1、北师大版九年级上册数学期中测试卷（1-4单元）一、单选题（每题3分，共30分）1下列方程中，一定是一元二次方程的是（）ABCD（为常数）2如图，矩形的两条对角线相交于点，则的长是（）A4B5C6D3如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为（）A4BCD4如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，轴于点，点在上将沿直线翻折，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（）ABCD5关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是（）A且BC且D6已知方程的一个根是1，则的值为（）AB5C6D77一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A
2、与B不相邻而坐的概率为（）ABCD8如图，在四边形中，、交于点，在上且，则以下结论不一定成立的是（）ABCD9如图，在中，D，E，F分别是边上的点，且，那么的值为（）ABCD10如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，连接，则下列结论：；平分；其中正确结论的个数是（）A个B个C个D个二、填空题（每题3分，共30分）11如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作于点，若，菱形的面积为，则的长为 12如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分交于点，若，则的度数为 13已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则三角形的周长为 14已知实数m，n满足
3、，则的值为 15在一个不透明的盒子中装有10个红球、若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同在看不到的条件下，通过随机摸球试验，发现摸出一个球是红球的频率为，则盒子中有 个黑球16如图，在矩形中，点是对角线的中点，连接，将延翻折，得到，连接若，则 17如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离旗杆高度为 m18如图，平行四边形A中，点为线段与的交点，若，点为线段上一点，且，点是线段上的一点若在线段上有且只有两个点使得与相似，则m的值为
4、 19如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建同样宽的两条相互垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 ，则修建的路宽应为 m20在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为1,0，点的坐标为0,2，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第2025个正方形的面积为 .三、解答题（共60分）21选择适当的方法解方程(1)； (2)；22在等边三角形中，点M，N分别是，上的点，且(1)求证：；(2)点M在什么位置时，的长为23如图，在中，点D，E分别在边，AB上，BD，CE相交于点O，且，求证：(1)；(2)24如图，中，
5、是由绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点D(1)求证：；(2)当四边形为菱形时，求的长25如图，在正方形中，是对角线上一点，点在的延长线上，连接交于点(1)求证：；(2)若，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由263月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A数字猜谜；B数独；C魔方；D24点游戏；E数字华容道该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示根据上述信息，解决下列问题(1)本次调查总人数为_，并补全条形统计图；（要
6、求在条形图上方注明人数）(2)若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；(3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率27综合与运用如图，在矩形中，点M从A点出发沿以的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒(1)当t为何值时，?(2)当t为何值时，的面积是面积的一半?(3)当t为何值时，是以为斜边的直角三角形?第 7 页 共 28 页参考答案：题号12345678910答案CDBBC
7、BABAB1C【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由此逐项判断即可得解【详解】解：A、不是整式方程，故不符合题意；B、中含有两个未知数，故不符合题意；C、是一元二次方程，故符合题意；D、当时，不是一元二次方程，故不符合题意；故选：C2D【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，由矩形的性质得出，证明是等边三角形，得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键【详解】解：四边形是矩形，是等边三角形，故选：D3B【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾
8、股定理，连接，由矩形的性质得到，再由坐标系中点到原点的距离计算公式求出的长即可得到答案【详解】解；如图所示，连接，四边形是矩形， ，点B的坐标为，故选：B4B【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，坐标与图形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键设，由折叠性质得到，利用勾股定理计算出，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，即可得到点的坐标【详解】解：如图，轴，轴，四边形是矩形，又点的坐标为，设，与关于直线对称，在中，在中，即，解得：，点的坐标是，故选：B5C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与方程根的个数之间的关系，掌握此关系是解题的关键根据题意得到关于k的不等式，解不等式，同时
9、，即可求解【详解】解：由题意得：，解得：，且故选：C6B【分析】本题考查了一元二次方程的根，把方程已知的根代入方程中，即可求得m的值【详解】解：方程的一个根是1，故选B7A【分析】本题主要考查了概率的计算，根据题意画出图形，得出所有可能的情况数，然后找出符合题意的情况数，最后根据概率公式求出结果即可【详解】解：如图， 根据图可知：以B，C，D随机而坐的结果数共有6种，其中A与B不相邻而坐的结果有2种，A与B不相邻而坐的概率为：故选：A8B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等角对等边熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键证明，则，证明，则，即，可判断C的正误；由，证明，则，可判断A的
10、正误；设到上的高为，到上的高为，由，可得，可判断D的正误；当时，由的大小关系不确定，可知，不一定成立，可判断B的正误【详解】解：，即，C成立，故不符合要求；，又，A成立，故不符合要求；设到上的高为，到上的高为，D成立，故不符合要求；当时，的大小关系不确定，不一定成立，故B符合要求；故选：B9A【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案【详解】，故选：A10B【分析】证明，可得，可判断结论；由，可判断结论；由正方形的性质可得垂直平分，可得，由角的数量关系可推出，可判断结论；证明，可判断结论；即可得解
11、【详解】解：设，四边形是正方形，故结论错误；在中，故结论错误；，四边形是正方形，垂直平分，即，平分，故结论正确；，即，故结论正确，正确结论的个数是个故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，掌握正方形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键11【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的面积公式“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解题的关键根据菱形面积的计算公式求得，再根据菱形对角线互相垂直平分线，利用勾股定理求出，进而利用菱形面积等于底高，计算出菱形的高即可解答【详解】解：四边形是菱形，菱
12、形的面积为12，即，四边形是菱形，又，菱形的面积，故答案为：412【分析】此题考查了矩形的性质，三角形外角性质，根据矩形的性质得到，根据角平分线求出，由此得到，再根据三角形外角性质求出答案【详解】解：在矩形中，平分，故答案为13【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程、三角形三边关系的应用，先解一元二次方程得出，再根据三角形三边关系判断即可得出答案【详解】解：，解得：，当第三边为时，不满足三角形三边关系，不符合题意；当第三边为时，满足三角形三边关系，符合题意，此时周长为故答案为：14【分析】本题考查配方法的应用先把原式转化为，可得当，时，等式成立，即可求得，再代入求值即可【详解】解：，即，
13、故答案为：155【分析】本题考查了概率的求法，利用频率估计概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率设黑球的个数为x个，根据概率的求法得：，解方程即可求出黑球的个数【详解】解：设黑球的个数为x个，根据题意得：，解得：，经检验：是原分式方程的解，黑球的个数为5，故答案为：516【分析】连接，延长交于点，由勾股定理得，则，可证明，则，因此，则，再由三角形的中位线定理即可求解【详解】解：连接，延长交于点，四边形是矩形，在，由勾股定理得：，点为中点，由折叠知，点为中点，点为中点，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与
14、性质，勾股定理，三角形的中位线定理，正确添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键178【分析】本题考查了相似三角形的应用根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直证；然后根据三角形相似的性质，即可求出答案【详解】解：如图所示，作，由图可知， 根据镜面的反射性质，故答案为：8184或5【分析】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键由，得，当与相似时，分或时，再结合一元二次方程根的情况即可求解【详解】解：，当或时，与相似，四边形是平行四边形，设，则，当时，当时，有且只有两个点，有两种情况，有两个相等的实数根，又因为，；有两个不相等的实数根，且是
15、它的一个根，代入得：，又因为，综上可知：的值为4或5故答案为：4或5191【分析】本题考查了一元二次方程的应用；把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植园地是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有，整理，得，解得 (不合题意，舍去)答：道路的宽应为米故答案为：20【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论【详解】解：正方形的点A的坐标为1,0，点D的坐标为0,2，延长交x轴于点，作正方形，第2个正方形
16、的面积为：，同理可得，即第3个正方形的面积为：，第2025个正方形的面积为：，故答案为：21(1)，(2)，【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可【详解】（1）解：或解得，；（2）解：或解得，22(1)见解析(2)当或时，的长为【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键（1）由等边三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，求出，即可得解；（2）证明，得出，设，则，代入
17、计算即可得解【详解】（1）证明：为等边三角形，；（2）解：为等边三角形，设，则，解得：，故当或时，的长为23(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似（1）根据两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似推出即可；（2）根据两三角形的相似得出，再，即可推出，得出比例式，即可得出答案【详解】（1）证明：，；（2）证明：， ，即24(1)见解析(2)【分析】本题考查了旋转的性质，也考查了菱形的性质（1）根据旋转的性质得，然后根据“”证明，于
18、是根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据菱形的性质得，再利用平行线的性质得，则可判断为等腰直角三角形， 所以，然后计算即可【详解】（1）证明： 是由绕点按逆时针方向旋转得到的，即，在和中，；（2）解：四边形为菱形，为等腰直角三角形，25(1)证明见解析；(2)，【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质证明是解题的关键（1）由正方形性质可得，再利用即可证明；（2）结合（1）的结论，可得，再根据，即可解决问题【详解】（1）证明：四边形是正方形，在和中，（），（2）解：结论：，理由：，；，四边形是正方形，26(1)，见解析；(2)估计该校参加魔方游戏的学生人数为人
19、；(3)【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可；（2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解；（3）利用画树状图法求解即可【详解】（1）解：本次调查总人数为（人），选择D类的学生人数为（人），补全条形统计图如下：（2）解：（人），答：估计该校参加魔方游戏的学生人数为人；（3）解：画树状图如下图：由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种，恰好抽到1名男生和1名女生的概率为27(1)1或(2)(3)3或【分析】本题主要考查了矩形与动点熟练掌握矩形性质，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键（1）根据矩形性质和，得到，根据勾股定理得到，得到，解得；（2）根据，可得，根据，得到，解得，取；（3）根据勾股定理得到，当是以为斜边的直角三角形时， ，结合，得到，解得（方法不唯一）【详解】（1）解：在矩形中，且，解得，故当t值为1或时，；（2）解：，化简得，解得，当t值为时，的面积是面积的一半；（3）解：，当是以为斜边的直角三角形时，化简得，解得，故当t值为3或时，是以为斜边的直角三角形第 19 页 共 28 页
