1、 1 1、回顾初中学习的函数概念、回顾初中学习的函数概念 设在一个变化过程中，有两个变量设在一个变化过程中，有两个变量x x与与y y，如果对于，如果对于 x x的每一个值，的每一个值，y y都有唯一的值与它对应，那么就说都有唯一的值与它对应，那么就说y y是是 x x的的函数函数，x x叫做叫做自变量自变量 2 2、请问：我们在初中学过哪些函数？、请问：我们在初中学过哪些函数？ 温故知新温故知新 (0)ykxb k 一次函数： (0)ykx k 正比例函数： (0) k yk x 反比例函数： 2 (0)yaxbxc a 二次函数： 3 3、请同学们考虑以下两个问题：、请同学们考虑以下两个问
2、题： 显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问 题题. .因此，需要从新的高度认识函数，本节课因此，需要从新的高度认识函数，本节课 我们将从集合的角度重新认识函数我们将从集合的角度重新认识函数. . (1)1y (2)yx 2 x y x 是函数吗？ 与 是同一个函数吗？ 问题问题1 1 某“复兴号”高速列车加速到某“复兴号”高速列车加速到350350kmkm/ /h h后保持匀速运后保持匀速运 行半小时。这段时间内，列车行进的路程行半小时。这段时间内，列车行进的路程S S（单位：（单位：kmkm）与运）与运 行时间行时间t t（单位：（单位：h h）的关系
3、可以表示为）的关系可以表示为 S=350t 这个是这个是函数吗？函数吗？ 一元一次函数一元一次函数 思考：思考：有人说有人说“根据对应关系根据对应关系S S=350=350t t，这趟列车加，这趟列车加 速到速到350350kmkm/ /h h后，运行后，运行1 1小时就前进了小时就前进了350350kmkm”.”.你认为你认为 这个说法正确吗？这个说法正确吗？ 问题问题1 1 某“复兴号”高速列车加速到某“复兴号”高速列车加速到350350kmkm/ /h h后保持匀速后保持匀速 运行半小时。这段时间内，列车行进的路程运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S S（单位：（单位：kmkm） 与
4、运行时间与运行时间t t（单位：（单位：h h）的关系可以表示为）的关系可以表示为 S=350t t t的变化范围是什么？的变化范围是什么？ S S的变化范围是什么？的变化范围是什么？ 5 . 00 1 ttA 1750 1 SSB A A1 1中的任意一个时间中的任意一个时间t t 和和B B1 1的路程的路程S S有什么关系？有什么关系？ 这个关系是怎样建立起来的？这个关系是怎样建立起来的？ 解析式：解析式：S S=350=350t t 问题问题2 2：某电器维修公司要求工人每周至少工作：某电器维修公司要求工人每周至少工作1 1天，至多不超天，至多不超 过过6 6天天. .如果工资确定的工
5、资标准是每人每天如果工资确定的工资标准是每人每天350350元，而且每周付元，而且每周付 一次工资，那么一个工人每周的工资一次工资，那么一个工人每周的工资W W和他每周工作的天数和他每周工作的天数d d就就 是函数关系是函数关系 W=350d d d的变化范围是什么？的变化范围是什么？ W W的变化范围是什么？的变化范围是什么？ A2=1,2,3,4,5,6 B2=350,700,1050,1400,1750,2100 A A2 2中的任意一个中的任意一个d d和和B B2 2的工资的工资W W之间有什么关系？之间有什么关系？ 这个关系是怎样建立起来的？这个关系是怎样建立起来的？ 解析式：解析
6、式：W W=350=350d d 问题问题3.3.图图3.13.1- -1 1是北京市是北京市20162016年年1111月月2323日的空气质量指数日的空气质量指数(Air (Air Quality Index,Quality Index,简称简称AQI)AQI)变化图变化图. .如何根据该图确定这一天内任如何根据该图确定这一天内任 一时刻一时刻h h的空气质量指数的空气质量指数( (AQIAQI) )的的I I值？你认为这里的值？你认为这里的I I是是t t的函数的函数 吗？吗？ 240 3 ttA1500 3 IIB 对于数集对于数集 A A3 3中的任一时刻中的任一时刻t t，在数集，
7、在数集 B B3 3中都有唯一确定的中都有唯一确定的AQIAQI 的值的值I I与之对应与之对应. .因此，这里因此，这里I I是是 t t 的函数的函数. . 问题问题4:4:国际上常用恩格尔系数国际上常用恩格尔系数r(r=r(r=食物支出金额食物支出金额/ /总支出金额总支出金额) )反映一反映一 个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中 是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇 居民的生活质量越来越高居民的生活质量越来越高. .恩
8、格尔系数恩格尔系数r r是年份是年份y y的函数吗？如果是，你的函数吗？如果是，你 会用怎样的语言来刻画这个函数？会用怎样的语言来刻画这个函数？ 2015201420132012201120102009200820072006 4 ，A 10 4 rrB 对于数集对于数集A A4 4 中的任意一个年份中的任意一个年份y y , ,在数集在数集B B4 4 中都有唯一确定的 中都有唯一确定的 恩格尔系数恩格尔系数r r与之对应与之对应. .所以所以, ,r r是是y y 的函数的函数. . 分析、归纳以上四个实例，变量之间的关系有什么共同点？分析、归纳以上四个实例，变量之间的关系有什么共同点？
9、对于数集对于数集A A中的每一个中的每一个x x，按照某种对应关系，按照某种对应关系f f， 在数集在数集B B中都有唯一确定的中都有唯一确定的y y和它对应，记作和它对应，记作 f f：AB.AB. 四个实例中变量之间的关系都可描述为：四个实例中变量之间的关系都可描述为： 函数的定义函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么 就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记 作 y=f(x)，xA. 其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函 数值. 自变量x的取值范围A叫做函数的定义域；
10、函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 理解函数的概念应关注五点理解函数的概念应关注五点 (1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集， 即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域 都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的 (2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A， 但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集 (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性， 即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数 集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应这三性 只要有一个不满足，便不能构成函数 (4)yf(x)仅仅是函数
11、符号，不是表示“y等于f与x的乘积”， f(x)也不一定就是解析式； (5)除f(x)外，有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数. (6) 函数关系必定是一对一或多对一，一对多不是函数 二次函数二次函数 一次函数一次函数 反比例反比例 函数函数 正比例正比例 函数函数 值域值域 定义域定义域 对应法则对应法则 函数函数 )0( kkxy 2 0()yaxbxc a )0( k x k y 0()ykxb k R R R R R 0|xx 0| yy 2 2 4 0 4 4 0 4 | | acb ay y a acb ay y a 时时 时时 常见函数的定义域、值域常见
12、函数的定义域、值域 问题：问题： （1）试说明函数定义中有几个要素？）试说明函数定义中有几个要素？ 定义域、值域、对应法则定义域、值域、对应法则 定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是 一个整体；一个整体； 值域由定义域、对应法则惟一确定；值域由定义域、对应法则惟一确定； |02, |12.AxxBxy 例例1、设、设 下图表示从下图表示从A到到B的函数是的函数是( ). 0 x y 2 2 1 0 x y 2 1 2 1 0 x y 2 1 2 0 x y 2 1 2 1 A A D D C C B B 例例2、下列图像中不能作为函数、下列图
13、像中不能作为函数y=f(x)图像的是（图像的是（ ） x y O x y O x y O A B C D x y O 例例3、下列说法中，不正确的是、下列说法中，不正确的是( ). A.函数值域中的每一个数都有定义域中的一个函数值域中的每一个数都有定义域中的一个 数与之对应数与之对应. B.函数的定义域和值域一定是无限集合函数的定义域和值域一定是无限集合. C.定义域和对应关系确定后，函数值域也就随之定义域和对应关系确定后，函数值域也就随之 确定确定. D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有 一个元素一个元素. 1 ( ) (12 )(1) f x
14、 xx ( )42f xxx x xxf 2 1 1)( 例例4 4求下列函数的定义域。 （1） (2) (3) 注：注：由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和 问题的实际意义决定。定义域必须写成集合的形式。问题的实际意义决定。定义域必须写成集合的形式。 2 x 例例5、判断下列函数、判断下列函数f（x）与）与g（x）是否表示同一个函数，）是否表示同一个函数， 说明理由？说明理由？ （1）f ( x ) = (x 1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = 2 x （3）f ( x ) =
15、x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 1)(, 1)(ttgxxf （5） （6） 12)(, 12)(ttqxxf 例例6：已知函数：已知函数 （1）求函数的定义域；）求函数的定义域； （2）求）求 的值；的值； （3）当）当a0时，求时，求f(a), f(a-1)的值。的值。 1 ( )3 2 f xx x 2 ( 3), ( ) 3 ff a 自变量自变量x x在其定义域内任取一个确定的值在其定义域内任取一个确定的值 时，对时，对 应的函数值用符号应的函数值用符号 表示表示 )(af 2 yx 33 yx 2 yx 2
16、 x y x 1.下例函数中哪个与函数y=x相等 （1） （2） (4) 2、 ( )21, ( )21 (1) (1),( (1); (2) ( ),(1); (3) ( (1),( ( ); f xxg xx ff f f af a f gg f x 求：求： (设设a, b为实数为实数,且且ab) 闭区间闭区间: :满足满足axb的实数的实数x的集合的集合,记作记作 a,b 开区间开区间: :满足满足axb的实数的实数x的集合的集合,记作记作 (a , b) “”不是一个”不是一个 数数,表示无限大的变化趋势表示无限大的变化趋势,因因 此作为端点此作为端点, 不用方括号不用方括号. 半开
17、半闭区间半开半闭区间: :满足满足axb或或axb的实数的实数x 的集合的集合,分别记作分别记作(a, b,a, b). 实数集实数集R R记作记作 (- -,+), 把下列不等式写成区间表示把下列不等式写成区间表示 1. - -2x4 4,记作 记作:_； 3. 5x7,记作记作: ； 4. 2x5,记作记作: ； 5. 1x3,记作记作: _； 6. x- -10,记作记作:_； 7.7.x3,3,记作记作:_:_； 8.8.x- -6,6,记作记作:_ :_ ； 10. x|- -2x6x|36x|- -5x14 记作记作_;_; (- -2,4) (4, +) 5,7 2,5) (1, 3 (- -,- -10 (- -, - -6) 3,+) 14, 6( - -2,8
