A()=0，j()=270。由此可以概略绘出G(j)的Nyquist曲线如图4-19中曲线G1所示。同理可以绘出v=2,3时的Nyquist曲线分别如图4-19中曲线G2和G
37、3所示。常见系统的频率特性Nyquist图如表4-1所示。)1j)(1j(j)j(21KTTKG第4章 频率特性分析与系统辨识表4-1 常见环节的Nyquist图第4章 频率特性分析与系统辨识第4章 频率特性分析与系统辨识第4章 频率特性分析与系统辨识第4章 频率特性分析与系统辨识第4章 频率特性分析与系统辨识4.3 频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图一、频率特性的对数坐标图一、频率特性的对数坐标图Bode图图频率特性的对数坐标图又称Bode图（伯德图），它由对数幅频特性图和对数相频特性图组成，分别表示系统幅频特性和相频特性。Bode图横坐标表示频率，但按对数分度，如图4-20所示。第4
38、章 频率特性分析与系统辨识的值每变化10倍，在对数坐标上变化一个单位。将该频带宽度称为十倍频程，通常以“dec”表示。Bode图横坐标虽然按对数分度，但习惯上仍然以频率值标注，而不是lg。纵坐标则为线性分度。因此在绘制和使用Bode图时，要注意坐标轴对数分度的方法与线性分度方法的不同之处。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-20 Bode图的横坐标第4章 频率特性分析与系统辨识对数幅频特性图的纵坐标表示幅频特性A()的对数的20倍，即L()=20 lgA()=20 lg|G(j)|(4-50)单位为dB（分贝）。横坐标表示频率，其单位为rad/s或s1。对数相频特性图的纵坐标表示相频特性j()
39、=G(j)，单位为度，横坐标与对数幅频特性图的横坐标相同。对数幅频特性图和对数相频特性图的横坐标与纵坐标分别如图4-21所示。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-21 Bode图坐标系 第4章 频率特性分析与系统辨识由于横坐标采用了对数分度，因此，在Bode图中=0不可能在横坐标上表示出来。横坐标上表示的最低频率可由系统感兴趣的频率范围来确定。采用Bode图描述系统的频率特性有以下优点：(1)系统的对数幅频特性与对数相频特性是组成系统的各个典型环节的对数幅频特性与对数相频特性的叠加，因此，容易由典型环节的Bode图生成系统的Bode图。第4章 频率特性分析与系统辨识(2)可以用对数幅频特性的渐
40、近线代替其精确曲线，简化作图。(3)可以在较大的频率范围内研究系统的频率特性。(4)可以根据研究的需要，对某一频段内系统的频率特性进行细化。(5)用Bode图可以非常方便地对系统进行辨识。第4章 频率特性分析与系统辨识二、典型环节的二、典型环节的Bode图图1.比例环节比例环节比例环节频率特性为G(j)=K其对数幅频特性和对数相频特性分别为L()=20 lg|G(j)|=20 lgK，j()=0第4章 频率特性分析与系统辨识其Bode图如图4-22所示。可见，比例环节的对数幅频曲线是一条高度等于20 lgK的水平直线。其对数相频特性曲线是与0线重合的一条直线。当K改变时，对数幅频特性曲线上、下
41、移动，对数相频特性曲线则保持不变，仍为0线。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-22 比例环节的Bode图第4章 频率特性分析与系统辨识2.积分环节积分环节积分环节的频率特性为其对数幅频特性与对数相频特性分别为L()=20 lg|G(j)|=20 lg，j()=90积分环节对数幅频曲线在=1处通过0 dB线，斜率为20 dB/dec，也就是说，每当频率增加10倍时，对数幅频特性就下降20 dB；对数相频特性为90水平线，如图4-23所示。(4-51)j1)j(G第4章 频率特性分析与系统辨识图4-23 积分环节的Bode图第4章 频率特性分析与系统辨识3.微分环节微分环节微分环节的频率特性为G
42、(j)=j其对数幅频特性与对数相频特性分别为L()=20 lg|G(j)|=20 lg，j()=90微分环节的对数幅频曲线在=1处通过0 dB线，斜率为20 dB/dec，也就是说，每当频率增加10倍时，对数幅频特性就上升20 dB；对数相频特性为+90水平线，如图4-24所示。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-24 微分环节的Bode图第4章 频率特性分析与系统辨识4.惯性环节惯性环节惯性环节的频率特性为其对数幅频与对数相频特性表达式为 j()=arctanT (4-54)(4-52)(4-53)TGj11)j(2211lg20|)j(|lg20)(TGL第4章 频率特性分析与系统辨识令T
43、=1/T，则式中,T称为惯性环节的转折频率或转角频率。当T时，(/T)21，略去式(4-53)中的1，则有 L()=20 lg(/T)将=T代入上式得L(T)=0 dB，表明L()在高频段的渐近线是斜率为20 dB/dec的直线，该渐近线始于点(T,0)。第4章 频率特性分析与系统辨识可见，低频渐近线和高频渐近线的交点为(T,0)，交点处的频率T=1/T即为惯性环节的转折频率。惯性环节的Bode图如图4-25所示。图中绘出了惯性环节对数幅频特性的渐近线与精确曲线，以及对数相频曲线。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-25 惯性环节的Bode图第4章 频率特性分析与系统辨识由图可见，渐近线与精确
44、曲线之间有误差，最大幅值误差发生在转折频率T处，其值近似等于3 dB。当0.1T或10T时，最大误差接近0 dB；当0.1T10T时，可用图4-26所示的误差曲线来进行修正。惯性环节的对数相频特性从0变化到90，并且关于点(T,45)对称。当=T时，j()=45；当0.1T时，j()0；当10T时，j()90。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-26 惯性环节对数相频特性误差修正曲线第4章 频率特性分析与系统辨识5.一阶微分环节（导前环节）一阶微分环节（导前环节）一阶微分环节的频率特性为G(j)=1+jT (4-57)其对数幅频与对数相频特性表达式为 j()=arctanT (4-59)(4-
45、58)221lg20|)j(|lg20)(TGL第4章 频率特性分析与系统辨识令，则式中,T称为一阶微分环节的转折频率或转角频率。(4-60)(4-61)2T1lg20|)j(|lg20)(GLTarctan)(jT1T第4章 频率特性分析与系统辨识当T时，有Tlg20)(L12T第4章 频率特性分析与系统辨识将=T代入上式得L(T)=0 dB，表明L(）在高频段的渐近线是斜率为20 dB/dec的直线，该渐近线始于点(T,0)。可见，低频渐近线和高频渐近线的交点为(T，0)，交点处的频率T=1/T即为一阶微分环节的转折频率。一阶微分环节的Bode图如图4-27所示，它与惯性环节的Bode图关
46、于频率轴对称。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-27 一阶微分环节的Bode图第4章 频率特性分析与系统辨识6.振荡环节振荡环节 振荡环节的传递函数为其频率特性为(4-62)10 2)(2nn22nssG2 j)1(1 2 j)j(2n22n2nG第4章 频率特性分析与系统辨识式中，。其对数幅频特性为对数相频特性为 当n时，1，由式(4-63)得上式表明L()的高频段渐近线是一条斜率为40 dB/dec的直线。显然，即=n是两条渐近线的相交点，所以，振荡环节的固有频率n就是其转折频率。n2lg40lg40lg20)(L1n第4章 频率特性分析与系统辨识振荡环节的对数幅频特性不仅与,即/n有关
47、，而且与阻尼比有关，因此在转折频率附近一般不能简单地用渐近线近似代替，否则可能引起较大的误差。图4-28给出了当取不同值时对数幅频特性的准确曲线和渐近线，由图可见，在0.707时，曲线出现谐振峰值，值越小，谐振峰值越大，它与渐近线之间的误差越大。图4-29所示为振荡环节Bode图的误差修正曲线。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-28 振荡环节的Bode图第4章 频率特性分析与系统辨识图4-29 振荡环节的误差修正曲线第4章 频率特性分析与系统辨识由式(4-64)可知，相频特性j()也是/n和的函数，当=0时，j()=0；当时，j()=180；当=n时，不管值的大小，n总是等于90，而且相频特
48、性曲线关于(n90)点对称。第4章 频率特性分析与系统辨识7.二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节的传递函数为频率特性为(4-65)10 12)(n2n2ssG2 j)1(2 j1)j(2n2nG第4章 频率特性分析与系统辨识式中，=/n。其对数幅频特性为对数相频特性为 二阶微分环节与振荡环节成倒数关系，其Bode图与振荡环节Bode图关于频率轴对称，如图4-30所示。22224)1(lg20|)j(|lg20)(GL212arctan)(j第4章 频率特性分析与系统辨识图4-30 二阶微分环节的Bode图第4章 频率特性分析与系统辨识8.延迟环节延迟环节延迟环节的传递函数为G(s)=es频率
49、特性为 G(j)=ej=A()ejj()第4章 频率特性分析与系统辨识式中，幅频特性A()=1，相频特性j()=，因此L()=20 lg|G(j)|=0 j()=上式表明，延迟环节的对数幅频特性与0 dB线重合，对数相频特性值与成正比，当时，相角滞后量j()。延迟环节的Bode图如图4-31所示。第4章 频率特性分析与系统辨识图4-31 延迟环节的Bode图第4章 频率特性分析与系统辨识三、绘制三、绘制Bode图的一般步骤图的一般步骤设开环系统由n个环节串联组成，系统频率特性为G(j)=G1(j)G2(j)Gn(j)(4-66)式(4-66)也可以写成指数的形式，即(4-67)(j)(j2)(
50、j1)(je)(e)(e)(e)(21jjjjnnAAAA第4章 频率特性分析与系统辨识式中，A()=A1()A2()An()，等号两边取对数后，有L（）=20 lgA1()+20 lgA2()+20 lgAn()=L1()+L2()+Ln()(4-68)j()=j 1()+j 2()+j n()(4-69)第4章 频率特性分析与系统辨识Ai()(i=1,2,n)表示各典型环节的幅频特性，Li()和ji()分别表示各典型环节的对数幅频特性和对数相频特性。式(4-68)和式(4-69)表明，只要能作出G(j)所包含的各典型环节的对数幅频和对数相频曲线，将它们分别进行代数相加，就可以求得开环系统的
