1、第三章第三章 整式及其加减整式及其加减问题解决策略问题解决策略归纳归纳七上数学七上数学 BSD例1 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格.它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量增加，效果更为斑斓绚丽(如图1).新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳图1新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形.如图2，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三
2、角形(不计被分割的三角形).当长方形内有 35个点时，可分得多少个三角形?1个点 2个点图2长方形内点的个数12三角形的个数46新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳【理解问题】(1)先动手画一画，感受分割三角形的过程.(2)已知条件是什么?目标是什么?已知条件:目标:当长方形内有 35个点时，可分得多少个三角形?新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳【拟定计划】(1)直接研究“长方形内有 35个点”的情形，你遇到了什么困难?难以画出，无法求得其三角形数.(2)哪些情形容易研究?从中你发现了什么规律?长方形内较少点时容易研究.新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳 1个点 2个点3个点
3、4个点10个三角形8个三角形新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳【拟定计划】(2)哪些情形容易研究?从中你发现了什么规律?长方形内较少点时容易研究.长方形内点的个数1234三角形的个数46810 长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2.新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳解：猜想是合理的.在长方形内已经有n个点的情况下，新增的一个点要么在某个三角形内部，要么在某条线段上.点在某个三角形内部时：连接该点和三角形的顶点，原来的1个三角形分成3个小三角形，三角形的个数增加2；点在某条线段上时，连接该点和它所在两个三角形的顶点，三角形的个数同样增加2.(3)你发现的规律正确吗?你能给出合理
4、的解释吗?新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳【实施计划】长方形内点的个数增加 1，三角形的个数增加 2.长方形内点的个数1234三角形的个数46810当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是4+234=72.新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳【回顾反思】(1)如果长方形内有100个点呢?一般地，如果长方形内有n个点呢?长方形内有100个点：长方形内有n个点：4+2（100-1）=202.4+2（n-1）=2n+2.新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳【回顾反思】(2)从简单的情形开始思考有什么好处?通过简单情形归纳一般性结论，你有哪些经验?从简单情形入手往往更易看清问题的本
5、质，便于揭示问题的规律.新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律.初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况.最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律.新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳例2 2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6 块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状.将一个边长为1的等边三角形(如图)的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星(如图)，称为第1次分形.图 图新知探究新
6、知探究知识点 问题解决策略归纳接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形(如图)，称为第2次分形.不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”.猜想第4次分形后得到的“雪花曲线”的边数是多少?图 图 图新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳【解决方案】(1)先研究第1次和第2次分形的情形.分形次数012图形边数31248(2)几种简单情形的数据如下表：12条边48条边新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳分形次数012图形边数31248发现的规律:每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4 倍.新知探究新知
7、探究知识点 问题解决策略归纳(3)验证猜想是否正确.正确.首先，每条边上的分形变化是相同的，因此只需关注一条边的变化规律即可.每条边分形时，首先被等分为3条边，而中间的一条边凸出变成2条边，因此是原来边数的4倍，每条边都是如此因此分形1次后总边数是上一次总边数的4倍.图 图 图新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳(4)计算.根据分析，第4次分形后得到的“雪花曲线”的边数为34444=768.图 图 图新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳【回顾反思】你还能提出并解决哪些问题?答案不唯一，如:若图中等边三角形的边长为1，根据以上步骤进行操作，第n次分形后得到的“雪花曲线”的边长是多少?(用
8、含n的代数式表示)新知探究新知探究知识点 问题解决策略归纳图 图 图 随堂练习随堂练习1.32024的个位数字是多少?解:31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2 187，根据规律可知，3n的个位数字以3，9，7，1为一个循环.又因为 2024 4=506，所以32024的个位数字是 1.随堂练习随堂练习2.某类简单化合物中前6种化合物的分子结构模型如图所示，按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有多少个氢原子(H)?随堂练习随堂练习解:第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子；第2种化合物的分子结构模型中有4+2=6(个)氢原子；第3种化合物的分
9、子结构模型中有4+2+2=8(个)氢原子；第4 种化合物的分子结构模型中有4+2(41)=10(个)氢原子；第60种化合物的分子结构模型中有4+2(601)=122(个)氢原子.随堂练习随堂练习3.如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示的方式剪开，剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段.(1)剪12刀，绳子变为多少段?解:剪1刀，绳子变成4 段；剪2刀，绳子变成4+3=7(段)；剪3刀，绳子变成4+3+3=10(段)；剪12刀，绳子变成4+3（121）=37(段).随堂练习随堂练习3.如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示的方式剪开，剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段.(2)有
10、可能正好剪得 101段吗?随堂练习随堂练习4.由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，组成的三角形数阵如图所示，则第10行的10个数的和是多少?13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29随堂练习随堂练习13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29解:由数阵可得，第1行的1个数的和是1=13，第2行的2个数的和是8=23，第3 行的3个数的和是27=33，第4 行的4个数的和是 64=43第10行的 10 个数的和是 103=1 000.从几种特殊情形出发，进而找到一般规律是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，这种问题解决策略就是归纳.在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找规律，通过验证后再考虑一般情况，最后给出合理的解释，并用数学语言表达规律.课堂小结课堂小结
