1、四、小结一、Fourier变换的概念二、单位脉冲函数及其Fourier变换三、非周期函数的频谱 1.若函数 f(t)满足Fourier积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有jj1()()eded2tf tf 设设j()()edtFf tt f(t)的Fourier变换记作:F()叫做 f(t)的象函数.，()Ff t F一、Fourier变换的概念j1()()ed2tf tF F()的Fourier逆变换记作:f(t)叫做 F()的 象函数F()和象原函数 f(t)构成了一个Fourier变换对.，1()f tF F一、Fourier变换的概念则则象原函数.2、Fourier变换的奇偶虚实
2、性质 1)F()和 f(t)有相同的奇偶性.2)f(t)为t 的实值函数的充要条件是F()的实部为的偶函数,虚部为的奇函数.3)f(t)为t 的虚值函数的充要条件是F()的实部为的奇函数,虚部为的偶函数.一、Fourier变换的概念3.Fourier正弦变换及正弦逆变换:当f(t)为奇函数时,002()()sinsindf tft d d s0()()sind dFf tt t Fourier正弦变换一、Fourier变换的概念 ss().即即 Ff t Fs02()()sind f tFt Fourier正弦逆变换ss1()().即即 f tF F一、Fourier变换的概念当 f(t)为偶
3、函数时,002()()cosdcosdf tft 0()()coscFf tt t d dFourier余弦变换一、Fourier变换的概念 ().ccFf t 即即 F02()()cosdcf tFt Fourier余弦逆变换 1().ccf tF 即即 F一、Fourier变换的概念0,0()e,0ttf tt 0.其其中中j()()ed,tFf tt 由由j()()()edtFf tf tt Fj(j)00eededttttt 221jj j1()()ed,2tf tF 1j1()()()ed2tf tFF Fj221jed2t 2201cossindtt 2200,0cossind/2
4、,0e,0tttttt 2()etf tA 00.A 其其中中，j()()edtFf tt 1 1)由由j()()()edtFf tf tt F2jedttAt 22j24eedtAt 令j,2ts 22j222ededtsts j jj j则为复平面s上的解析函数,2es 取如图的闭曲线:l,ABCD由Cauchy积分定理有:实轴虚轴R CBAOR2 D矩形d d2e0sls 2e0ABBCCDDAslllls d d当 时,有R 222eeeABRsttlRstt dddddd 222220eededBCRRusslRssRu j jj jdjdjj jd d22220eeRuR uu 同
5、理,当 时,有R 2e0.DAsls d dd d2e0,BCsls 2e0.DAsls d dd d2220ee0.Ruu 即22limelime0CDCDssllRRss dddd222edss j jj j 钟形脉冲函数的Fourier变换为 24e.FA 2)钟形脉冲函数的积分表达式j1()()ed,2tf tF 积分性质,有由 1()()f tF F j1()ed2tF 利用奇偶函数的 j j 241ecossind2Att 240ecosdAt 2240ecosd()ettf tA 1,01()0,1tf tt 0()()sindsFf ttt 的正弦变换和余弦变换.由正弦变换为
6、ss()()Ff t F01 cos()sindf ttt 余弦变换为 ()()ccFf t F0sin()cosdf ttt 在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t)、以q(t)表示上述电路中到时刻t为止通过导体截面的电荷函数,则0,0()1,0tq tt 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即0d()()()()limdtq tq ttq ti ttt 所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点的导数不存在、二、单位脉冲函数及其Fourier
7、变换如果我们形式地计算这个导数,则得00(0)(0)1(0)limlimttqtqitt 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示上述电路的电流强度、为了确定这种电路上的电流强度,必须引进一个新的函数,这个函数称为 Dirac函数,简单地记成d-函数、二、单位脉冲函数及其Fourier变换对于任何一个无穷可微的函数f(t),如果满足0()()dlim()()dt f ttt f tt 1,0()0,tt 其其他他()t 则称 的弱极限为d-函数,记为d(t).二、单位脉冲函数及其Fourier变换其其中中0()()lim()().tttt 即即或或0 弱弱表明d-函数可以看成一个普通
8、函数序列的弱极限.()t 二、单位脉冲函数及其Fourier变换01()dd1ttt d-函数的定义:()d1tt 任何 ，有0 工程上,常将d-函数称为单位脉冲函数.可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.二、单位脉冲函数及其Fourier变换1.d-函数的性质:证明:若为无穷次可微的函数,则有()()d(0)t f ttf 1筛选性质:0()()dlim()()dt f ttt f tt 000011lim()dlim()df ttf tt f t二、单位脉冲函数及其Fourier变换 由于 为无穷次可微的函数,则f(t)是连续函
9、数,由积分中值定理,有001()()dlim()dt f ttf tt 01 ()()d(0).t f ttf 因因此此()f t二、单位脉冲函数及其Fourier变换0lim()f 同理可得00()()d().ttf ttf t 2 d-函数的导数若 f(t)为无穷次可微的函数,则有()()d(0).t f ttf 同理可得 ()()d(1)(0).nnnt f ttf （）二、单位脉冲函数及其Fourier变换3 d-函数是偶函数:()()tt 证明:()()d()()d(0).t f ttff ()()d(0).t f ttf 又又()().tt 二、单位脉冲函数及其Fourier变换因
10、因此此4 d-函数是单位阶跃函数的导数:()d(),tu t 00()10tu tt ，其其中中，称为单位阶跃函数、5 时间尺度变换性质:1()().abtatbb 其中 为任意正数.二、单位脉冲函数及其Fourier变换()()u ttt d dd d,a b6 卷积性质7 乘以时间函数的性质21()()d().tttbatba ()()()()ttaata 其中 为任意常数.a()t 为在 处连续的任意函数.a二、单位脉冲函数及其Fourier变换1 的Fourier变换对2.d-函数的Fourier变换0()()()ede1tttFttt jjjjF-11()()1 ed2ttFt j
11、jF()()f tt 二、单位脉冲函数及其Fourier变换 可见,单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一个Fourier变换对.()1t 2 的Fourier变换对0()()f ttt 000()()()edettFttttt j jj jF二、单位脉冲函数及其Fourier变换即即 可见,与 构成了一个Fourier变换对.0()tt 0et j j00()ettt j j 0-101()eed2ttttFt j jj jF二、单位脉冲函数及其Fourier变换即即00()10tu tt ，证明单位阶跃函数的Fourier变换为1().j j 1()(),jF 若若1()()f tF F e
12、 e j11()d2jt 则e e e e jj11()dd22jtt 011sind2 t j11sin()dd22e e tt 0sind2 0,02sind0,0,02tttt 00,011sin()d21,0ttf tt 表明 的Fourier变换为1()j j0,0()()1,0tf tu tt 0()sinf tt 求正弦函数的Fourier变换.根据根据FourierFourier变换的公式变换的公式,有有 0()()esindtFf ttt F j j00eeed2tttt jjjjj jj j 001222j j 00 j j 001eed2ttt jjjjj j三、非周期函
13、数的频谱1.周期函数的频谱 对于以为周期的非正弦函数，它的第次谐波T Tftn2nnnT cossinsinnnnnnnnatbtAt的振幅为22nnnAabjjee,nnttnncc 其中2212nnnnccab 在复指数形式中，第次谐波njj,22nnnnnnababcc 且三、非周期函数的频谱T Tftn 0,1,2nnAcn 对于以为周期的非正弦函数，它的第次谐波的振幅为各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.频谱图的概念：频率和振幅的关系图.频谱的图形是不连续的，故称为离散频谱.表明了一个非正弦周期函数包含了哪些频率分量及各分量占的比重.三、非周期函数的频谱描述了离散频谱的性质：1),F
14、 nFn频谱图形关于直线对称.0 nn 2)相交频谱是的奇函数，即 三、非周期函数的频谱2非周期函数的频谱 非周期函数 ,当它满足Fourier积分定理中的条件时,则在 的连续点处可表示为 f x f x j1e d,2tf tF jedtFf tt 其中为它的Fourier变换.三、非周期函数的频谱 在频谱分析中,Fourier变换 称为 的频谱函数,而频谱函数的模 称为 的振幅频谱.F f t f t F 由于 是连续变化的,因此称为连续频谱.对一个时间函数作 Fourier变换,就是求这个时间函数的频谱函数.三、非周期函数的频谱非周期函数信号的频谱性质：1).FF nn 2)是的奇函数，
15、即 3)F 随 的增大而减小.三、非周期函数的频谱作图中所示单个矩形脉冲的频谱图.根据上面的讨论根据上面的讨论,单个矩单个矩形脉冲的形脉冲的频谱函数为频谱函数为 -jedtFf tt j22edtEt 2sin2E 再根据振幅再根据振幅频谱频谱 sin22FE 作出作出频谱图频谱图00()0ttf tt ，e e作指数衰减函数 的频谱图.由由 jedtFf tt 得得 1jF 因此因此 221F F 1 o t f t作出作出频谱图频谱图:o()td d作单位脉冲函数 的频谱图.jed1tFtt o1t f t F o F o f tot本节学习了接下来学习 Fourier变换的定义,单位脉冲函数的Fourier变换及非周期函数的频谱、四、小结 Fourier变换的性质、Fourier变换的定义是什么?存在条件是什么?思考复习四、小结
