1、4.5 4.5 角角的比较与补的比较与补(余余)角角第四章第四章 几何图形几何图形初步初步知知4 4讲讲知识点知识点补角和余角补角和余角41.补角补角 如果如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角个角互为补角，互为补角，简称互补简称互补.数学语言：数学语言：如果如果 3+4=180，就说，就说 3是是 4的的补角补角，或，或 4 是是 3 的补角，的补角，3 与与 4 互为补角，互为补角，如图如图 4.5-8.知知4 4讲讲2.余角余角 如果两个角的和等于一个直角如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这那么我们就称这 两两个角互为余角，简称互余
2、个角互为余角，简称互余.数学语言：数学语言：如果如果 1+2=90，就就说说 1是是 2的余角的余角，或，或 2 是是 1 的的余角余角，1 与与 2 互为余角，互为余角，如图如图 4.5-9.3.互余、互补是指具有一定数量关系的两个角互余、互补是指具有一定数量关系的两个角.知知4 4讲讲特别解读特别解读1.互余、互补是指两个互余、互补是指两个角之间角之间的数量关系，的数量关系，它们它们是是成对出现的成对出现的.2.若两个角互余，则两若两个角互余，则两个角个角都是锐角；若两个都是锐角；若两个角角互补互补，则两个角可能，则两个角可能都是都是直角，也可能一个直角，也可能一个是是锐角锐角，另一个是钝
3、角，另一个是钝角.3.互余、互补只与角的互余、互补只与角的度数度数有关，与位置无关有关，与位置无关.一个一个角的余角或补角角的余角或补角可以有可以有多个多个.知知4 4练练期中期中宿州宿州一个角的余角比它的补角的一半少一个角的余角比它的补角的一半少 30，则这个角的度数为则这个角的度数为 _.例6 60知知4 4练练解题秘方解题秘方：根据余角和补角的定义设未知数列方根据余角和补角的定义设未知数列方程求解即可程求解即可.知知4 4练练6-1.月考月考宿州宿州 的补角是它余角的的补角是它余角的 3 倍倍，则，则 的度数的度数为为()A.45 B.60C.90 D.120A知知4 4练练如图如图 4
4、.5-10，点，点 O 为直线为直线 AB 上一点上一点，AOC=DOE=90.(1)图图中互余的角有几对？各是哪些？中互余的角有几对？各是哪些？(2)图图中互补的角有几对？各是哪些？中互补的角有几对？各是哪些？例7知知4 4练练解题秘方解题秘方：由已知条件，结合互为由已知条件，结合互为余角余角、互为补、互为补角的定义解答角的定义解答.知知4 4练练解解：因为点：因为点 O 为直线为直线 AB 上一点，上一点，所以所以 BOC+AOC=180.因为因为 AOC=DOE=90，所以，所以 1+2=90，2+3=90 ，1+4=180 DOE=90 ，3+4=BOC=180 AOC=180 90=
5、90，所以图中互余的角有所以图中互余的角有 4 对，对，分别是分别是 1 和和 2，2 和和 3，1 和和 4，3 和和 4.(1)图中互余的角有几对？各是哪些图中互余的角有几对？各是哪些？知知4 4练练解解：由已知得：由已知得 1+BOD=180，4+AOE=180.由由(1)可知可知 1=3，2=4，所以所以 3+BOD=180，2+AOE=180.又因为又因为 AOC+BOC=180，AOC+DOE=180，DOE+BOC=180，(2)图中互补的角有几对？各是哪些？图中互补的角有几对？各是哪些？知知4 4练练所所 以以 图图 中中 互互 补补 的的 角角 有有 7 对，对，分分 别别
6、是是 1 和和 BOD，4 和和 AOE，3 和和 BOD，2 和和 AOE，AOC 和和 BOC，AOC 和和 DOE，DOE 和和 BOC.知知4 4练练7-1.如图如图，直线直线 AB，CD相交于点相交于点O，AOE=COF=90，则图中与则图中与 BOC 互补的角有互补的角有()A.1个个 B.2个个C.3 个个 D.4个个C知知4 4练练7-2.如图如图，点，点 O 为为 直线直线 BE 上一点，上一点，AOE=COD=90，则图，则图中与中与 BOC 互互 余余 的的 角有角有()A.1个个 B.2个个C.3 个个 D.4个个B知知5 5讲讲知识点知识点余角、补角的性质余角、补角的
7、性质51.余角的性质余角的性质(1)同同角的余角相等角的余角相等.如果如果 1+2=90，1+3=90，那么那么 2=3.(2)等角的余角相等等角的余角相等.如果如果 1+2=90，3+4=90，且，且 1=3，那么那么 2=4.同一个角同一个角.度数相等的角度数相等的角.知知5 5讲讲2.补角的性质补角的性质(1)同角的补角同角的补角相等相等.如果如果 1+2=180，1+3=180，那么那么 2=3.(2)等角的补角等角的补角相等相等.如果如果 1+2=180，3+4=180，且，且 1=3，那么，那么 2=4.知知5 5讲讲特别解读特别解读1.如果互补的两个角如果互补的两个角相等相等，那
8、么这两个角，那么这两个角都是都是直角直角.2.余角、补角的性质是余角、补角的性质是说明说明两个角相等的两个角相等的重要重要依据依据.知知5 5练练如图如图 4.5-11，已知，已知 O 是直线是直线 AB 上的一点，上的一点，OC 是是一条射线一条射线，OD 平分平分 AOC，DOE=90，则，则 OE 平分平分 BOC 吗吗？为什么？为什么？例8 解题秘方解题秘方：紧扣角平分线的定义判断，紧扣角平分线的定义判断，利用余角的性质利用余角的性质说明说明两个两个角相等角相等.知知5 5练练解解：OE 平分平分 BOC.理由如下：理由如下：因为因为 DOE=90，所以，所以 DOC+COE=90.又
9、因为又因为 AOB=180，所以所以 AOD+BOE=90.因为因为 OD 平分平分 AOC，所以，所以 AOD=DOC，所以所以 COE=BOE，所以，所以 OE 平分平分 BOC.知知5 5练练8-1.期末期末 台州台州如图如图，点，点 O 在直线在直线 AE 上上，AOB=COD=90，则，则图中除了直角外，图中除了直角外，一定一定相等的相等的角有角有()A.3对对 B.2对对C.1 对对 D.0对对B知知5 5练练如图如图 4.5-12，直线，直线 AB 与与 COD 的两边的两边 OC，OD 分别相交于点分别相交于点 E，F，1+2=180.找出图中找出图中与与 2 相等的角，并说明
10、理由相等的角，并说明理由.例9知知5 5练练解题秘方解题秘方：利用补角的性质找出与利用补角的性质找出与 2 相等相等的角的角.解解：因为：因为 1+3=180，1+2=180，所以所以 3=2.因为因为 1+4=180，1+2=180，所以所以 4=2.因为因为 2+5=180，6+5=180，所以所以 2=6.所以图中与所以图中与 2 相等的角有相等的角有 3，4，6.知知5 5练练9-1.如图，点如图，点 O 在在直线直线AB上，上，BOC=90，BOD和和 COD互补互补.(1)请请说明说明 AOD=COD；解解：因为：因为BOD和和COD互补，互补，所以所以BODCOD180.因为点因
11、为点O在直线在直线AB上，所以上，所以AOB180，所以所以BODAOD180.所以所以AODCOD.(同角的补角相等同角的补角相等)知知5 5练练(2)求求 AOD 的度数的度数知知6 6讲讲知识点知识点作一个角等于已知角作一个角等于已知角6方法一方法一 先用量角器量出已知角的度数先用量角器量出已知角的度数，再画一个等再画一个等于于这个已知角的度数的角这个已知角的度数的角.知知6 6讲讲方法方法二二 (尺尺规规作图作图)已知：已知：AOB(如如图图 4.5-13).求作：求作：A O B，使，使 A O B=AOB.作法：作法：(1)在在 AOB 上上 以以 点点 O 为为 圆圆 心，任心，
12、任 意意 长长 为为 半半 径画弧径画弧，分别交，分别交 OA，OB 于点于点 M，N(如如图图 4.5-13)；知知6 6讲讲(2)作射线作射线 O M，并以点并以点 O为圆心，为圆心，OM 长为半径长为半径画弧画弧，交交 O M于点于点 A；(3)以点以点 A为圆心，为圆心，MN 长为半径画弧，长为半径画弧，与与第第(2)步中步中所所画画弧交于点弧交于点 B；(4)作射线作射线 O B，A O B 就就 是是 所求作的角所求作的角(如图如图4.5-13).知知6 6讲讲特别解读特别解读尺规作图的关键尺规作图的关键是要是要掌握作图的具体掌握作图的具体操作操作步骤步骤和作法的规范描述和作法的规
13、范描述，当作，当作图要求写作法时，图要求写作法时，要注意要注意语言的规范语言的规范.知知6 6练练例10 知知6 6练练解题秘方解题秘方：紧扣作一个角等于已知角的步骤，找紧扣作一个角等于已知角的步骤，找到所求到所求角与角与已知角之间的关系，确定已知角之间的关系，确定作图步骤即可作图步骤即可.知知6 6练练解解：如图：如图 4.5-15.作法作法：(1)作作 AOC=1；(2)以以 点点 O 为为 顶顶 点，点，OC 为为 一一 边，在边，在 AOC 的的 外外 部部 作作 COD=1；(3)以以 点点 O 为为 顶顶 点，点，OD 为为 一一 边，在边，在 AOD 的的 内内 部部 作作 BO
14、D=2.则则 AOB=2 1 2，即，即 AOB 就是所就是所求作的角求作的角.知知6 6练练10-1.如图如图，已知已知 和和 .(1)利用尺规作利用尺规作 BOD=+2 .解：解：如图如图.作法：作作法：作BOC；以点以点O为顶点，射线为顶点，射线OC为一边，在为一边，在BOC的外部作的外部作COA，使，使COA；以点；以点O为顶点，射线为顶点，射线OA为一边，为一边，在在BOA的外部作的外部作AOD，使，使AOD，则，则BOD就是所求作的角就是所求作的角知知6 6练练(2)利用尺规作利用尺规作 MNP，使，使 MNP=2().解：解：如如图图.作法：作作法：作ENF；以点；以点N为顶点，射线为顶点，射线NF为一边，在为一边，在ENF的外部的外部作作FNM，使，使FNM；以点；以点N为顶点，为顶点，射线射线NE为一边，在为一边，在ENM的内部作的内部作ENQ，使使ENQ；以点；以点N为顶点，射线为顶点，射线NQ为为一边，在一边，在QNM的内部作的内部作QNP，使，使QNP，则，则MNP就是所求作的角就是所求作的角角的比较与角的比较与补（余）角补（余）角数量数量关系关系角的比较角的比较角的运算角的运算角角互余互余与与互补互补角的和差角的和差角角的平分线的平分线度量法度量法叠合法叠合法
