1、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元微积学一元微积学 第二讲 一、一、历年试题分类统计及考点分布历年试题分类统计及考点分布 二、考点综述及主要解题方法与技巧二、考点综述及主要解题方法与技巧三、真题解析三、真题解析一、一、历年试题分类统计及考点分布历年试题分类统计及考点分布(1)导数与微分定义导数与微分定义机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)微分定理微分定理二、考点综述与主要解题方法与技巧二、考点综述与主要解题方法与技巧罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒定理泰勒定理证明等式证明等式证明不等式证明不等式证明根的存在性证明根的存在性与唯一性与唯一性
2、求极限求极限(1)导数与微分定义导数与微分定义0limxxxfxxfnn)()(0)1(0)1()(0 xf(a)导数定义导数定义(b)导数定义推广导数定义推广0lim猫猫猫)()(00 xfxfxyx0lim)(0 xf 0limxxxfxxf)()(00 xyx0lim)(0)(xfn(c)微分定义微分定义(d)微分几何意义微分几何意义微分微分)()(00 xfxxfyxxfxAy)(d0)(xoxA可微可微xxfdyy)(0)(000 xxxfyy线性增量代替复杂增量线性增量代替复杂增量切线代替曲线切线代替曲线例例1.2012年真题（分）)0(f),()2)(1()(2neeexfnxx
3、x其中n为正整数，则设函数（）0limx00)()(xxxfxf析析.（）（）判定类型：判定类型：用导数定义用导数定义（）（）技巧：技巧：)(0 xf 0limxxxfxxf)()(00)(0 xf 例例.1989年真题（分）hfhfh2)3()3(lim0,2)3(f则已知（）析析.（）（）判定类型：判定类型：用导数定义用导数定义（）（）技巧：技巧：)(0 xf 猫猫)()(00 xfxf例例.2006年真题（4分）,0)(,0)(xfxf)(xfy 具有二阶导数，且设函数（A）析析.（）（）判定类型：判定类型：用导数与微分几何意义用导数与微分几何意义则在0 x处有0.dyyCdyyB0.y
4、dyA0.0.ydyD的连续性及导函数例例.填空题（年考研真题）填空题（年考研真题）(1)设函数上连续，在),()(xf的则)(xf其导数图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .)(xf),0(),(21xx),(),0,(21xx21,xx0 x提示提示:)(xf根据的正负作 f(x)的示意图.单调增区间为 ;o2x1xyxox)(xf1x2x 拉格朗日中值定理)()(bfaf 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用(a)微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 0)(fxyoab)(xfy)()()()()()(Ff
5、aFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF10)1(!)1(1)(nnnxxf 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy 泰勒中值定理)()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n机动 目录 上页 下页 返回 结束 b.微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论机动 目录 上页 下页 返回 结束 原则：欲证结论中的中值属于闭区间，,ba优先考虑介值定理原则：欲证结论中的中值属于开区间，),(ba优先考虑中值定理c.有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用
6、逆向思维逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用柯西中值定理柯西中值定理.必须多次应用多次应用中值定理中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当适当放大放大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 d.辅助函数的构造方法辅助函数的构造方法)()(*xFxF)(*xF将欲证结论中的中值 改写为x,通过整理使得等式一端为零机动
7、 目录 上页 下页 返回 结束，另一端记为（2）令(3)验证F(x)是否满足零点定理，若满足，命题成立，若不满足，则()令)()()()0*xFxFxFC一次积分（令(5)验证F(x)是否满足罗尔定理，若满足，命题成立，若不满足，则()改令)()()()00*xFxFxFDC ，两次积分（令（7）将大区间分成若干小区间，在各个小区间用中值定理结论简单一般用罗尔定理，结论复杂一般用拉格朗日中值定理应用一：证明等式例例1.证明存在一点155使得)1,0()()(*xFxF)(*xF将欲证结论中的中值 改写为x,通过整理使得等式一端为零，另一端记为(3)验证F(x)是否满足零点定理，若满足，命题成立
8、（2）令思路解析：思路解析：机动 目录 上页 下页 返回 结束(练习题：年考研真题练习题：年考研真题)思路解析：思路解析：()第一问用零点定理已知函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明：（）存在.1)(),1,0(f使得（）存在两个不同的点.1)()(),1,0(,ff使得()第二问利用第一问结论与拉格朗日中值定理例例.设实数满足下述等式naaa,1001210naaan证明方程在(0,1)内至少有一个实根.010nnxaxaa机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(*xFxF)(*xF将欲证结论中的中值 改写为x,通过整理使得等式一端为零，另一端
9、记为(3)验证F(x)是否满足零点定理，若满足，命题成立，若不满足，则()令)()()()0*xFxFxFC一次积分（令(5)验证F(x)是否满足罗尔定理，若满足，命题成立思路解析：思路解析：（2）令练习题：练习题：98年真题年真题,0)(Cxf且在),0(内可导,证明至少存在一点,),0(使.cot)()(ff0cos)(sin)(xxfxxf（）验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.（）令xxfxFsin)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路解析：思路解析：将欲证结论中的中值 改写为x,整理使得等式一端为零)sin)(cos)(sin)()(xxfxxfxxfxF（）易得设（）结
10、论简单一般用罗尔定理，结论复杂一般用拉格朗日中值定理思路解析：思路解析：)*xF（）将欲证结论中的中值 改写为x,通过整理使得等式一端为常数，另一端记为()令)()()()0*xFxFxFC一次积分（令()验证F(x)是否满足罗尔定理，若满足，命题成立2()(1)()0ff练习：练习：设函数()0,1(0)(1),f xff在上二阶可导，证明，存在(0,1),使得（）结论简单一般用罗尔定理，结论复杂一般用拉格朗日中值定理思路解析：思路解析：)*xF（）将欲证结论中的中值 改写为x,通过整理使得等式一端为常数，另一端记为()令)()()()0*xFxFxFC一次积分（令()验证F(x)是否满足拉
11、格朗日中值定理，若满足，命题成立例例4.设).0()1(2)(fff,)1,0(,1,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(使证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路解析：思路解析：()若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用 柯西中值定理柯西中值定理.2)(01)0()1(fffxxxf)()(2（）结论可变形为)0()1(ff)0()1(FF例例4.设).0()1(2)(fff2)(01)0()1(fffxxxf)()(2,)(2xxF,)1,0(,1,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(使证证:结论可变形为设则)(,)(xFxf在 0,1 上满足柯西中值
12、定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使)(f)(F012即)0()1(2)(fff证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例,)(,)(内可导，在，上连续在设babaxf且,0ba 试证存在).(2)(fbaf使,),(,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路解析：思路解析：（）结论可变形为,2)()(fbaf即.2)()(22fababf()若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用多次应用中值定理中值定理.例例,)(,)(内可导，在，上连续在设babaxf且,0ba 试证存在).(2)(fbaf使,),(,ba证证:欲证,2)()(fbaf因 f(x)在 a,b 上满足拉
13、氏中值定理条件,故有),(,)()()(baabfafbf,)(2上满足柯西定理条件在及又因baxxf),(,2)()()(22bafabafbf将代入,化简得故有),(2)(fbaf),(,ba即要证.2)()(22fababf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6abafbff)()()(,1,0)(上可导在设xf且,1)1(,0)0(ff试证存在2)(1)(121xfxf使,)1,0(,21xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路解析：思路解析：（）注意到()若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次或者在多次或者在不同区间上应用中值定理不同区间上应用中值定理.)()()(1afb
14、fabf 应用二：证明不等式0)0(,0)(fxf设 证明对任意0,021xx有)()()(2121xfxfxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.（年考研真题）分（年考研真题）分思路解析：思路解析：()若结论中有函数之差的形式，(5)若结论为不等式,要注意适当适当放大放大或缩小缩小的技巧.可考虑用中值定理用中值定理.0)0(,0)(fxf设 证明对任意0,021xx有)()()(2121xfxfxxf证证：210 xx)()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx不妨设)0()()()(1221fxfxfxxf)(
15、21)011x11)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.（年考研真题）分（年考研真题）分,2)(xf例例.（年考研真题）在)(xf 1,0上二阶可导,)1()0(ff且证明.1)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数()若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式泰勒公式,(2)若结论为不等式,要注意适当适当放大放大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理.思路解析：思路解析：(3):泰勒公式建立了函数及其导数的联系。在使用中，展开点的选择是十分关键的，通常可以选择一些函数的具有一些特点的点，比如区间端点，中点，极值点等。,2)(xf例例.设函数在)(x
16、f 1,0上二阶可导,)1()0(ff且证明.1)(xf证证:,1,0 x由泰勒公式得)0(f)1(f两式相减得221221)()1)()(0 xfxfxf 221221)()1)()(xfxfxf 221221)()1()(xfxf 22)1(xx)1(21xx 1,0,1x)(xfxxf)(221)(xf)10()10()1)()1)()(221 xfxxfxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 应用三：证明根的存在性与唯一性 例1：设 a,b,c为三个实数，证明：方程cbxaxex2的根不超过三个.思路解析：思路解析：()”不超过”问题多考虑用反证法反证法()有三个零点)(xf 有两个零
17、点)(xf 有四个零点)(xf有一个零点)(xf 应用四：求极限例例1.求)0()1arctan(arctanlim2ananann机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路解析：思路解析：()若结论中有函数之差的形式，可考虑用中值定理用中值定理.例例1.求)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求极限原式)1(11lim22nanann之间）与在1(nana221)1(limannnna机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用泰勒公式令,arctan)(xxf则,11)(2xxf22)1(2)(xxxf)()0()0()0()(22!21x
18、oxfxffxf)(2xox原式2lim nn)0()1arctan(arctanlim2ananann22112)()1(limnnnonnnaa)1(2nona)1(1(12nona机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 求30(1)2(1)limsinxxxx eex机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路解析：思路解析：()若结论中有函数之差的形式，可考虑泰勒公式泰勒公式.应用五：极值与拐点例例1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路解析：思路解析：()利用拐点定义，与极值判定法，及参数方程求导法则如果一个质点在平面内运动，它的坐标可以表示为时间的函数证明：曲线在 t=0处有一
19、个拐点，并且质点运动的速度在t=0处有一个极大值ttyttx43.历年真题解析机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)3(f(年考研真题年考研真题)思路解析：思路解析：()导数定义已知则hfhfh2)3()3(lim00lim猫猫猫)()(00 xfxfxyx0lim)(0 xf（）hhfhfh2)3()3(lim0（）机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知 f(x)在x=0 上连续,在(0,3)的某2cos1)(lim,0)0(0 xxffx(90年考研真题年考研真题)则在点x=0处，f(x)邻域内连续，思路解析：思路解析：()利用极限保号性A.不可导B.可导C.取得极大值D.取得极小值机
20、动 目录 上页 下页 返回 结束(年考研真题年考研真题)证明 拉格朗日中值定理：(1)在区间 a,b 上连续)(xfy 满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点,),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f(x)在闭区间0,上可微,1)(,1)(0 xfxf且)1,0(年考研真题年考研真题)对于0,1上的每个 x,思路解析：思路解析：()存在性用零点定理()唯一性用反证法结合罗尔定理证明有且仅有一个使得)(f机动 目录 上页 下页 返回 结束(年考研真题年考研真题)思路解析：思路解析：()第一问用零点定理已知函数f(x)在0
21、,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明：（）存在.1)(),1,0(f使得（）存在两个不同的点.1)()(),1,0(,ff使得()第二问利用第一问结论与拉格朗日中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束(年考研真题年考研真题)思路解析：思路解析：()先画图分析()利用拉格朗日中值定理设不恒为常数的函数 f(x)在闭区间),()(bfaf且),(baa,b上连续，在开区间（a,b）内可导，证明至少存在一点0)(f使得机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f(x)在0,3 上连续,在(0,3),1)3(,3)2()1()0(ffff使,)3,0(.0)(f(03
22、年考研真题年考研真题)试证必存在 内可导,且思路解析：思路解析：()从结论看,典型的罗尔定理()难点是确定合适的区间,使两端点函数值相等.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f(x)在0,3 上连续,在(0,3),1)3(,3)2()1()0(ffff使,)3,0(.0)(f分析:所给条件可写为1)3(,13)2()1()0(ffff(03年考研真题年考研真题)试证必存在 想到找一点 c,使3)2()1()0()(fffcf证证:因 f(x)在0,3上连续,所以在0,2上连续,且在0,2上有最大值 M 与最小值 m,故Mfffm)2(),1(),0(Mmfff3)2()1()0(由介值
23、定理,至少存在一点 使,2,0c3)2()1()0()(fffcf1,1)3()(fcf,)3,(,3,)(内可导在上连续在且ccxf由罗尔定理知,必存在.0)(,)3,0()3,(fc使内可导,且补充习题补充习题.设在)(xf 1,0内可导,且,0)1(f证明至少存在一点)(f,)1,0(使上连续,在)1,0()(2 f证证:问题转化为证.0)(2)(ff设辅助函数)()(2xfxx 显然)(x在 0,1 上满足罗尔定理条件,故至,)1,0(使0)()(2)(2ff即有)(f)(2 f少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 费马 目录 上页 下页 返回 结束 法国数学家,Rolle年轻
24、时家境贫困,仅受过初等教育,靠自学精通了代数和Diophantus分析理论.1682年,他解决了数学家Ozanam提出的一个数学难题,受到学术界的好评,从此生活有了转机，得到了社会上层人士的经济援助。Rolle所处的时代正当微积分诞生不久，因而微积分遭受到多方面的非议，Rolle就是反对派之一.他认为：“微积分是巧妙的谬论的汇集.”从而和一些数学家之间展开了激烈的争论,直到1706年秋，他才放弃自己的观点,并于1691年了发明Rolle定理.1.罗尔罗尔(Rolle)(1652-1719).拉格朗日拉格朗日Lagange Lagange(1736 1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,
