1、 秦淮区秦淮区 数学期末统考数学期末统考 1 1-6 6 单元单元知识点总结知识点总结 【知识点知识点 配合配合 基本题基本题】 20182018 年年 1 1 月月 第一单元第一单元 【长方体和正方体长方体和正方体】单元知识单元知识点点 1 1、长方体和正方体的特征：长方体和正方体的特征： 【基本例题：补充习题第【基本例题：补充习题第 1 页页 1、4 题】题】 2、关于长方体、正方体棱长总和：、关于长方体、正方体棱长总和： 长方体的棱长总和长方体的棱长总和 = 长长4+宽宽4+高高4 或或 长方体的棱长总和长方体的棱长总和=（长（长+宽宽+高）高）4 正方体的棱长总和正方体的棱长总和 =
2、棱长棱长12 【基本例题：补充习基本例题：补充习题第题第 1 页页 2、3 题题】 3、关于正方体、长方体平面展开图：、关于正方体、长方体平面展开图： 1-4-1 型共 6 种 2-3-1 型共 3 种 3-3 型共 1 种 2-2-2 型共一种 长方体相对的两个面（前后、左右、上下）展开后不会相邻，中间一定隔着其他的面。 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 2 页第页第 2 题，第题，第 3 页第页第 3、4 题题】 4 4、长方体和正方体的表面积：长方体和正方体的表面积：长方体或正方体 6 个面的总面积，叫做它们的表 面积 计算公式：计算公式： 长方体表面积=（长宽+长高+宽高）2
3、 或=) 2Sa ba cb c 表 （ 正方体表面积=棱长棱长6 或 2 =66Sa aa 表 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 4 页第页第 2 题，第题，第 5 页第页第 4、5 题题】 5 5、注：注：在解决一些具体问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。在 解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面 积总和，再减去不需要的那个（些）面。 （1）具有六个面的长方体、正方体物品：油箱、罐头盒、纸箱子等； （2）具有五个面的长方体、正方体物品：水池、鱼缸等； （3）具有四个面的长方体、正方体物品：通风管、水管、烟囱等。 【基本例题：补充习题第【基
4、本例题：补充习题第 6 页第页第 2、3、4 题题】 6 6、关于拼合与切开的表面积问题：、关于拼合与切开的表面积问题：把几个相同长方体或正方体拼合起来会引起 表面积的变化。要注意观察有几次拼合。每拼合一次就会减少两个面，这点很重 要。反之：切割一个形体，每切开一次，表面积就多出两个截面。 【基本例题：数学练习与测试第基本例题：数学练习与测试第 22 页第页第 2 题题】 7 7、占地面积就是指底面积。占地面积就是指底面积。 【基本例题基本例题：补充习题补充习题第第 6 页第页第 1 题】题】 8 8、体积（容积）单位进率换算：体积（容积）单位进率换算： 1 立方米=1000 立方分米 1 立
5、方分米=1000 立方厘米 1 升=1000 毫升 1 1 立方分米立方分米=1=1 升升 1 1 立方厘米立方厘米=1=1 毫升毫升 【基本例题：练习与测试基本例题：练习与测试 1616 页第页第 1 1、2 2、3 3、4 4 题题】 9 9、体积和容积的区别：体积和容积的区别： 体积：体积：物体所占空间的大小叫做它们的体积。 容积容积：容器里面所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 7 7 页第页第 1 1、2 2、3 3、4 4 题题】 1010、体积、体积计算公式：计算公式： 长方体体积公式=长宽高 或 Va b h 正方体体积公式=棱长棱长
6、棱长 或 3 Vaaaa 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 1010 页第页第 3 3 题，第题，第 1111 页页 4 4、5 5、6 6、7 7 题题】 11、长方体和正方体底面的面积，收做它们的底面积。长方体和正方体底面的面积，收做它们的底面积。 （即占地面积即占地面积） 长方体和正方体体积计算的统一公式：长方体和正方体体积计算的统一公式： 长方体和正方体的体积=底面积高 或 VSh 底 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 1212 页页 1 1、2 2、3 3 题题】 12、正方体棱长、表面积、体积的变化规律：、正方体棱长、表面积、体积的变化规律： 正方体的棱长扩大缩
7、小若干倍，它的表面积扩大或缩小这个倍数的平方，体 积扩大或缩小这个倍数的立方。 【举例：一个正方体的棱长扩大 3 倍，表面积扩 大（9 ）倍，体积扩大（27 ）倍。 】 1313、 【表面涂色的正方体表面涂色的正方体】 在顶点位置的小正方体涂色的面有 3 个，3 面涂色的小正方体有 8 个； 在棱上（不包含顶点位置）的小正方体涂色的面有 2 个， （一条棱上小正方体 的个数-2）12 可以求 2 面涂色小正方体的个数； 在面上（不包含棱上）的小正方体涂色的面有 1 个， （一条棱上小正方体的个 数-2） 26 可以求 1 面涂色小正方体的个数； 用总数3 个面的2 个面的1 个面的=没有露在外
8、面的小正方体的个数，也 可以用（一条棱上小正方体的个数-2） 3来求。 第二单元第二单元 【分数乘法分数乘法】单元知识单元知识点点 分数与整数相乘及实际问题：分数与整数相乘及实际问题： 1.分数与整数相乘：用整数与分数的分子相乘的积作为分子，分数的分母作为分 母，最后约分成最简分数。或者先将整数与分数的分母进行约分，再应用前面计 算法则。 注： 【任何整数都可以看作为分母是 1 的分数】 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 1919 页。页。 】 2. 求一个数（单位 1）的几分之几是多少，可以用乘法计算。 （单位“1”对应分率=对应数量） 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第
9、2020 页第页第 1 1 题，题，2121 页页 3 3、4 4、5 5、6 6 题。题。 】 3.解题时可以根据表示几分之几的条件，确定单位 1 的量，找准是（ ）数量占 单位 1 的几分之几，列出正确的数量关系式，再根据数量关系式列式解答。 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 2222 页第页第 1 1、2 2 题，题，2323 页页 3 3、4 4、5 5 题。题。 】 分数与分数相乘及连乘：分数与分数相乘及连乘： 1. 分数与分数相乘：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母，最后 约分成最简分数。 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 2424 页页 1 1、2
10、 2 题。题。 】 2. 分数连乘：分子与分母直接约分再进行计算 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 2626 页。页。 】 3. 一个数与比 1 小的数相乘，积小于原数； 一个数与比 1 大的数相乘，积大于原数。 【基本例题：练习与测试第基本例题：练习与测试第 3232 页第页第 3 3 题。题。 】 倒数的认识：倒数的认识： 1.乘积是 1 的两个数互为倒数。 2.求一个数（不为 0）的倒数，只要将这个数的分子与分母交换位置。 【整数是分母为 1 的分数】 3. 1 的倒数是 1，0 没有倒数。 4.假分数的倒数都小于或等于 1（或者说不大于 1） ；真分数的倒数都大于 1。 【基
11、本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 2828 页第页第 1 1、2 2 题。题。 】 第三单元第三单元 【分数除法分数除法】单元知识单元知识点点 分数除法：分数除法： 1. 分数除法计算法则：甲数除以乙数（不为 0）等于甲数乘乙数的倒数。 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 3232 页第页第 1 1、2 2 题。题。3333 页页 1 1、2 2 题。题。3434 页页 1 1、2 2 题题】 2.分数连除或乘除混合计算： 可以从左向右依次计算， 但一般是遇到除以一个数， 把它改写成乘这个数的倒数来计算。 【转化成分数的连乘来计算】 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 3
12、9 39 页。页。 】 3.除数大于 1，商小于被除数；除数小于 1，商大于被除数；除数等于 1，商等于 被除数。 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 35 35 页第页第 5 5、6 6 题。题。 】 4.分数除法的意义：已知一个数（单位 1）的几分之几是多少，求这个数（单位 1）？可以用列方程的方法来解，也可以直接用除法。 【基本例题：补充习题第基本例题：补充习题第 3636-3737 页页】 5、做分数乘、做分数乘法应用题、分数法应用题、分数除法应用题的注意点：除法应用题的注意点： （1）找出关键句，）找出关键句，确定单位“确定单位“1” 、” 、对应数对应数量，看清单位“量，看
13、清单位“1”是已知还是未知。”是已知还是未知。 （2）单位“）单位“1”已知，求”已知，求对应数对应数量，用乘法计算。量，用乘法计算。 单位“单位“1” 对应分率对应分率 = 对应数量对应数量 单位“单位“1”未知，求单位“”未知，求单位“1” ，用” ，用方程方程或除法计算。或除法计算。 对应数量对应分率对应数量对应分率=单位“单位“1” 【基本例题基本例题：练习：练习与测试与测试 59 页第页第 4 题】题】 对应对应 对应对应 （3）求一个数是另一个数）求一个数是另一个数（单位单位 1）的几分之几用除法计算。的几分之几用除法计算。 对应数量单位“对应数量单位“1”=对应分率（求一个数是另
14、一对应分率（求一个数是另一个个数的几倍，也用除法数的几倍，也用除法 计算）计算） 【举例：【举例： 1、 小华邮票、 小华邮票 25 张， 小明邮票张， 小明邮票 40 张， 小华邮票是小明邮票的几分之几？】张， 小华邮票是小明邮票的几分之几？】 【举例：【举例：2、小华邮票、小华邮票 160 张，小明邮票张，小明邮票 40 张，小华邮票是小明邮票的几倍？】张，小华邮票是小明邮票的几倍？】 在分析分率、百分率的时候，必须要先完整表述成：在分析分率、百分率的时候，必须要先完整表述成： _是是 【单位“【单位“1 1” 】” 】 的几（百）分之几。的几（百）分之几。 然后找出单位“然后找出单位“1
15、 1” ，理清数量关系。” ，理清数量关系。 1 1、简单的数量关系、简单的数量关系 例如：例如：1 1、一段路，已修了、一段路，已修了 3 3 4 4 。 。 分析：分析： 3 3 4 4 是指已修的部分是这段路的 是指已修的部分是这段路的 3 3 4 4 。单位“ 。单位“1 1”是这段路的长度”是这段路的长度。 数量关系：这段路的长度数量关系：这段路的长度 3 3 4 4 = =已修的部分 已修的部分 2 2、稍复杂的数量关系、稍复杂的数量关系 例如：例如：2 2、红花朵数比黄花多、红花朵数比黄花多 2 2 5 5 对应对应 分析：分析： 2 2 5 5 是指红花比黄花多出的朵数是黄花的
16、 是指红花比黄花多出的朵数是黄花的 2 2 5 5 。单位“ 。单位“1 1”是黄花是黄花 朵数。朵数。 数量关系是：黄花朵数数量关系是：黄花朵数 2 2 5 5 = =红花比黄花多的朵数 红花比黄花多的朵数 分析有关分数关系问题的通常思路是：分析有关分数关系问题的通常思路是： 找出分率找出分率- 找出单位“找出单位“1 1”-分析数量关系分析数量关系-选择方法选择方法 如果单位“如果单位“1 1”已知，用乘法。单位“”已知，用乘法。单位“1 1”未知，用方程或除法。”未知，用方程或除法。 分析形如：分析形如：_比比_多（少）几分之几的复杂分数关系有困难时可多（少）几分之几的复杂分数关系有困难
17、时可 以借助画线段图理解。以借助画线段图理解。 【例题：同学们做纸花，黄花做了【例题：同学们做纸花，黄花做了 5050 朵，红花比黄花多朵，红花比黄花多 2 2 5 5 ，红花比黄花多多 ，红花比黄花多多 少朵？少朵？】 【单位“单位“1 1”已知，用乘法计算”已知，用乘法计算】 【同学们做纸花，红花比黄花多同学们做纸花，红花比黄花多 2 2 5 5 ，红花比黄花多 ，红花比黄花多 2020 朵。黄花多少朵？】朵。黄花多少朵？】 【单位“单位“1 1”未知，根据数量关系，列出方程解答”未知，根据数量关系，列出方程解答】 例题：例题：1 1、食堂有面粉、食堂有面粉 450450 千克，大米比面粉
18、少千克，大米比面粉少 1 1 5 5 ，大米多少千克？ ，大米多少千克？ 分析：大米比面粉少分析：大米比面粉少 1 1 5 5 ，是指大米比面粉少的重量是面粉重量的 ，是指大米比面粉少的重量是面粉重量的 1 1 5 5 。把 。把 面粉重量看做单位“面粉重量看做单位“1 1” 。” 。 思路一：先算出思路一：先算出 1 1 5 5 是多少千克。 是多少千克。 450450 1 1 5 5 =90 =90（千克）（千克） 再再 450450- -90=36090=360（千克）（千克） 思路二：先转化复杂分数条件为直接的分数关系。思路二：先转化复杂分数条件为直接的分数关系。1 1- - 1 1
19、5 5 = = 4 4 5 5 。 。 这里的这里的 4 4 5 5 就表示大米重量是面粉的 就表示大米重量是面粉的 4 4 5 5 。 。 再再 450450 4 4 5 5 =360 =360（千克）（千克） 【举例：练习册【举例：练习册 71 页第页第 1、2 题，练习册题，练习册 73 页第页第 6 题】题】 例题：例题：2 2、街心花园占地、街心花园占地 5 5 8 8 公顷，其中草坪占 公顷，其中草坪占 2 2 5 5 ，花圃面积，花圃面积 1 1 1010 公顷。 公顷。 其余的是人行道。其余的是人行道。 （1 1）草坪比花圃多多少公顷？）草坪比花圃多多少公顷？ 分析：花圃面积直
20、接已知的具体数量，草坪面积表述的是分率，要抓单位“分析：花圃面积直接已知的具体数量，草坪面积表述的是分率，要抓单位“1 1” 。” 。 5 5 8 8 2 2 5 5 - - 1 1 1010 （2 2）人行道面积是多少？）人行道面积是多少？ 分析：其余的是人行道，所以应该从总面积里依次减去草坪和花圃面积。分析：其余的是人行道，所以应该从总面积里依次减去草坪和花圃面积。 5 5 8 8 - - 5 5 8 8 2 2 5 5 - - 1 1 1010 另外：在分析稍复杂的分数关系应用题时，要仔细区分另外：在分析稍复杂的分数关系应用题时，要仔细区分 分率分率 和和 具体数量具体数量 之间的之间的
21、区别。区别。 【基本例题：基本例题：练习册练习册 37 页第页第 3 题题】 ( (注：在注：在分数应用题的分数应用题的单位换算单位换算中，要弄清需要换算的单位之间的进率是多少中，要弄清需要换算的单位之间的进率是多少) ) 6 6、比的认识：比的认识： （1）比的意义：比表示两个数相除的关系。 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 4040 页页 1 1、2 2、3 3 题题】 （2）比与分数、除法的关系：:(0) a a babb b 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 4040 页第页第 4 4 题题】 （3）比值：比的前项除以比的后项，所得的商就叫比值。 （比值不带单位名称。 ）（
22、比值不带单位名称。 ） （4）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同数（0 0 除外）除外） ，比值不变。 【基本例题：练习与测试基本例题：练习与测试 5050 页第页第 1 1 题题】 相互相互联系联系 区别区别 比 前项 比号（： ） 后项 比值 一种关系 分数 分子 分数线（） 分母 分数值 一种数 除法 被除数 除号（） 除数 商 一种运算 （5）最简整数比：比的前项和后项是互质数。 （前项和后项只有公因数（前项和后项只有公因数 1 1。 ）。 ） （6）化简比：先把比的前、后项变成整数，再除以它们的最大公因数。 化简比与求比值的区别： 化简比：化成最简单的整数比，有前项、后项和
23、比号； 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 41 页第页第 3、4 题】题】 求比值：是前项除以后项所得的商。 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 47 页第页第 8 题】题】 （7）解决比的实际问题，最重要的是先找出对应的一份量是多少。 例如： 男生与女生人数的比是 3：5。 男生 45 人，女生多少人？ 一份量是 453=15（人） 155=75（人） 女生 45 人，男生多少人？一份量是 455=9 （人） 93=27（人） 男女一共 72 人，男女各多少人？ 按比例分配：一份量是 72（3+5）=9（人） 男：93=27（人） 女：95=45（人） 男生比女生少 30 人，男生
24、多少人？ 一份量是 30（5-3）=15（人） 153=45（人） 7、在应用题中，可以把、在应用题中，可以把 分率分率 和和 比比 结合起来，进行分析的应用题。结合起来，进行分析的应用题。 按比例分配问题：先求出总份数，再求各部分数占总数的几分之几，转化成分数 乘法来计算。 根据根据比比读出读出相关隐藏的数学信息：相关隐藏的数学信息：如根据男生:女生=2:3， 可以知道：如果把男生看作 2 份，女生就是 3 份，总人数就是 5 份； 男生占女生的2 3 ；女生占男生的 3 2 男生占总人数的2 5 ；女生占总人数的 3 5 第四单元第四单元 【解决问题的策略解决问题的策略-假设假设】单元知识
25、单元知识点点 问题问题 1 1：( (倍数关系的两个量，用“假设倍数关系的两个量，用“假设替换”策略替换”策略) ) 小明把 720 毫升果汁倒入 6 个小杯和 1 个大杯，正好都倒满，已知小杯的容 量是大杯的1 3 ，小杯和大杯的容量各是多少毫升？ 假设：如果把 720 毫升果汁全部倒入小杯，需要（6+3）个小杯，先求小杯。 假设：如果把 720 毫升果汁全部倒入大杯，需要（1+2）个大杯，先求大杯。 问题问题 2 2：( (相差关系的两个量，用“假设相差关系的两个量，用“假设调整”策略调整”策略) ) 在 1 个大盒和 5 个同样的小盒中装满球，正好是 80 个，每个大盒比每个小 盒多装
26、8 个，大盒里装了多少个球？小盒呢？ 假设：6 个全是小盒球的总数比 80 少，把 1 个大盒换成小盒球的总数比 80 少 8 个小盒： （80-8）6=12 大盒：12+8=20检验 先假设再比较（与条件不符）进行调整得出结果检验 （使用假设策略解决问题时，借助（使用假设策略解决问题时，借助画图画图可以帮助准确地理解数量关系）可以帮助准确地理解数量关系） 第五单元第五单元 【分数四则混合运算分数四则混合运算】单元知识单元知识点点 分数四则混合运算的顺序：分数四则混合运算的顺序： 分数四则混合运算的顺序与整数相同。先算乘除法，后算加减法；有括号的先算 括号里面的，后算括号外面的。 分数四则混合
27、运算的运算律：分数四则混合运算的运算律： 加法的交换律：abba 加法的结合律：()()abcabc 乘法的交换律：a bb a 乘法的结合律：()()a bcab c 乘法的分配律：()abca cb c 减法的性质：a-b-c=a-(b+c) 除法的性质：abc=a(bc) 应用运算律进行分数四则混合运算的简便计算。应用运算律进行分数四则混合运算的简便计算。 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 5454 页页 2 2、 3 3 题题】 稍复杂的分数乘法实际问题：稍复杂的分数乘法实际问题： 1.求一个数是另一个数的几分之几（百分之几） ： 一个数另一个数 2.求一个数比另一个数多（增加、
28、上升、提高）几分之几（百分之几） ： 先求多的，用多的单位“多的单位“1 1” 3.求一个数比另一个数少（减少、下降、降低）几分之几（百分之几） ： 先求少的，用少的单位“少的单位“1 1” 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 5757-5858 页页 】 第六单元第六单元 【百分数百分数】单元知识单元知识点点 1 1、百分数的意义及读写：百分数的意义及读写： 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分比或百分率。 注：百分数后面不带单位名称。 （常出现在判断题中） 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 6464 页页 1 1、2 2、3 3 题题 】 2 2、百分数与小数的
29、互化：百分数与小数的互化： 百分数与分数的互化：百分数与分数的互化： 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 6666 页页 1 1、2 2 题题 。6767 页页 1 1、2 2 题。题。 】 3 3、求一个数是另一个数的百分之几的实际问题：求一个数是另一个数的百分之几的实际问题： 用 对应数量单位“对应数量单位“1 1”= =对应分率对应分率 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 6868 页第页第 1 1 题。题。 】 生活中常见的一些百分率：生活中常见的一些百分率： 合格率合格产品数产品总数 出勤率实际出勤人数应出勤人数 发芽率发芽种子数试验种子总数 成活率成活棵数种植总棵数 出油率
30、油的重量油料重量 命中率命中次数总次数 及格率及格人数参加考试人数 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 6969 页。页。 】 4 4、稍复杂的稍复杂的百分数百分数实际问题：实际问题： 1.求一个数是另一个数的几分之几（百分之几） ： 一个数另一个数 2.求一个数比另一个数多（增加、上升、提高）几分之几（百分之几） ： 先求多的，用多的单位“多的单位“1 1”= =比单位比单位 1 1 多百分之几多百分之几 3.求一个数比另一个数少（减少、下降、降低）几分之几（百分之几） ： 先求少的，用少的单位“少的单位“1 1”= =比单位比单位 1 1 少百分之几少百分之几 【基本例题：补充习题基本
31、例题：补充习题 7070 页。页。 】 纳税问题：纳税问题：实际上就是求一个数的百分之几是多少，也就是把应该纳税部分的总 收入乘以税率百分之几，就求出了应纳税额。总收入税率=应纳税额 利息问题：利息问题：利息=本金利率时间 折扣问题：折扣问题：原价折扣率=现价 现价原价=折扣率 现价折扣率=原价 ( (折扣问题中，原价永远是单位“折扣问题中，原价永远是单位“1 1”) ) 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 7272 页页 1 1、2 2 题，题，7373 页页 1 1、2 2 题，题，7474 页页 2 2、3 3、4 4 题。题。 】 列方程解决稍复杂的百分数实际问题：列方程解决稍复杂
32、的百分数实际问题： 1解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完 全相同。 2可以通过画线段图帮助我们理清数量间的关系； 分析数量关系时，先确定单位 1 的量，找出数量关系式； 当单位当单位“1 1”的的量量已知已知时，时，直接直接列式解答；列式解答； 当单位当单位“1 1”的的量未知时，可以量未知时，可以列列方程方程解解答答，设单位“1”的量为 X，用含有 字母的式子表示另一个未知的数； 列出正确的数量关系，按照数量关系式列出方程，解答并检验。 3灵活运用本单元所学知识，解决稍复杂的百分数实际问题，沟通分数、百分 数应用题之间的联系。 【基本例题：补充习题基本例题：补充习题 7676 页、页、8080 页。页。 】
