1、20102020 年中国科技大学20102020 年中国科技大学自招真题集自招真题集公众号：慧源数学公众号：慧源数学欢迎公众关注号：慧源数学2目录目录一、真题回忆版一、真题回忆版2010 年中国科学技术大学自主招生试题 42011 年中国科学技术大学自主招生试题 82012 年中国科学技术大学自主招生试题 122013 年中国科学技术大学自主招生试题 162014 年中国科学技术大学自主招生试题 192015 年中国科学技术大学自主招生试题 222016 年中国科学技术大学自主招生试题 242017 年中国科学技术大学自主招生试题 272018 年中国科学技术大学自主招生试题 302019 年
2、中国科学技术大学自主招生试题 322020 年中国科学技术大学自主招生试题 342010 年中国科学技术大学自主招生试题 42011 年中国科学技术大学自主招生试题 82012 年中国科学技术大学自主招生试题 122013 年中国科学技术大学自主招生试题 162014 年中国科学技术大学自主招生试题 192015 年中国科学技术大学自主招生试题 222016 年中国科学技术大学自主招生试题 242017 年中国科学技术大学自主招生试题 272018 年中国科学技术大学自主招生试题 302019 年中国科学技术大学自主招生试题 322020 年中国科学技术大学自主招生试题 34二、参考答案二、参
3、考答案2010 年中国科学技术大学自主招生试题 382011 年中国科学技术大学自主招生试题 452012 年中国科学技术大学自主招生试题 522013 年中国科学技术大学自主招生试题 582014 年中国科学技术大学自主招生试题 622015 年中国科学技术大学自主招生试题 652016 年中国科学技术大学自主招生试题 682017 年中国科学技术大学自主招生试题 712018 年中国科学技术大学自主招生试题 772019 年中国科学技术大学自主招生试题 802020 年中国科学技术大学自主招生试题 852010 年中国科学技术大学自主招生试题 382011 年中国科学技术大学自主招生试题
4、452012 年中国科学技术大学自主招生试题 522013 年中国科学技术大学自主招生试题 582014 年中国科学技术大学自主招生试题 622015 年中国科学技术大学自主招生试题 652016 年中国科学技术大学自主招生试题 682017 年中国科学技术大学自主招生试题 712018 年中国科学技术大学自主招生试题 772019 年中国科学技术大学自主招生试题 802020 年中国科学技术大学自主招生试题 85欢迎公众关注号：慧源数学3一、真题回忆版一、真题回忆版欢迎公众关注号：慧源数学42010 年中国科学技术大学自主招生试题2010 年中国科学技术大学自主招生试题一、选择题一、选择题(
5、2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)1设复数2()1aiwi，其中a为实数，若w的实部为 2，则w的虚部为（）（A）32（B）12（C）12（D）32(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)2设向量,a b，满足|1,aba bm，则|atb()tR的最小值为（）（A）2（B）21m（C）1（D）21m(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)3.如果平面,，直线nm,，点BA,满足/，m，n，且AB与所成的角为4，ABn,m与直线AB所成的角为3，则m与n所成的角的大小为（）A.3B.4C.6D.8(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)4.在
6、正四棱锥ABCDP 中，11,DB分别为侧棱PDPB,的中点，则四面体11CDAB的体积与四棱锥ABCDP 的体积之比为（）A.6:1B.5:1C.4:1D.3:1(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)5 在ABC中，三边长,a b c，满足3acb，则tantan22AC的值为（）（A）15（B）14（C）12（D）23(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)6如图，ABC的两条高线,AD BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则OFG与GAH面积之比为（）（A）1:4（B）1:3（C）2:5（D）1:2欢迎公众关注号：慧源数学5
7、(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)7设()e(0)axf xa过点(,0)P a且平行于y轴的直线与曲线:()C yf x的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，则PQR的面积的最小值是（）（A）1（B）2e2（C）e2（D）2e4(2010 中 国 科 技 大 学)(2010 中 国 科 技 大 学)8 设 双 曲 线2212:(2,0)4xyCk aka，椭 圆2222:14xyCa若2C的短轴长与1C的实轴长的比值等于2C的离心率，则1C在2C的一条准线上截得线段的长为（）（A）2 2k（B）2（C）4 4k（D）4(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学
8、)9欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何 3 个顶点作为顶点的三角形有 3 种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的 3 色组合，则n的最小值为（）（A）6（B）7（C）8（D）9(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)10设定点ABCD、是以O点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线OA为轴满足条件()BC的旋转，用表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设l为过AB中点与CD中点的直线，用表示空间以l为轴的 180旋转设 表示变换的复合，先作，再作。则可以表示为（）（A）（B）（C）（D）二、解答题二、解答题(2010 中国科技大学)(201
9、0 中国科技大学)11在ABC中，已知22sincos212ABC，外接圆半径2R（）求角C的大小；（）求ABC面积的最大值欢迎公众关注号：慧源数学6(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)12设ABCD、为抛物线24xy上不同的四点，,A D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l设D到直线AB，直线AC的距离分别为12,d d，已知122ddAD（）判断ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；（）若ABC的面积为 240，求点A的坐标及直线BC的方程(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)13正四棱锥的体积23V，
10、求正四棱锥的表面积的最小值；一般地，设正n棱锥的体积V为定值，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正n棱锥的表面积取得最小值欢迎公众关注号：慧源数学7(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)14假定亲本总体中三种基因型式：,AA Aa aa的比例为:2:uv w(0,0,0,21)uvwuv w且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个（）求子一代中，三种基因型式的比例；（）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由(2010 中 国 科 技 大 学)(2010 中 国 科 技 大 学)15 设 函 数()1xmf xx，且 存 在 函 数
11、1(,0)2statb ta，满足2121()tsfts（）证明：存在函数()(0),tscsd s满足2121()stfst；（）设113,(),1,2,.nnxxf xn证明：1123nnx欢迎公众关注号：慧源数学82011 年中国科学技术大学自主招生试题2011 年中国科学技术大学自主招生试题一、选择题一、选择题(2011 中国科技大学)(2011 中国科技大学)1 1.设复数z满足1z 且15|2zz则z()4321ABCD5432 (2011 中国科技大学)(2011 中国科技大学)2.2.在正四棱锥PABCD中，,M N分别为,PA PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2.则
12、异面直线DM与AN所成角的余弦为()1111ABCD36812 (2011 中国科技大学)(2011 中国科技大学)3.3.已知1223xxxy，过点1,1的直线l与该函数图象相切，且1,1不是切点，则直线l的斜率为()A 2B1C1D2 (2011中国科技大学)(2011中国科技大学)4 4.若222coscos3ABAB，则的最小值和最大值分别为()3 31 33312A1,B,C1,1D,1222 22222 (2011 中国科技大学)5.(2011 中国科技大学)5.如图，圆1O和2O外切于点C，圆1O和2O都与圆O内切，切点分别为,A B,设AOB,ACB,则（）A.cossin02
13、B.sincos02C.sin2sin0D.sin2sin0(2011 中国科技大学)(2011 中国科技大学)6 6.已知异面直线,a b成060角.A为空间一点则过A与,a b都成045角的平面()A.有且只有一个B.有且只有两个C.有且只有三个D.有且只有四个欢迎公众关注号：慧源数学9(2011 中国科技大学)(2011 中国科技大学)7 7.已知向量3131(0,1),(,),(,),2222abc(1,1)xaybzc则222xyz的最小值为()A.1B.43C.32D.2(2011 中国科技大学)(2011 中国科技大学)8 8.AB为过抛物线24yx焦点F的弦，O为坐标原点，且1
14、35OFA，C为抛物线准线与x轴的交点，则ACB的正切值为()4 24 22 2A 2 2BCD533 (2011 中国科技大学)9.(2011 中国科技大学)9.如图，ABC的面积为2，,D E分别是边AB和边AC上的点，F为线段DE上的一点，设ADxAB，AEyAC，DFzDE，且1yzx，则BDF面积的最大值为（）A.827B.1027C.1427D.1627(2011 中国科技大学)(2011 中国科技大学)1010.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（）A.存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B.存在某种分法，所分出的三角形恰有两
15、个锐角三角形C.存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D.任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形二、解答题二、解答题(2011 中国科技大学)(2011 中国科技大学)11.已知ABC不是直角三角形。证明：tantantantantantanABCABC.若tantan3tan1tanBCCA，且sin2,sin2,sin2ABC的倒数成等差数列，求cos2AC的值。欢迎公众关注号：慧源数学10(2011 中国科技大学)(2011 中国科技大学)1212.已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b克的水恰好装满水杯
16、，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处.（I）若3ba，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？(2011 中 国 科 技 大 学)(2011 中 国 科 技 大 学)1313.已 知 函 数21()(1)1()2xf xffaxb2，3.令111()2nnxxf x，.(I)求数列nx的通项公式；(II)证明12112nx xxe.欢迎公众关注号：慧源数学11(2011 中国科技大学)(2011 中国科技大学)1414.已知双曲线221222:1(0,0),xyCabF Fab分别为C的左右焦点.P为C右支上一
17、点，且使12=3FPF，且12FPF的面积为23 3a.(I)求C的离心率e；(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数（0）,使得22QF AQAF 恒成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(2011 中国科技大学)(2011 中国科技大学)1515.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以np表示未出现连续 3 次正面的概率.(I)求1p，2p，3p，4p；(II)探究数列np的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列np的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.欢迎公众关注号：慧源数学122012 年中国科学技术大学自主招生试题2012 年中国科学技术大学自主
18、招生试题一、选择题：(2012 中国科技大学)(2012 中国科技大学)1.在锐角ABC中，ABC,则cosB的取值范围为（）(A)20,2(B)12,22(C)0,1(D)2,12(2012 中国科技大学)2.(2012 中国科技大学)2.红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这 6 枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（）(A)36 种(B)60 种(C)90 种(D)120 种(2012 中国科技大学)3.(2012 中国科技大学)3.正四棱锥SABCD中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱SB与底面正方形ABCD的对
19、角线AC所成角为，相邻两侧面所成二面角为，则,之间的大小关系是（）(A)(B)(C)(D)(2012 中国科技大学)4.(2012 中国科技大学)4.向量ae，1e。若tR，都有ateae，则（）(A)ae(B)aae(C)eae(D)aeae(2012 中国科技大学)5.(2012 中国科技大学)5.若复数11的实部为 0，Z是复平面上对应11的点，则点,Z x y的轨迹是()(A)一条直线(B)一条线段(C)一个圆(D)一段圆弧(2012 中国科技大学)6.(2012 中国科技大学)6.椭圆长轴长为 4，左顶点在圆22414xy上，左准线为y轴，则此椭圆离心率的取值范围是（）(A)1 1,
20、8 4(B)1 1,4 2(C)1 1,8 2(D)1 3,2 4欢迎公众关注号：慧源数学13(2012 中国科技大学)7.(2012 中国科技大学)7.已知三棱锥SABC的底面ABC为正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，二面角HABC为030，且2SA,则此三棱锥的体积为（）(A)12(B)32(C)34(D)34(2012 中国科技大学)8.(2012 中国科技大学)8.如图，在锐角ABC中，AB边上的高CE与AC边上的高BD交于点H。以DE为直径作圆与AC的另一个交点为G。已知25BC，20BD，7BE，则AG的长为（）(A)8(B)425(C)10(D)545(2012
21、 中国科技大学)9.(2012 中国科技大学)9.已知数列 na的通项公式为22lg 13nann，nN。nS是数列的前n项和。则limnnS（）(A)0(B)3lg2(C)lg2(D)lg3(2012 中国科技大学)10.(2012 中国科技大学)10.已知610ix（1,2,10i），10150iix，当1021iix取得最大值时，在1210,x xx这十个数中等于6的数共有（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(2012 中国科技大学)11.(2012 中国科技大学)11.(本小题满分 14 分)在ABC中，,A B C的对边分别
22、为,a b c。已知22sin1 cos22ABC 求角C的大小若22222cba，求cos2cos2AB的值欢迎公众关注号：慧源数学14(2012 中国科技大学)12.(2012 中国科技大学)12.已知两点2,0A，2,0B,动点P在y轴上的射影是H，且22PA PBPH .1求动点P的轨迹C的方程2已知过点B的直线交曲线C于x轴下方不同的两点,M N，设MN的中点为R，过R于点0,2Q作直线RQ，求直线RQ斜率的取值范围。(2012 中国科技大学)13.(2012 中国科技大学)13.(本小题满分 14 分)系统中每个元件正常工作的概率都是p（01p），各个元件正常工作的事件相互独立，如
23、果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。某系统配置有21k 个元件，k为正整数，求该系统正常工作概率的表达式；现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。欢迎公众关注号：慧源数学15(2012 中国科技大学)(2012 中国科技大学)14.(本小题满分 14 分)记函数 212!nnxxfxxn，（1,2,3,n）.证明：当n是偶数时，方程 0nfx 没有实根；当n是奇数时，方程 0nfx 有唯一的实根n，且2nn。(2012 中国科技大学)(2012 中国科技大学)15.(本小题满分 14 分)某乒乓
24、球培训班共有n位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定n的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。欢迎公众关注号：慧源数学162013 年中国科技大学自主招生试题2013 年中国科技大学自主招生试题(2013 中国科技大学)(2013 中国科技大学)1.设|10,Ax xxNBA，且B中元素满足：任意一个元素的各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于 9；（1）求B中的两位数和三位数的个数；（2）是否存在五位数，六位数？（3）若从小到大排列B中元素，求第 1081 个元素.(2013 中国科技大学)(2013 中国科技大学)
25、2.已知1sinsin31coscos5xyxy，求cos(),sin()xyxy.(2013 中 国 科 技 大 学)(2013 中 国 科 技 大 学)3.点A在ykx上，点B在ykx 上，其 中20,1kOA OBk，且,A B在y轴同侧.（1）求AB中点M的轨迹C；（2）曲线C与抛物线22(0)xpy p相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程.欢迎公众关注号：慧源数学17(2013 中国科技大学)(2013 中国科技大学)4.口袋中有 7 个红球，8 个黑球，依次取出 4 个.（1）求恰有一个红球的概率；（2）取出黑球的个数为X，求X的分布列和期望（EX）；（3）取出 4 个
26、球同色，求全为黑色的概率.(2013 中国科技大学)(2013 中国科技大学)5.数列 na各项均为正数，且对任意*nN满足21(0)nnnaaca c 为常数.（1）求证：对任意正数M，存在*NN，当nN时有naM；（2）设1,1nnnbSca是 nb前n项和，求证：对任意0d，存在*NN，当nN时有110nSdca.欢迎公众关注号：慧源数学18(2013 中国科技大学)(2013 中国科技大学)6.已知,x y z是互不相等且都大于1的正整数，|(1)(1)(1)xyzxyyzzx，求,x y z.(2013 中国科技大学)(2013 中国科技大学)7.已知函数()(1)1xf xx e；
27、（1）求证：当0 x 时()0f x；（2）数列 nx满足111,1nnxxnx eex，求证：数列 nx递减且12nnx.欢迎公众关注号：慧源数学192014 年中国科技大学自主招生试题2014 年中国科技大学自主招生试题(2014 中国科技大学)(2014 中国科技大学)1.已知54321,xxxxx是正整数,任取四个其和组成的集合为47,46,45,44,求54321,xxxxx的值.(2014 中国科技大学)(2014 中国科技大学)2.甲乙进行乒乓球比赛,采用五局三胜制.已知任一局甲胜的概率是p（21p）,甲赢得比赛的概率是q,求p为多少时,pq 取得最大值.(2014 中国科技大学
28、)(2014 中国科技大学)3.函数bxaxxxxfsin24sinsincos22)(（0a）的最大值为1,最小值为4,求ba,的值.欢迎公众关注号：慧源数学20(2014 中国科技大学)(2014 中国科技大学)4.已知)(xf的反函数为)(1xf，)(xg的反函数为)(1xg(1)证明：)(xgfy 的反函数为)(11xfgy;(2)设)(xfxF，)()(1xfxG,若)(xG的反函数是)(xF,证明)(xf为奇函数.(2014 中国科技大学)(2014 中国科技大学)5.已知椭圆12222byax（0 ba）与圆222byx,过椭圆上一点M作圆的两切线,切点分别为QP,直线PQ与yx
29、,轴分别交于点FE,求EOF的面积的最小值.欢迎公众关注号：慧源数学21(2014 中国科技大学)(2014 中国科技大学)6.已知数列 na满足:01a，nnnqanpa1.(1)若1q,求na;(2)若1p，1q,求证:数列 na有界.(2014 中国科技大学)(2014 中国科技大学)7.已知n是正整数，求证：当nx 时，21nxxnnexn.欢迎公众关注号：慧源数学222015 年中国科学技术大学自主招生考试数学试题2015 年中国科学技术大学自主招生考试数学试题（2015 中科大）（2015 中科大）1.函数 11xf xx的值域是（2015 中科大）（2015 中科大）2.若1si
30、nsin2，1coscos3，则cos（2015 中科大）（2015 中科大）3.若函数 yf x与xye的图像关于直线yx 对称，则 f x（2015 中科大）（2015 中科大）4.在直角坐标系中，设O是坐标原点，定点1,2P，动点,Q x y满足0 x，且13xyx，则OP OQ 的最大值为；（2015 中科大）（2015 中科大）5.若椭圆221169xy的一条切线l与x轴交于点5,0，则l与两坐标轴所围成的三角形面积是（2015 中科大）（2015 中科大）6.设三个整数abc，满足27abc，200abc，则c；（2015 中科大）（2015 中科大）7.911xx的展开式中6x的
31、系数为（2015 中科大）（2015 中科大）8.从集合1,2,3,20中随机取 4 个不同的数，并从小到大排列，则它们构成等差数列的概率是；欢迎公众关注号：慧源数学23（2015 中科大）（2015 中科大）9.如图所示，为测量远处一座山峰相对于水平地面的高度h，测量者选取了水平地面上三点,A B C，分别测量了直线,PA PB PC与水平面的夹角为123,，其中P是山峰的顶点。已知B是AC的中点，ABa，求h（用123,表示）。（2015 中科大）（2015 中科大）10.设nN，nx是满足以下两个条件的数列12,na aa的个数：每个ia都是0或1；当2n 时，任意相邻的两项乘积10ii
32、a a。求123,x x x的值；求2211nnnnix xx的值。（2015 中科大）（2015 中科大）11.求 ln xf xx的单调区间和最大值；设0 xy，且yxxy，求证：2xye，其中e是自然对数的底数。欢迎公众关注号：慧源数学242016 年中国科学技术大学自主招生数学试题2016 年中国科学技术大学自主招生数学试题(2016 中科大)(2016 中科大)120163除以100的余数为.(2016 中 科 大)(2016 中 科 大)2 复 数12,z z满 足12|2,|3zz，12|4zz，则12zz的 值是.(2016 中科大)(2016 中科大)3用()S A表示集合A
33、的所有元素之和，且12 3 4 5 6 7 8A，()S A能被 3 整除，但不能被 5 整除，则符合条件的非空集合A的个数是.(2016 中 科 大)(2016 中 科 大)4 已 知ABC中，sin2sincos0ABC，则tan A的 最 大 值是.(2016 中科大)(2016 中科大)5若对任意实数x都有2|2|32|xaxaa，则a的取值范围是.欢迎公众关注号：慧源数学25(2016 中科大)(2016 中科大)6若(,)4 2，(0,1)b，log sinlog cos(sin),(cos)bbxy，则xy(填,)(2016 中科大)(2016 中科大)7 梯形ABCD中，/AB
34、CD,对角线,AC BD交于1P,过1P作AB的平行线交 BC 于点1Q，1AQ交BD于2P,过2P作AB的平行线交 BC 于点2Q，若,ABa CDb，则nnPQ.（用,a b n表示）(2016 中 科 大)(2016 中 科 大)8 数 列na中，na是 与n最 接 近 的 整 数，则201611nna.(2016 中科大)(2016 中科大)9已知,0a b c，3abc，求证：22232abcabcbcacab欢迎公众关注号：慧源数学26(2016 中科大)(2016 中科大)10求所有函数:fNN，使得对任意正整数xy，0|()()|2|f xf yxy.(2016 中科大)(20
35、16 中科大)11求方程2571xyz的所有非负整数解(,)x y z.欢迎公众关注号：慧源数学272017 年中国科学技术大学自主招生考试数学试题2017 年中国科学技术大学自主招生考试数学试题（2017 中科大）（2017 中科大）1.函数100 xy 与sinyx的图像共有个交点。（2017 中科大）（2017 中科大）2.设n是正整数，方程xyn共有组整数解,x y。（2017 中科大）（2017 中科大）3.已知映射:1,2,3,4,51,2,3,4,5f既是单射又是满射，并且 6f xff x，则 1f；（2017 中 科 大）（2017 中 科 大）4.函 数 22221225f
36、 xxxxx 的 取 值 范 围为；（2017 中科大）（2017 中科大）5.设ABC是等边三角形，23ADAC，13AEAB ，直线BD交CE于F，AFxAByAC ，则xy；（2017 中科大）（2017 中科大）6.设正四棱锥PABCD的底面边长和高都是1，点,E F G分别在线段,PB PC PD上，则AEEFFGGA的最小值为；（2017 中科大）（2017 中科大）7.设复数z满足11,2zz，则z的实部的最小值为；（2017 中 科 大）（2017 中 科 大）8.把 边 长 为1的 正 八 边 形ABCDEFGH分 别 沿 线 段,BD DF FH HB折成直二面角，并且平面
37、ACEG与BDFH平行，则多面体ACEGBDFH的体积为；欢迎公众关注号：慧源数学28（2017 中 科 大）（2017 中 科 大）9.设 数 列 na满 足11a，122nnnaaa，nN，则8a；（2017 中科大）（2017 中科大）10.从正方体的12条棱中选出4条两两不相交的棱，共有种选法；（2017 中科大）（2017 中科大）11.设ABC的外接圆半径是1，角,A B C所对的边长,a b c满足cos2abcA。求角C的值；求22ab的取值范围；（2017 中科大）（2017 中科大）12.设椭圆:E2214xy。求点41,55处椭圆E的切线方程；设点P在椭圆E上，点Q在双曲
38、线4xy 上。证明：65PQ。欢迎公众关注号：慧源数学29（2017 中科大）（2017 中科大）13.已知实数,a b c恰好是方程320 xaxbxc的三个根（允许重根），求这样的数组,a b c的个数。（2017 中科大）（2017 中科大）14.设实数112220172017,a b a bab满足01ia，01ib，1,2,2017i。欢迎公众关注号：慧源数学302018 年中科大自主招生试题2018 年中科大自主招生试题（2018 中科大）（2018 中科大）1.1.201813i（2018 中科大）（2018 中科大）2.2.已知532sin，则)15tan()15tan(00（
39、2018 中科大）（2018 中科大）3.3.设21x，则124)(2xxxxf的最小值为（2018 中科大）（2018 中科大）4.4.设5,4,3,2,1S，则满足 xxff的映射SSf:的个数为（2018 中科大）（2018 中科大）5.设为复数，i为虚数单位，关于x的方程02iaxx有实根，则的取值范围为（2018 中科大）（2018 中科大）6.已知定义在,0上的函数)(xf是单射，对任意0 x，有1)(xxf，21 xxff，则(2)f（2018 中科大）（2018 中科大）7.在四面体ABCD中，ABC是斜边为2AB的等腰直角三角形，ABD是以AD为斜边的等腰直角三角形，已知6C
40、D，点QP,分别在线段CDAB,上，则PQ的最小值为欢迎公众关注号：慧源数学31（2018 中科大）（2018 中科大）8.点P在圆11222yx上运动，向量PO（其中O为原点）绕点P逆时针旋转090得到PQ，则点Q的轨迹方程为（2018 中科大）（2018 中科大）9.过点0,1的直线m与抛物线2xy 相交于BA,两点，且AOB的面积为3（其中O为原点），求直线m的方程。（2018 中科大）（2018 中科大）10.求所有的二次实系数多项式 baxxxf2，使得)(|)(2xfxf（2018 中科大）（2018 中科大）11.设11a，nnanna3111，求证：112311nknkna；3
41、11nknak欢迎公众关注号：慧源数学322019 年中国科学技术大学自主招生考试数学试题2019 年中国科学技术大学自主招生考试数学试题（2019 中科大）（2019 中科大）1.平面区域的面积是_（2019 中科大）（2019 中科大）2.在之间所有根之和为_（2019 中科大）（2019 中科大）3.已知平面直角坐标系上有三点，则面积的最小值为_（2019 中科大）（2019 中科大）4.记，则的最大值为_（2019 中科大）（2019 中科大）5.设点，绕顺时针旋转 得到向量，关于轴对称点记为，则的坐标为_（2019 中科大）（2019 中科大）6.若，则_（2019 中科大）（201
42、9 中科大）7.，且是纯虚数，则的最小值是_（2019 中科大）（2019 中科大）8.已知，且，则_欢迎公众关注号：慧源数学33（2019 中科大）（2019 中科大）9.将的各中点连线，折成四面体，已知，求四面体的体积。（2019 中科大）（2019 中科大）10.求证：对于任意的在上仅有一个解.（2019 中科大）（2019 中科大）11.已知(1).求证：存在多项式，满足；(2).将在上完全分解。欢迎公众关注号：慧源数学342020 年中科大创新班初试试题2020 年中科大创新班初试试题（2020 中科大创新班）（2020 中科大创新班）1.1.若复数z满足1zz，则1zzi的取值范围
43、为；（2020 中科大创新班）（2020 中科大创新班）2.已知,x y是实数，则由569111xyxy所围成的平面区域的面积为；（2020 中科大创新班）（2020 中科大创新班）3.双曲线13xyx的离心率是；（2020 中科大创新班）（2020 中科大创新班）4.已知数列 na满足11a，23a，21122nnnnaaaa，则na；（2020 中科大创新班）（2020 中科大创新班）5.已知,x y是正整数，p是素数，且2224xyp，则33xy；（2020 中 科 大 创 新 班）（2020 中 科 大 创 新 班）6.已 知20202020a，2021201920192021b，20
44、212019201920212c，则,a b c从小到大的顺序为；欢迎公众关注号：慧源数学35（2020 中科大创新班）（2020 中科大创新班）7.已知函数 221f xxk，且,0,1a b c，,f af bf c恰 好 构 成 三 角 形 的 三 条 边，则 实 数k的 取 值 范 围为；（2020 中科大创新班）（2020 中科大创新班）8.已知12,na aa是1,2,n的排列，若ij，且ijaa，则 称,ija a为 顺 序 对，记x为12,na aa的 顺 序 对 的 个 数，则 E x；（2020 中科大创新班）（2020 中科大创新班）9.已知实数0,2x，求 23sin2
45、sin22sincosf xxxxx的取值范围。欢迎公众关注号：慧源数学36（2020 中科大创新班）（2020 中科大创新班）10.已知 321f xxaxxa，求所有的实数a，使得对任意的1,1x，f xx恒成立。（2020 中科大创新班）（2020 中科大创新班）11.已知3121nkn，*nN，证明：当23k 时，不等式成立；当23k 时，不等式不恒成立；欢迎公众关注号：慧源数学37二、参考答案二、参考答案欢迎公众关注号：慧源数学382010 年中国科学技术大学自主招生试题参考答案2010 年中国科学技术大学自主招生试题参考答案(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)1解析
46、：解析：221()12aiawaii，知2a，21322a，选 A。(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)2解析：解析：22222|121211 atbtta btmtmtmm，选 D。(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)3.解析：解析：如图所示，作BD于D，nAE，连接DA，则4BAD,3BAC，由ABn,知090BAEDAE.由三余弦公式coscoscosBACBADDAC，得2cos2DAC，得4DAC，又090DAE所以4EAC。选 B。(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)4.解析：解析：注意到1111ABCBADCD,取11B D的中点Q
47、，知11B D 面ACQ,所以1 11113A B D CACQVSB D111132AChB D111132ACB Dh11111322P ABCDACB Dd11113222P ABCDACBDd111432P ABCDACBDd14P ABCDV所以体积之比为14，选 C。(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)5解析：解析：由3acb得sinsin3sinACB，即2sincos6sincos2222ACACBB，所以cos3sin3sin3cos2222ACBACAC，即coscossinsin3coscos3sinsin22222222ACACACAC,即4sinsin
48、2coscos2222ACAC，所以1tantan222AC，选 C。(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)6欢迎公众关注号：慧源数学39解析：解析：由题知G为重心，欧拉线OGH知2OGGH，所以OFG与GAH相似，其面积之比为214OGGH,选 A.(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)7解析：解析：由题意得2,aQ a e，axfxae，所以曲线C过点Q的切线为22aayaexae，则1,0R aa，所以PQR的面积为212aeSa，求导可得当22a 时，面积最小为2e2，选 B。(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)8解析：解析：由题意 得224
49、aaka，即244ak，此时2C的一条 准线为222akaxc，代入1C得方程得2y ，所以弦长为4，选 D。(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)9解析：解析：注意到正六边形的任何 3 个顶点作为顶点的三角形有3620C 个，显然n种颜色的 3 种组合有3nC种，所以，336nCC，即6n。当6n 时，由抽屉原理，正六边形的各边中至少有2036条边同色，而以这三条边为边的三角形有12个，且各不相同，所以2112nC，得7n，矛盾。当7n 时，不妨记颜色分别为1,2,3,4,5,6,7，则正六边形的染色方案如右图时恰好满足，所以n的最小值为7。(2010 中国科技大学)(2010
50、 中国科技大学)10解析：解析：由题意知：用表示空间以直线OA为轴满足条件()BC的旋转，则()CD,()DB,()AA；用表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，则()AB,()BA,()CC,()DD;表示空间以l为轴的 180旋转,则()BA.所以，对点B作变换，有：对 A，BCCDDB ，A 错；对 B,欢迎公众关注号：慧源数学40 BAABCCD ，B 错；对 C，BAABCC ,C 错；对 D，BCCCBAA ，符合题意。对,A C D同理变换可得，所以选 D。二、解答题二、解答题(2010 中国科技大学)(2010 中国科技大学)11解析：解析：（）由22sincos212ABC得
