1、 试验具有以下特点试验具有以下特点 1.1.重复性：可在相同条件下重复进行；重复性：可在相同条件下重复进行； 2.2.预知性：试验可能结果不止一个预知性：试验可能结果不止一个, ,但能确定所有的可能结果；但能确定所有的可能结果； 3.3.随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 称为随机试验，可表为称为随机试验，可表为E.E. 一、随机试验一、随机试验 1.1 随随 机机 事事 件件 随机试验的例子随机试验的例子 E E1 1: : 掷一枚骰子掷一枚骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数. . E E2 2: : 连续抛一枚硬币三次连续抛
2、一枚硬币三次, ,观察出现正面和反面的情况观察出现正面和反面的情况. . E E3 3: : 在一批产品中随机抽取一件产品在一批产品中随机抽取一件产品, ,观察其等级观察其等级. . E E4 4: : 记录某电话总机一小时内接到的呼叫次数记录某电话总机一小时内接到的呼叫次数. . E E5 5: : 观察并记录某地每天中午观察并记录某地每天中午1212点的气温点的气温. . 二、样本空间和随机事件二、样本空间和随机事件 2 2、样本空间：所有样本点所组成的集合称为样本空间，、样本空间：所有样本点所组成的集合称为样本空间， 1.我们把随机试验的每一个可能的基本结果称为一个样本点，我们把随机试验
3、的每一个可能的基本结果称为一个样本点， 记作记作 。 记为记为 . 1 1= = 1 1, , 2 2, , 3 3, , 4 4, , 5 5, , 6 6, ,这里这里 i i表示表示“出现出现i i点点”, ,i=1,2,1,2,6.,6. 也可简记为也可简记为 1 1=1,2,3,4,5,6.=1,2,3,4,5,6. 2 2=(=(正正, ,正正, ,正正),(),(正正, ,正正, ,反反),(),(正正, ,反反, ,正正),(),(反反, ,正正, ,正正),(),(正正, ,反反, , 反反),(),(反反, ,正正, ,反反),(),(反反, ,反反, ,正正),(),(反
4、反, ,反反, ,反反).). 3 3= 0 0, , 1 1, , 2 2, , 3 3, , 其中假设这批产品中有一、二、三等其中假设这批产品中有一、二、三等 品和等外品品和等外品, ,从中任取一件观察其等级从中任取一件观察其等级, ,记记 i= =取得取得i等品等品” ( (i=1,2,3),=1,2,3), 0 0= =取得等外品取得等外品”. . 前面前面5个随机试验对应的样本空间分别可表示为：个随机试验对应的样本空间分别可表示为： 5 5= |25|25 35,35,其中假设该地每天中午其中假设该地每天中午1212点的气温介点的气温介 于于25253535. . 4 4= 0 0,
5、 , 1 1, , 2 2, , , ,这里这里 i i表示表示“一小时内接到的呼叫次数一小时内接到的呼叫次数 为为i次次”, ,i=1,2,=1,2,. .也可简记为也可简记为 4 4=0,1,2,=0,1,2,. . 有离散样本空间与连续样本空间有离散样本空间与连续样本空间 随机试验随机试验E的的样本空间样本空间 的子集，称为的子集，称为随机事件，简随机事件，简 称事件。称事件。通常用通常用A,B,C等表示事件。等表示事件。 必然事件必然事件: 就是随机试验中必然会发生的事件就是随机试验中必然会发生的事件, 也记为也记为 . 不可能事件：不可能事件：就是随机试验中肯定不发生的事件，就是随机
6、试验中肯定不发生的事件， . 也记为也记为 按此定义，事件都是样本点构成的集合。按此定义，事件都是样本点构成的集合。 是试验的所有样本点构成的集合。是试验的所有样本点构成的集合。 不可能事件是空集，不含有任何样本点。不可能事件是空集，不含有任何样本点。 三、三、 事件的关系与运算事件的关系与运算 (1) 包含关系包含关系 若事件若事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生,则称事件则称事件B包含事件包含事件A; 或 ABBA 或称或称A是是B的子事件的子事件, 记作记作 (2) 等价关系等价关系 ,且 ABBA 则称事件则称事件B与事件与事件A相等，记作相等，记作A=B (3) 和事件和
7、事件(并事件并事件) 事件“事件“A与与B至少有一个发生”至少有一个发生”,称为事件称为事件 A与事件与事件B的和事件的和事件(或并事件或并事件), 记作记作 AB 若若 1212 1 .,.称 为 个事件 的和事件, n inn i AAAAnA AA (4) 积事件积事件(交事件交事件) 事件“事件“A与与B同时发生”同时发生”, 称为事件称为事件A 与事件与事件B的积事件的积事件(或交事件或交事件), 记作记作 ABAB或 表示表示n n个事件中至少有一个发生。个事件中至少有一个发生。 1212 1 .,.称 为 个事件 的积事件, n inn i AAAAnA AA (5) 差事件差事
8、件 事件“事件“A发生而发生而B不发生”不发生”, 称为事件称为事件A与事件与事件B 的差的差 事件事件,记作记作AB. 表示表示n n个事件同时发生个事件同时发生. . AB由属于由属于A而不属于而不属于B的样本点构成。的样本点构成。 (6) 互斥关系互斥关系 称为事件称为事件A A与事件与事件B B互不相容或互斥互不相容或互斥。 事件事件A A 和事件和事件B B 不能同时发生不能同时发生, ,即即 AB 设设n个事件个事件 12 ,., n A AA 满足满足 ,1,2,., ,且 ij AAiji jn 则称事件则称事件 12 ,., n A AA 两两互不相容。两两互不相容。 (7)
9、 (7) 对立关系对立关系 事件事件A A 和事件和事件B B 有且仅有一个发生，即有且仅有一个发生，即 且ABAB 则称事件则称事件A A与事件与事件B B互为逆事件（或对立事件）。互为逆事件（或对立事件）。 对于对立事件，显然有对于对立事件，显然有 AAAAAA AA ， A的对立事件记作的对立事件记作 A 事件的运算规律事件的运算规律 ABBA ABBA， 1.1.交换律交换律 ABCABC （）（）， 2.2.结合律结合律 ABCABC （）（）。 ABCACBC （）（）（）， 3.3.分配律分配律 ABCACBC （）（）（）， ABABABAB， 4.De morgen4.De
10、morgen律律 kkkk kkkk AAAA， 例例1 1 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹, ,以以A A、B B 、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A A、B B、C C的的 运算关系表示下列事件：运算关系表示下列事件： 1 2 3 4 5 6 : : : : : : A A A A A A “标标” “标标” “两两标标” “标标” “标标” “标标” 至少有一人命中目 恰有一人命中目 恰有人命中目 最多有一人命中目 三人均命中目 三人均未命中目 CBA CBACBACBA CBABCACAB BACACB AB
11、C CBA 一、一、 概率的古典定义概率的古典定义 具有下列两个特点的一类随机试验称为古典概型（等可能概具有下列两个特点的一类随机试验称为古典概型（等可能概 型）；型）； （1）样本空间的样本点个数只有有限个）样本空间的样本点个数只有有限个-（有限性）（有限性） （2）每个样本点在试验中出现的可能性相等）每个样本点在试验中出现的可能性相等-（等可能性）（等可能性） 1.2 概率公理化定义的形成概率公理化定义的形成 在古典概型中在古典概型中，设样本空间设样本空间 包含有包含有n个样本点个样本点，A A是是 一个随机事件一个随机事件，且且A A中含有中含有nA A个样本点个样本点，则事件则事件A
12、A发生的发生的 概率为概率为 ( ) A nA P A n = W 事事件件 包包含含的的样样本本点点数数 样样本本空空间间包包含含的的样样本本点点总总数数 1.抽球问题抽球问题 例例1 箱中有箱中有3个红球个红球5个白球个白球. (1) 不放回不放回; (2) 有放回有放回(每次一个每次一个,看后放回看后放回,再取下一次再取下一次)连续取连续取3个球个球. 分别求两种取球方式下分别求两种取球方式下,取到一个红球两个白球的概率取到一个红球两个白球的概率. 解解 设设A表示事件”取到一个红球两个白球”表示事件”取到一个红球两个白球”. (1) 样本空间的样本点总数为样本空间的样本点总数为: 3
13、8 8 7 6n A 事件事件A包含的样本点数为包含的样本点数为: 112 353 3 3 5 4 A n CA A 故事件故事件A的概率为的概率为: 15 ( ) 28 A n P A n (2) 样本空间的样本点总数为样本空间的样本点总数为: 3 8n 事件事件A包含的样本点数为包含的样本点数为: 1 2 3 3 5 A n C 事件事件A的概率为的概率为: 225 ( ) 512 A n P A n k()N Nk 例例2 （盒子模型）（盒子模型）将 个小球随机地放入个小球随机地放入 个盒子中，假定每个盒子可放的球数不限，且设每个个盒子中，假定每个盒子可放的球数不限，且设每个 球都以等概
14、率放入任一盒子中。（通常称此问题为分球都以等概率放入任一盒子中。（通常称此问题为分 房模型）现记房模型）现记 A：表示在指：表示在指 定的定的 k个盒子中各放入个盒子中各放入1个小球；个小球； B：表示：表示 k个球恰放入个球恰放入 k个不同的盒子；个不同的盒子； C：表示在某一指：表示在某一指 定的盒子中恰放入定的盒子中恰放入m个小球；个小球； 试分别求事件试分别求事件A，B，C的概率。的概率。 2 2、分球入盒（分房）问题、分球入盒（分房）问题 ! ( ) A k nk P A nN 解解 易得易得 ! ( ) kk NNB kk CkAn P B nNN (1) ( ) mk m ck
15、k nCN P C nN 例例3 3 将将3 3个球随机地放入个球随机地放入3 3个盒子中去，问：个盒子中去，问： （1 1）每盒恰有一球的概率是多少？）每盒恰有一球的概率是多少？ （2 2）空一盒的概率是多少？）空一盒的概率是多少？ 解解 设设A A= =“每盒恰有一球每盒恰有一球”, ,B B= =“空一盒空一盒” 3 3n= 3! A n = 2 ( ) 9 P A = 又又 12 33 2! B nCC=鬃 2 ( ) 3 B n P B n = 某班级有某班级有n 个人个人( (n 365)365)，问至少有两个人的生日在同一天的概，问至少有两个人的生日在同一天的概 率有多大？恰有两
16、人出生在率有多大？恰有两人出生在1212月份的概率又是多大月份的概率又是多大? ? 解解 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一 周的任意一天去接待是等可能的，则周的任意一天去接待是等可能的，则12次接待来访者都次接待来访者都 在周二、周四的概率为在周二、周四的概率为 例例4 4 某接待站在某一周某接待站在某一周(7(7天天) )曾接待过曾接待过1212次来访，已知次来访，已知 所有这所有这1212次接待都在周二和周四进行的。问是否可以推断次接待都在周二和周四进行的。问是否可以推断 接待时间是有规定的？接待时间是有规定的？ 12 12 2 0.
17、0000003 7 p 即千万分之三。由实际推断原理即千万分之三。由实际推断原理概率很小的事件在一次试验中实际上概率很小的事件在一次试验中实际上 几乎是不发生的，而现在概率很小（只有千万分之三的事件在一次试验中竟几乎是不发生的，而现在概率很小（只有千万分之三的事件在一次试验中竟 然发生了，由此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待然发生了，由此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待 来访者，即认为其接待时间是有规定的。来访者，即认为其接待时间是有规定的。 一般地一般地, ,若一个试验满足若一个试验满足: : (1) (1) 试验的样本空间试验的样本空间 是直线上某个
18、有限区间是直线上某个有限区间, ,或者是平面、空间上的某个或者是平面、空间上的某个 度量有限的区域度量有限的区域, ,即即 含有无限含有无限( (不可列不可列) )个样本点个样本点; ; (2) (2) 每个样本点的发生具有等可能性每个样本点的发生具有等可能性. . 则称该试验为几何概型则称该试验为几何概型. 二、概率的几何定义二、概率的几何定义 在几何概型中，设区域在几何概型中，设区域 A A为样本空间为样本空间 上的子区域上的子区域, , 则随机点则随机点M M 落入子落入子区域区域A的概率为的概率为 ( ) ( ) () m A P A m 其中其中m()()及及m(A)(A)表示区域表
19、示区域 及及A A的长度、面积或体积的长度、面积或体积. . 例例5 5 两人相约于早晨两人相约于早晨8 8时至时至9 9时之间在某地会面时之间在某地会面, , 并约定先到者等候另一人并约定先到者等候另一人3030分钟后就可离开分钟后就可离开. .试求两试求两 人能会面的概率人能会面的概率. . 解解 设设x,y分别表示两人到达某地的时刻分别表示两人到达某地的时刻( (单位单位: :分分), ),由于两人在由于两人在8 8时至时至9 9时时 之间到达是随机的之间到达是随机的, ,故故x,y分别等可能地在分别等可能地在0,600,60上取值上取值, ,点点( (x,y) )就是图中平面就是图中平
20、面 区域区域 =(=(x,y)|0|0 x60,060,0y6060 上等可能的随机点上等可能的随机点, ,设设D D =两人能够会面两人能够会面, ,依题意依题意, ,事件事件 D D 发生的充要条件是发生的充要条件是| |xy|30,|30,即事件点落在区域即事件点落在区域 30 60 60 30 O D x y 图1.7 2 ()27003 () ()460 m D P D m 由几何概率的定义由几何概率的定义, , 有有 DD=(=(x,y)| |)| |xy|30 |30 上上, ,而而 的面积的面积m( ( )=60)=602 2; ; D D 的面积的面积m( (D D)=60)
21、=602 2 (60(60 30)30)2 2=2700. =2700. ()l la 例例6 (Buffon投针问题投针问题) 平面上画有等距离的平行线平面上画有等距离的平行线, 平行线的距平行线的距 , 向平面投掷一枚长为向平面投掷一枚长为 的针的针, 试求针与平行线相试求针与平行线相 (0)a a 交的概率。交的概率。 离离 图1.3 图1.4 x 解解 如图，如图， x l x 表示针的中点与最近一条平行线的距离表示针的中点与最近一条平行线的距离, 表示针与直线间的夹角表示针与直线间的夹角,则随机试验的样本空间为则随机试验的样本空间为 ： ( , )|0, 0 2 a xx 用用 A
22、表示事件“表示事件“针与平行线相交针与平行线相交”, 则则 ( , )|0sin 2 l Axx 0 sin 2 2 ( ) 2 A l d Ml P A a Ma 于是，有于是，有 三、概率的统计定义三、概率的统计定义 先引入频率的概念先引入频率的概念. 定义定义 在在n次重复试验中次重复试验中, ,若事件若事件A A发生了发生了 nA A次次, ,则称则称nA A为事件为事件A A发生的频数发生的频数, ,称称 为事件为事件 A A 发生的频率发生的频率 A n n () A n n fA n 记：为 频率的性质频率的性质 (1) (1) 0 fn(A) 1； (2) (2) fn()1，
23、 fn( )=0； (3) (3) 可加性：若可加性：若ABAB ，则，则 fn(AB) fn(A) fn(B). 实践证明：随着试验次数实践证明：随着试验次数n增大时，事件发生的频率增大时，事件发生的频率 fn(A) 逐渐趋向一个稳逐渐趋向一个稳 定值。将此稳定值记作定值。将此稳定值记作P(A)，作为事件，作为事件A A发生的概率发生的概率.(我们将此作为概率的统计我们将此作为概率的统计 定义定义) 四四、 概率的公理化定义概率的公理化定义 概率的统计定义概率的统计定义提供了一种估计概率的方法提供了一种估计概率的方法,便于实际应用便于实际应用, 当当n充分大时可以充分大时可以 取频率作为概率
24、的估计值取频率作为概率的估计值.但它的局限性就是要做大量的试验但它的局限性就是要做大量的试验,费工费时费工费时.苏联数学苏联数学 家家A.H.柯尔莫哥洛夫在柯尔莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化结构年提出了概率的公理化结构,使概率论成为严谨的数学使概率论成为严谨的数学 分支分支,对概率论的发展起了很大的作用对概率论的发展起了很大的作用. 定义定义 若对随机试验若对随机试验E E 所对应的样本空间所对应的样本空间 中的每一事件中的每一事件A A，均赋予一实数，均赋予一实数P P( (A A) )， 如果如果P P( (A A) )满足如下三个条件：满足如下三个条件： (1) (1) 非负性：
25、非负性： P( (A A) ) 00； (2) (2) 规范性：规范性：P( ( ) )1 1； (3) (3) 可列可加性：设可列可加性：设A A1 1，A A2 2，是一列两两互不相容的事件，即是一列两两互不相容的事件，即A Ai iA Aj j ， ( (i j), ), i , , j j1, 2, 1, 2, , , 有有 P( ( A A1 1A A2 2 ) ) P( (A A1 1) ) P P( (A A2 2)+)+ 则称则称P P( (A A) )为事件为事件A A 的概率的概率。 1.3 概率的性质概率的性质 性质性质 1 1 不可能事件不可能事件 的概率为零的概率为零
26、, , 即即 P P( ( )=0. )=0. 证明证明 因为因为 = 所以所以 P()= P( )+ +P P ( ( )+)+P P( ( )+)+P P( ( )+)+ 又其中又其中 P()=1，故可得，故可得 P P ( ( )+)+P P( ( )+)+P P( ( )+)+ = 0 于是有于是有 P P ( ( )=0. )=0. P()=P( ) 而右侧而右侧 与与 及及 与与 均两两互斥（互不相容），故有均两两互斥（互不相容），故有 性质性质 2 2 (有限有限可加性可加性) 设设A A1 1, ,A A2 2, ,A An 是是n个两两互斥个两两互斥 的事件的事件, ,即即A
27、 AiA Aj ,( ,(i j), , i , j1, 2, 1, 2, , , n , ,则有则有 P( A1A2An) P(A1) P(A2)+ +P(An). 特别地，当两个事件特别地，当两个事件 互斥时，有互斥时，有 AB与 ()( )( )P ABP AP B A1A2An A1A2An 证明证明 因为因为 所以所以 P(A1A2An ) P(A1A2An ) 故由可列可加性及故由可列可加性及P P ( ( )=0)=0，可得，可得 P( A1A2An) P(A1) P(A2)+ +P(An). 性质性质 3 (3 (减法公式减法公式) 对任意二事件对任意二事件 有有 AB与 ，
28、()( )()P A BP AP AB- 证明证明 因为因为 =()AABAB 而其中而其中 所以由可加性可得所以由可加性可得 ()ABAB与互斥， ( )= ()()P AP ABP AB 于是有于是有 ()( )()P A BP AP AB- BA 性质性质 4 4（单调性）（单调性）当当 时，有时，有 ( )( )P BP A 性质性质 5 (互补性互补性） ( )1( )P AP A 性质性质6 6 (加法公式加法公式 ) 对于任意两事件对于任意两事件A A、B B，有，有 ()( )( )()P ABP AP BP AB 例例1 1 证明证明:对于任意三个事件对于任意三个事件A A、
29、B B、C C，有，有 ()( )( )P ABCP AP BP C（ ） P ABP ACP BCP ABC（） （） （） （） 证证 由事件运算的结合律及概率的性质由事件运算的结合律及概率的性质6，有，有 （ ） （ ） （ ） （） （） （） （） P AP BP CP ABP AC P BCP ABC ()P ABC P ABC（） P AP BCP A BC（ ） （）（） P AP BP CP BCP ABAC（ ） （ ） （ ）-（） （） P AP BP CP BCP ABP AC P ABAC （ ） （ ） （ ）-（） （）+（）- （） 一般地，对于任意一般地，对
30、于任意n个事件个事件 12 ，. n AAA 可以用归纳法证得可以用归纳法证得 12 () n P AAA . 1 12 1 ().( 1)(.) n ijkn ij k n P A A AP A AA 11 ()() n kkj kkj n P AP A A 例例2 2 某市有甲某市有甲, ,乙乙, ,丙三种报纸丙三种报纸, ,订每种报纸的人数分别占全订每种报纸的人数分别占全 体市民人数的体市民人数的3030%, ,其中有其中有1010%的人同时定甲的人同时定甲, ,乙两种报纸乙两种报纸. .没有没有 人同时订甲丙或乙丙报纸人同时订甲丙或乙丙报纸. .求从该市任选一人求从该市任选一人, ,他
31、至少订有一种他至少订有一种 报纸的概率报纸的概率. . )()()()( )()()( ABCPBCPACPABP CPBPAP 解解 设设A A, ,B B, ,C C 分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲, ,乙乙, ,丙报纸，则所求为丙报纸，则所求为 )(CBAP %80000%103%30 例例3 从从 1, 2, , 9中可重复地取中可重复地取n个数，求取出的个数，求取出的n个数个数 的乘积能被的乘积能被10整除的概率。整除的概率。 解解 因为“乘积能被因为“乘积能被10整除”整除” 意味着：“意味着：“n次抽取中，次抽取中，5被被 取到过且偶数被取到过”取到过且偶数被取到过
32、”. 设设 A=“n个数的乘积能被个数的乘积能被10整除”，整除”， 则则 854 ( )1( )1 999 nnn nnn P AP A A =“n个数的乘积不能被个数的乘积不能被10整除”，由性质整除”，由性质5有有 例例4 已知两个事件已知两个事件A,B满足条件满足条件 ()()P ABP A B 且且P(A)=p, 求求 P(B). 解解 ()(), P ABP A B由可得 ()()1() =1( )( )() ( )( )1 P ABP ABP AB P AP BP AB P AP B ( ), ( )1.P ApP Bp 又故 解解 设设Ai 表示事件“第表示事件“第i号球投入第
33、号球投入第i号盒子”号盒子” （i=1,2,n） 则所求概率为则所求概率为 1 () . n i i PA 根据概率的加法公式根据概率的加法公式，有有 例例5 (配对问题）配对问题） 将将n个同样的盒子和个同样的盒子和n只同样的小只同样的小 球分别编号为球分别编号为1，2，.，n. 把这把这n只小球随机地投入只小球随机地投入 n个盒子中，每个盒子中只能投入一只小球个盒子中，每个盒子中只能投入一只小球. 求至少有求至少有 一只小球的编号与盒子的编号相同的概率一只小球的编号与盒子的编号相同的概率. 111 1 12 1 ()()() ()( 1)() nn iiij iijni n ijkn ij
34、 k n PAP AP A A P A A AP A AA 1 (1)!1 (),()1, ! n ii i n P AP A nn 其中其中 , ) 1( 1 ! )!2( )(ji nnn n AAP ji 2 1 11 (); (1)2! ij n ij n P A A n n C , ! )!3( )(kji n n AAAP kji 3 1 (3)!1 (); !3! ijk n ij k n n P A A A n C 12 1 , (). ! n P A AA n 1 1 111 ()1( 1 2!3! n n i i PA n ）故 一、一、 条件概率的概念条件概率的概念 引例
35、引例 某厂有职工某厂有职工500500人，男职工人，男职工300300人、女职工人、女职工200200人，人， 男女职工中非熟练工人分别有男女职工中非熟练工人分别有4040人和人和1010人。现从该工厂任人。现从该工厂任 意选出一名职工，问：意选出一名职工，问： 解解 设设A=A=选到非熟练工人选到非熟练工人 ， 501 (1) ( ) 50010 P A 101 (2) (|) 20020 P A B 1.4 条条 件件 概概 率率 （1 1）该职工为非熟练工人的概率是多少？）该职工为非熟练工人的概率是多少？ （2 2）若已知选出的是女职工，她是非熟练工人的概率为？）若已知选出的是女职工，她
36、是非熟练工人的概率为？ B=B=选到女职工选到女职工 为事件为事件B 发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的发生的条件概率条件概率. . 定义定义 设设A、B是是 中的两个中的两个随机事件随机事件, , P(B)0, ,称称 () (|) ( ) P AB P A B P B 1010 500() (|) 200200 500() P AB P A B P B 对于一般的古典概型问题，设样本点总数为对于一般的古典概型问题，设样本点总数为n, ,事件事件B B 包含包含m个样本点，事件个样本点，事件ABAB包含包含k个样本点，则有个样本点，则有 () (|) ( ) kk nP AB P A
37、B mm nP B 条件概率条件概率 符合概率定义中的三个条件：符合概率定义中的三个条件： (|)P A B (2) (|)1PB 1212 (.)|)(|)(|).PAABP ABP AB 因而概率的其它性质也适用于条件概率，如因而概率的其它性质也适用于条件概率，如 121212 (|)(|)(|)(|)P AABP ABP ABP A AB 12 ,.A A （3 3）设）设 是两两互不相容的事件，则有是两两互不相容的事件，则有 (|)0P A B （1 1）对任一事件）对任一事件A A，有，有 (|)1(|)P A BP A B 例例1 已知已知 ( )0.3, ( )0.4, ()0.
38、5P AP BP AB求求 (|).P B AB 解解 由条件概率的定义，有由条件概率的定义，有 () (|) () P AB P B AB P AB 其中其中 ()( )( )()0.70.60.50.8P ABP AP BP AB 又由又由 ()( )()0.5P ABP AP AB 可得可得 ()( )0.50.70.50.2P ABP A 于是于是 ()0.2 (|)0.25 0.8() P AB P B AB P AB (),(),(),()()P B AP B AP A BP A BP AB以及 6624 (), () 7030 P B AP B A 664 (), () 9010
39、 P A BP A B 66 () 100 P AB 例例2 一批产品一批产品100件，有正品件，有正品90件，次品件，次品10件。其中甲车间生件。其中甲车间生 产的为产的为70件，有件，有66件正品；乙车间生产的为件正品；乙车间生产的为30件。现从该批产品件。现从该批产品 中任取一件，并设中任取一件，并设A表示“取到甲车间的产品”，表示“取到甲车间的产品”，B表示“取到正品”。表示“取到正品”。 求求 解解 此例虽然简单此例虽然简单,但却可以帮助我们理解条件概率的概念。初学者但却可以帮助我们理解条件概率的概念。初学者 往往容易把往往容易把 样本空间不一样，读者可通过本例进一步体会二者的不同。
40、样本空间不一样，读者可通过本例进一步体会二者的不同。 ()()P A BP AB与混淆起来，两者的区别在于混淆起来，两者的区别在于所讨论的所讨论的 凡涉及事件凡涉及事件A A与与B B“同时”发生“同时”发生, ,用用P(AB); );有有“包含包含” 或或 “主从主从”条件关系的用条件关系的用P(A|B). ). ().P B A () () ( ) P AB P B A P A , BAABB所以 ( )0.255 () 1 0.4511( ) P B P B A P A 例例3 设甲、乙两个车间的产品分别占全厂总产品的设甲、乙两个车间的产品分别占全厂总产品的45%和和25%. 现从工厂全
41、部产品中任意抽取一件，结果发现它不是甲车间现从工厂全部产品中任意抽取一件，结果发现它不是甲车间 生产的，求其为乙车间生产的概率。生产的，求其为乙车间生产的概率。 由定义，有由定义，有 又因又因 ，于是，于是 解解 设设A表示“抽到甲车间的产品”，表示“抽到甲车间的产品”，B表示“抽到乙车间的产品”。表示“抽到乙车间的产品”。 由题设，有由题设，有 P(A)=0.45, P(B)=0.25 而所求概率为条件概率而所求概率为条件概率 二、二、 乘法公式乘法公式 设设A A、B B是两个事件。是两个事件。 若若P P（B B）0,0,则由条件概率公式则由条件概率公式 () (|), ( ) P AB
42、 P A B P B ()( ) (|) (1)P ABP B P A B 可得可得 又若又若P P（A A）0,0,则由条件概率公式则由条件概率公式 () (|), ( ) P AB P B A P A 可得可得 ()( ) (|) (2)P ABP A P B A 公式（公式（1 1）和（）和（2 2）称为乘法公式）称为乘法公式。 乘法公式的推广乘法公式的推广： (1)()0,()(|)(|)若则（ ）P ABP ABCP A P B AP C AB 12121 (2),2,()0,设有 个事件 ， ，.且.则 nn nAAA nP A AA 12121312121 ()|.（ ）（）（）
43、.（.） nnn P A AAP AP AAP AA AP AA AA 例例4 4 袋中有袋中有a a只红球和只红球和b b只白球。从中任取只白球。从中任取1 1球随即球随即 放回并同时放进与取出的球同色的球放回并同时放进与取出的球同色的球c c个，再做第二次个，再做第二次 抽取，如此重复抽取，如此重复3 3次。求取出的次。求取出的3 3只球中前只球中前2 2只是白球只是白球 而后一只是红球的概率。而后一只是红球的概率。 123121312 ()() (|) (|) = 2 P A A AP A P AA P AA A bbca ab abc abc 解解 设设 (1,2,3) i A i 表
44、示“第表示“第i次取到白球”，则由次取到白球”，则由 乘法公式，可得乘法公式，可得 例例5 某人写好某人写好5封信和封信和5个信封个信封.现随机地把信装入信现随机地把信装入信 封封.求恰有一封信装对的概率求恰有一封信装对的概率. 解解 设设A i 表示“第表示“第i封信装对”封信装对” （i=1,2,3,4,5） 又设又设A表示恰好装对一封信表示恰好装对一封信,则有则有 12345 ( )5 ()P AP AAAAA 123451 =5 () (P A P AAAA A） 4!1113 =511 5!2!3!4!8 例例6 已知某工厂生产的产品的合格率为已知某工厂生产的产品的合格率为0.96，
45、而合格品中的，而合格品中的 一级品率为一级品率为0.75.求该厂产品的一级品率。求该厂产品的一级品率。 解解 设设A表示“产品是一级品”，表示“产品是一级品”，B表示“产品是合格品”，依表示“产品是合格品”，依 题设题设 ,ABAAB又因，故有于是:( )0.96, ()0.75.P BP A B ( )()( )()0.96 0.750.72P AP ABP BP A B 三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式 定义定义 设设 为试验为试验E的样本空间的样本空间, 为为E的一组的一组 事件事件,若若 12 .， ， n AAA 12 .， ， n AAA （1 1） 两两互不相容，即两两互不相容，即 , ,1,2,. ij A Aij i jn 12 ( ) .2. n AAA 12 .， ， n AAA 则称则称 为为 的一个分割的一个分割. A1 A2 An n B 定理定理 设设 为试验为试验E的样本空间，的样本空间， 为为 的的 12n AAA， ，. 一个分割一个分割,且且 ()0 (1,2,. ), i P Ain 则对则对E的任一事件的任一事件B有有 1122 ( )|（ ）（）
