1、3.1 3.1 列代数式表示数量关系列代数式表示数量关系第三章第三章 代数式代数式知识点知识点代数式代数式知知1 1讲讲11.用用字母表示数：用字母或含有字母的式子表示数和数量字母表示数：用字母或含有字母的式子表示数和数量关系关系.在在用字母表示数中，字母和数一样可以参与运算，可以用字母表示数中，字母和数一样可以参与运算，可以用式子用式子把数量关系简明地表示出来把数量关系简明地表示出来.知知1 1讲讲2.代数式代数式用运算符号把数或表示数的字母连接起来的用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子式子，我，我们称这样的式子为代数式；单独的一们称这样的式子为代数式；单独的一个数或个数或字母也是字母
2、也是代数式代数式.知知1 1讲讲3.代数式的书写规定代数式的书写规定类型类型书写规定书写规定示例示例乘乘法法运运算算字母与字母相乘字母与字母相乘或数与字母相乘或数与字母相乘通常将乘号写通常将乘号写作作“”或省略或省略不写不写mn 写成写成m.n 或或mn；2n 写成写成2n 或或2n数是数是1 或或1“1”省略不写省略不写1a 写成写成a；1a 写成写成a数是带分数数是带分数带分数化为假带分数化为假分数分数类型类型书写规定书写规定示例示例除法运算除法运算用分数线用分数线式子后面有单位且式式子后面有单位且式子是和或差的形式子是和或差的形式式子要用括号式子要用括号括起来括起来(2ab)km知知1
3、1讲讲特别解读特别解读1.用用字母可以表示字母可以表示任意数任意数或式子或式子.用字母用字母表示表示数后，数后，同一个式子同一个式子可以可以表示不同的含义表示不同的含义.2.这里的运算包括加、减这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、乘、除、乘方以及以后以及以后要学习的开方要学习的开方.3.代数式代数式中不含有中不含有表示相等表示相等或不相等关系或不相等关系的符号的符号，如如“：()”“()”“”或或“”.知知1 1练练例 1解题秘方解题秘方：含有表示相等或不相等关系的符号的式含有表示相等或不相等关系的符号的式子子不是代数式不是代数式，依此判断，依此判断.6知知1 1练练知知1 1练练期末期末重庆
4、沙坪坝区重庆沙坪坝区 代数式代数式xy2 表示的意义表示的意义为为()A.x 与与y 的差的平方的差的平方B.x 与与y 的平方的差的平方的差C.x 的平方与的平方与y 的平方的差的平方的差D.x 与与y 的相反数的平方差的相反数的平方差例 2解题秘方解题秘方：先先分清代数式的运算顺序，然后用规范分清代数式的运算顺序，然后用规范的的语言叙述语言叙述.解：解：代数式代数式xy2 表示的意义为表示的意义为x 与与y 的平方的差的平方的差.答案：答案：B知知1 1练练B知知2 2讲讲知识点知识点列代数式列代数式21.定义定义把数学问题或实际问题中的数量关系用含有数、字母和把数学问题或实际问题中的数量
5、关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，叫作列代数式运算符号的式子表示出来，叫作列代数式.知知2 2讲讲2.列代数式的注意事项列代数式的注意事项(1)认真认真审题，将问题中表示数量关系的常用词语正确审题，将问题中表示数量关系的常用词语正确地转地转换换为对应运算；为对应运算；(2)注意注意题目的语言题目的语言叙述叙述所所表示的运算顺序，一般表示的运算顺序，一般“先先读先读先算算”；(3)在在较为复杂问题中，要正确使用各类括号，以使较为复杂问题中，要正确使用各类括号，以使运算顺运算顺序序符合要求符合要求.和、差、积、商、增加、减少、和、差、积、商、增加、减少、扩大、缩小、倍、除以扩大、缩小、倍
6、、除以知知2 2讲讲特别提醒特别提醒同一问题中，同一问题中，相同的相同的字母必须表示相同字母必须表示相同的量的量，不同，不同的量必须用的量必须用不同的不同的字母表示字母表示.知知2 2讲讲知识链接知识链接解决实际问题常用的解决实际问题常用的数量数量关系：关系：1.路程路程=速度速度时间；时间；2.工作总量工作总量=工作效率工作效率工作时间工作时间；3.利润利润=实际实际售价进价售价进价(或成本或成本)；4.总积分总积分=胜场胜场积分平场积分负积分平场积分负场积分场积分.知知2 2练练用代数式表示：用代数式表示：(1)某某辆汽车每一百千米消耗汽油辆汽车每一百千米消耗汽油t L，这辆汽车平均，这辆
7、汽车平均每每千米千米消耗的汽油消耗的汽油为为_L；例 3解题秘方解题秘方：认真审题，分清数量关系，并用字母认真审题，分清数量关系，并用字母正确表示出来正确表示出来.知知2 2练练(2)在在一场篮球比赛中，某运动员共投中一场篮球比赛中，某运动员共投中a 个个2 分球，分球，b 个个3 分球，还通过罚球得到分球，还通过罚球得到9 分，在这场比赛中这名运动员分，在这场比赛中这名运动员的的总得分为总得分为_分分；解题秘方解题秘方：认真审题，分清数量关系，并用字母正确认真审题，分清数量关系，并用字母正确表示出来表示出来.解：解：投中投中2 分球、分球、3 分球的得分和罚球得分的和为总得分球的得分和罚球得
8、分的和为总得分分，所以，所以总得总得分为分为(2a3b9)分分；(2a3b9)知知2 2练练(3)如如图图3.1-1，从一张长方形铁皮中剪去一个小正方形，长，从一张长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为方形的长为2a m，宽为，宽为b m，小正方形的边长为，小正方形的边长为a m，则剩余则剩余铁皮铁皮的面积的面积为为_m2；(2aba2)解题秘方解题秘方：认真审题，分清数量关系，并用字母正认真审题，分清数量关系，并用字母正确表示出来确表示出来.解：解：剩余铁皮的面积剩余铁皮的面积为为(2aba2)m2；知知2 2练练(4)为为落实落实“双减双减”政策，某校利用课后延时服务开展了政策，某校利
9、用课后延时服务开展了主主题题为为“书香满校园书香满校园”的读书活动该校需购买甲、乙两的读书活动该校需购买甲、乙两种读本共种读本共90本本供学生阅读，其中甲种读本的单价为供学生阅读，其中甲种读本的单价为15 元元/本，乙种读本本，乙种读本的单价的单价为为12 元元/本本.若购买甲种读本若购买甲种读本x 本，则购买乙种读本的本，则购买乙种读本的费用为费用为_元元.12(90 x)知知2 2练练解题秘方解题秘方：认真审题，分清数量关系，并用字母正认真审题，分清数量关系，并用字母正确表示出来确表示出来.解：解：购买乙种读本的费用购买乙种读本的费用=单价单价 数量，则购买乙数量，则购买乙种种读本读本的费
10、用为的费用为12(90 x)元元.知知2 2练练3-1.为调研大众的低为调研大众的低碳环保碳环保意识，小明在某意识，小明在某超市超市出口统计出口统计后发现后发现:一小时内一小时内使用自带环保使用自带环保袋的袋的人数比使用超市人数比使用超市塑料袋塑料袋人数的人数的2 倍少倍少4人人.若一小时内若一小时内使用超市使用超市塑料袋塑料袋的人数有的人数有x 人，则人，则一小时内一小时内使用自带环保使用自带环保袋的袋的人数人数有有()A.(2x4)人人B.(2x4)人人C.(4x2)人人D.(4x2)人人B知知3 3讲讲知识点知识点正、反比例关系正、反比例关系3前提条件前提条件书写规定书写规定示例示例正比
11、正比例关例关系系两个相两个相关联的关联的量量x和和y，一个量一个量变化，变化，另一个另一个量也随量也随着变化着变化两个量的比值一定，这两个量的比值一定，这两个量就叫作成正比例两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系的量，它们之间的关系叫作正比例关系叫作正比例关系反比反比例关例关系系两个量的乘积一定，这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系的量，它们之间的关系叫作反比例关系叫作反比例关系xy=k(k 是一个是一个确定的值，且确定的值，且k 0)知知3 3讲讲注意：对于同一个问题中的三个量，因为定量的不同，注意：对于同一个问题中的三个量，因为定量的不同，所
12、以另两所以另两个量的比例关系也不同个量的比例关系也不同.知知3 3讲讲特别提醒特别提醒1.不论正比例关系不论正比例关系还是反比例还是反比例关系，若关系，若比例系比例系数数为为0，则左边，则左边表示式表示式中，中，y 的值就为的值就为0，不再不再随随x的变化而变化的变化而变化.2.两个量成比例关系两个量成比例关系的必备的必备特征：特征：(1)一一个量变化，另个量变化，另一个一个量随着变化量随着变化；(2)两两个量的个量的比值比值(或乘积或乘积)是是一个非一个非零的零的定值定值.知知3 3练练判断下面各题中的两个量是否成正比例判断下面各题中的两个量是否成正比例关关系系或或反比例反比例关系，并说明理
13、由：关系，并说明理由：(1)长方形长方形的面积一定，长方形的长与宽；的面积一定，长方形的长与宽；(2)长方形长方形的宽一定，长方形的面积与长；的宽一定，长方形的面积与长；(3)小小明自驾从北京到上海，他开车的平均速度与所明自驾从北京到上海，他开车的平均速度与所用时间；用时间；(4)小小丽的妈妈在银行存入丽的妈妈在银行存入1000 元，存期元，存期3 年，到期年，到期后的后的本息本息和与年利率和与年利率.例 4知知3 3练练解题秘方解题秘方：根据两个关联量是否联动变化以及根据两个关联量是否联动变化以及比值比值(或乘积或乘积)是否是否一定进行判断一定进行判断.解解：(1)因为因为长方形的面积长方形
14、的面积=长长宽宽，所以当面积一定，所以当面积一定时时，长，长和宽的乘积一定，因此它们成反比例关系；和宽的乘积一定，因此它们成反比例关系；(2)因为因为长方形的面积长方形的面积=长长宽宽，所以面积，所以面积长长=宽，宽，当宽当宽一定时，面积与长的比值一定，因此它们成正一定时，面积与长的比值一定，因此它们成正比例关系；比例关系；(3)因为因为路程路程=平均速度平均速度所所用时间，所以当北京到用时间，所以当北京到上上海海的路程一定时，平均速度与所用时间的乘积一定，的路程一定时，平均速度与所用时间的乘积一定，因此因此它们它们成反比例关系；成反比例关系；(4)因为因为本息和本息和=本金本金本金本金年利率
15、年利率时间时间，即，即本息本息和和=10001000年利率年利率3，虽然本息和随年利率，虽然本息和随年利率变化变化而变化而变化，但是它们的比值和乘积都不是定值，但是它们的比值和乘积都不是定值，所以它们既所以它们既不成反比例不成反比例关系也不成正比例关系关系也不成正比例关系.知知3 3练练4-1.下列选项中，下列选项中，两个两个量成反比例关系量成反比例关系的是的是()A.苹果的单价一定，苹果的单价一定，购买购买的数量和总价的数量和总价B.看一本书，已看看一本书，已看页数和页数和未看页数未看页数C.三角形的面积一定三角形的面积一定，它，它的底和高的底和高D.长方形的周长一定长方形的周长一定，它，它
16、的长和宽的长和宽C列代数式表示数量关系列代数式表示数量关系代数代数式式数量数量关系关系正、正、反反比例比例列代数式列代数式意义意义期期中中长春榆树市长春榆树市 用代数式表示：用代数式表示：(1)m 的的3 倍与倍与n 的和；的和；(2)x 与与y 的倒数的的倒数的差差(y 0)；(3)a、b 两数和的平方减去它们差的平方两数和的平方减去它们差的平方题型题型列代数式表示代数运算列代数式表示代数运算1例 5思路思路引导：引导：特别提醒特别提醒1.要正确辨析体现要正确辨析体现运算的运算的关键词的意义关键词的意义.2.代数式的书写要规范代数式的书写要规范.3.列完代数式后，一般列完代数式后，一般需要需
17、要对照描述进行检验对照描述进行检验.母母题题 教材教材P72例例4 已知已知A，B 两地相距两地相距150 km，李明，李明驾驶驾驶汽车汽车以以v km/h 的速度从的速度从A 地驶往地驶往B 地，请你用代地，请你用代数式表示：数式表示：题型题型列代数式表示实际问题列代数式表示实际问题2例 6解题秘方解题秘方：本题本题包含路程、速度和时间三个量，它们包含路程、速度和时间三个量，它们之间关系之间关系为时间为时间=路程路程 速度速度.(1)李李明驾驶汽车从明驾驶汽车从A 地到地到B 地需要行驶的时间地需要行驶的时间；(2)如果如果汽车每小时多行驶汽车每小时多行驶10 km，那么李明驾驶汽车从，那么
18、李明驾驶汽车从A地地到到B 地需要行驶多长时间地需要行驶多长时间？(3)在在(2)的的情况下，李明驾驶汽车从情况下，李明驾驶汽车从A 地到地到B 地需要地需要行驶的行驶的时间比原计划少用多少小时？时间比原计划少用多少小时？思路点拨思路点拨少用的时间少用的时间=原来需原来需要要行驶的行驶的时间加速后时间加速后需要行驶的时间需要行驶的时间.(1)若若m 为整数，则为整数，则2 m 为为_数数，2 m1 为为_数；数；(填填“奇奇”或或“偶偶”)(2)有有三个连续偶数，若中间一个数为三个连续偶数，若中间一个数为2n，则其余两个，则其余两个数数分别为分别为_.例 7题型题型列代数式表示特征数列代数式表
19、示特征数3解题解题秘方：秘方：(1)根据根据奇偶性判断奇偶性判断；(2)熟练熟练掌握各类数的掌握各类数的特征特征，然后用代数式表示，然后用代数式表示.偶偶奇奇2n2，2n2方法技巧方法技巧列代数式表示列代数式表示特征数特征数的关键在于抓住各的关键在于抓住各类数类数的基本特点：如的基本特点：如偶数是偶数是2 的倍数，奇数比的倍数，奇数比相邻相邻偶数相差偶数相差1，多位数，多位数等于等于相应数位上的数相应数位上的数字字与相应与相应计数单位乘积的和计数单位乘积的和.如图如图3.1-2，有一块长为，有一块长为18 m，宽为，宽为10 m 的长方形土的长方形土地地，现，现将三面留出宽都是将三面留出宽都是
20、x(0 xb)的长方形的长方形空地，空白处是空地，空白处是两个半圆形两个半圆形，要，要将阴影部分绿化，则绿化面积将阴影部分绿化，则绿化面积是是_(结果结果保留保留).6.在在100 米赛跑中，时间和米赛跑中，时间和平均速度成平均速度成_比例比例关系；关系；分数值一定时分数值一定时，分子，分子和分母和分母成成_比例关系比例关系(填填“正正”或或“反反”).反反正正7.新新考法考法 归纳法归纳法如如图是一组有规律的图是一组有规律的图案图案：(1)第第1个图案由个图案由4个基础图形组成个基础图形组成，第，第2个图案个图案由由_个个基础图形组成，基础图形组成，第，第10个图案个图案由由_个基础个基础图
21、形图形组成；组成；731(2)第第n 个图案个图案由由_ 个基础个基础图形组成图形组成.(用用含含n 的代数式的代数式表示表示)(3n1)8.母母题题 教材教材P76习题习题T5 某某喷泉的喷水量与喷泉的喷水量与喷水喷水天数情况天数情况如下表如下表：(1)将上表填写完整将上表填写完整.喷水天数喷水天数/天天012345喷水量喷水量/m3016万万32万万48万万64万万80万万(2)喷喷水天数与喷水量成什么比例水天数与喷水量成什么比例关系关系？为什么？为什么？解：喷解：喷水天数与喷水量成正比例关系，因为喷水量与喷水天数与喷水量成正比例关系，因为喷水量与喷水天数的比值是定值水天数的比值是定值16
22、万万9.某超市为尽快清仓决定对某某超市为尽快清仓决定对某商品调价商品调价促销，设该商品原促销，设该商品原标价为标价为m 元元(m0).(1)若若将该商品先提价将该商品先提价20%，再，再降价降价20%，则最终价格相，则最终价格相对于原标价对于原标价是增长是增长了还是降低了？了还是降低了？解：解：由由题意得，先提价题意得，先提价20%，再降价，再降价20%的最终价格的最终价格为为(120%)m(120%)0.96m(元元)，由于，由于m0，所以，所以0.96mm，所以最终价格相对于原标价是降低了，所以最终价格相对于原标价是降低了(2)现有现有如下三种在原标价基础上如下三种在原标价基础上调价调价的
23、方案：的方案：方案一：先打九五折，再打九五折；方案一：先打九五折，再打九五折；方案二：先提价方案二：先提价50%，再打六折；，再打六折；方案三：先提价方案三：先提价30%，再降价，再降价30%；请通过计算选出调价后售价最低请通过计算选出调价后售价最低的方案的方案.解：解：在原标价基础上调价后的最终价格如下：在原标价基础上调价后的最终价格如下：方案一：方案一：0.95m0.950.9025m(元元)；方案二：方案二：(150%)m0.60.9m(元元)；方案三：方案三：(130%)m(130%)0.91m(元元)由于由于m0，所以，所以0.9m0.9025m0.91m，故调价后，故调价后售价最低的是方案二售价最低的是方案二
